Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 12 de Diciembre, 2011, 5:30

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Sigamos explorando los números surreales. Recordemos: estos números se van generando; cada número es un par ordenado de conjuntos de números surreales, que ya deben haber sido generados. Escribimos:

x = <Xi : Xd>

donde x es el número, Xi es el conjunto que llamamos izquierdo, y Xd es el conjunto que llamamos derecho. El primer número que generamos lo llamamos 0:

0 = < : >

Donde < : > indica que el Xi está vacío, y el Xd también. Pero no cualquier par de conjuntos de números surreales puede usarse para crear un número nuevo. Conway dejó la regla que todo número surreal debe cumplir. Yo la escribí como:

Xi ~>= Xd

que traduzco: no hay elemento en Xi que sea mayor o igual a algún elemento de Xd (noten que NO ES que TODO elemento de Xi es mayor o igual que CUALQUIER elemento de Xd, solo basta encontrar un xi elemento de Xi y algún xd elemento de Xd que cumpla xi >= xd para que la condición de arriba no se cumpla). Para ver si un número x es >= que otro número y teníamos la segunda regla, que en un momento volveremos a comentar.

 Primer tarea que teníamos: mostrar que 0 es un número surreal válido, que cumple con la regla de arriba.

Y ciertamente la cumple: no hay elemento en Vacío (así voy a llamar al conjunto vacío) que cumpla con eso. Tenemos Xi = conjunto vacío. Así que ciertamente no hay elemento en Xi que pueda ser >= que alguno de Xd, porque NO HAY ELEMENTOS en Xi. Ahí termina la demostración. Es algo raro al principio usar al conjunto vacío de esta forma, pero si lo revisan, esté bien: no hay elemento en Xi = Vacío que cumpla .... y así. En verdad, se cumple:

Vacío ~>= Xd

cualquiera sea el conjunto Xd.

Ahora que ya le tenemos confianza al número 0, veamos de probar nuestra segunda tarea, que

0 <= 0

Parece raro eso de probar esto, pero recordemos: <= es un predicado que se satisface con una regla, la segunda de Conway. No es el "menor o igual" que manejamos con los números que conocemos. Estamos en un nuevo reino, y no tenemos más que la segunda regla para ver si se cumple el 0 <= 0 de arriba. No podemos apelar a algo conocido de otros números, como "todo número es menor o igual a sí mismo". Imaginen que en vez de <= Conway hubiera dicho r (un predicado cualquiera) que no tiene nada intuitivo de donde agarrarse. Lo mismo deberíamos poder avanzar teniendo r y ~r.

La segunda regla que dados dos números:

x = <Xi, Xd>

y = <Yi, Yd>

se tiene

x <= y

cuando se cumplen las dos condiciones:

Xi ~>= y     ningún elemento de Xi es mayor o igual que y

x ~>= Yd    ningún elemento de Yd es menor o igual que x

Son reglas raras, porque todavía no vimos mucho de las propiedades de estos números. Por ahora, avancemos confiando en Conway. Tenemos que probar

0 <= 0

siendo

0 = < : > = <Vacío : Vacío>

Se tienen que cumplir:

Vacío ~>= y     ningún elemento de Vacío es mayor o igual que y

x ~>= Vacío     ningún elemento de Vacío es menor o igual que x

Ya sabemos que cuando vemos una condición del tipo "ningún elemento de Vacío cumple ... " es una condición cierta.

Próximo post: analizar las propiedades de:

1 = <0 : >

-1 = <: 0>

Tarea para el hogar: pueden probar que son números válidos y que

-1 <= 0 <= 1

Ahí empezamos a ver por qué Conway los llama menos uno y más uno. ¿Se podrán ordenar todos los números surreales por <=? Hmmm... ya veremos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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