Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Diciembre, 2011, 6:10

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Sigamos explorando el tema de espacios vectoriales. Ya expuse las propiedades (axiomas) que debe cumplir un espacio vectorial. Recordemos que un espacio vectorial tiene un conjunto de vectores V y un cuerpo K (muchas veces tomaremos K como los reales, pero también puede aparecer los números complejos).

Pero falta exponer algún ejemplo. Para eso, cada vez que uno quiera dar un espacio vectorial, tenemos que presentar:

- El conjunto de vectores
- El cuerpo a usar
- Definir la suma de dos vectores
- Definir la multiplicación de escalar (elemento del cuerpo) por un vector
- Mostrar que todo eso cumple con las propiedades de espacio vectorial

Veamos entonces algunos ejemplos:

Primero, sea el espacio vectorial Kn. ¿Cómo lo vamos a definir? Pongamos que K es un cuerpo, y n un número natural. Digo que Kn es el conjunto de las n-tuplas:

(x1, x2, x3,...., xn)

donde cada xi es un elemento del cuerpo K. Podemos ver que es un espacio vectorial si definimos la suma:

(x1, x2, x3,...., xn) + (y1, y2, y3,...., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, .... , xn + yn)

y la multiplicación por un elemento k de K:

k * (x1, x2, x3,...., xn) = (k*x1, k*x2, k*x3,...., k*xn)

(Un detalle, el * del término de la izquierda es la multiplicación de elemento de cuerpo, por vector; mientras que los * de la derecha son multiplicación dentro del cuerpo K).

Con esas dos definiciones se puede demostrar que Kn es un espacio vectorial. Se los dejo como tarea para el hogar.

Un ejemplo, como derivado del anterior. Lo llamo KN. Son las funciones N -> K donde N son los naturales, y K un cuerpo. Podemos ver que los vectores son las series infinitas:

(x1, x2, x3, ... )

y definimos la suma y multiplicación de forma similar al anterior ejemplo:

(x1, x2, x3, ... ) + (y1, y2, y3, ... ) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ... )

k * (x1, x2, x3, ... ) = (k*x1, k*x2, k*x3, ... )

Otro ejemplo: Sea K cuerpo, tomemos los polinomios formales K[x] en una indeterminada x con coeficientes en el cuerpo K (vean que no le doy valor alguno a x, son polinomios formales, a manejarse sin darles valor a x). O sea, un polinomio como

a * x3 + b * x2 + 3

La suma de polinomios (nuestros nuevos vectores) se hace término a término, es decir, sumando los términos del mismo grado. La multiplicación por un elemento k del cuerpo K es simplemente multiplicar cada coeficiente ki del polinomio por k.

En el post anterior, mostré Kn con K = R los reales, n = 2. Lo podemos identificar con el plano, con una diferencia: en un espacio vectorial R2 HAY UN PUNTO distinguido: el origen. Desde ahí parten todos los vectores. En un plano geométrico, todos los puntos serían iguales, no hay punto distinguido. Tomado del anterior post:

Así podemos tener también R3, los vectores en el espacio real. Pero hasta ahí llega nuestra intuición geométrica. Pero gracias a que hemos visto que Kn es espacio vectorial, podemos comenzar a operar, investigar, explorar espacios de otras dimensiones, incluso de cuerpos que van más allá de los reales.

En los próximos posts veremos algunos conceptos desde dos puntos de acercamiento: algunos los presentaré desde la perspectiva geométrica, con ejemplos intuitivos en R2, o R3. Otros los presentaré desde espacios vectoriales generales, abstractos. Por un lado, lo intuitivo nos sirve para "aprehender" mejor los abstracto. Pero lo abstracto también tiene el valor de liberarnos de las limitaciones de nuestra intuición. Pienso que los matemáticos profesionales viajan por ambos caminos, aprovechando intuiciones y luego buscando de ponerlas en abstracto.

También me quedan por presentar algunos ejemplos menos familiares.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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