Angel "Java" Lopez en Blog

Hace un tiempo comenté algunos párrafos de la excelente Lectures Vol III, Mecánica Cuántica de Richard Feynman, en el post:

Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman

Hoy quiero comentar otros párrafos, de su capítulo 20, "Operadores". Traté algo inicial sobre el tema en mis post de la serie de física cuántica:

Física cuántica (Parte 8) Valor Esperado

Ahí introduje el primer operador en esa serie de posts. Es un tema importantísimo en mecánica cuántica (desarrollada en la primera parte del siglo XX) y se extiende a temas posteriores, como teoría cuántica de campos. Me falta visitarlo en detalle en esa serie de post. Quiero hoy dejar este post como nota, comentario a lo que dice Feynman al respecto.

El libro de Feynman es excelente. Adopta una aproximación al tema muy bien basado en experimentos y conceptos físicos. Feynman es un maestro introduciendo el tema. Pero hay un pequeño/gran problema: su aproximación se aparta de la "normal" tomada por prácticamente todo el resto de libros de texto. Siempre trata de resolver los problemas que plantea usando números directos (amplitudes) en vez de plantear el formuleo más habitual en otros manuales. Recién en el capítulo 20 escribe:

Todo lo que hemos hecho hasta ahora en la mecánica cuántica se puede manejar con álgebra ordinaria, aunque de vez en cuando les mostramos algunas maneras especiales de escribir cantidades y ecuaciones cuánticas. Ahora nos gustaría hablar un poco más sobre algunas maneras matemáticas interesantes y útiles de describir cosas cuánticas. Hay varias manera de enfocar la mecánica cuántica ....

Ciertamente. Uno de los problemas que tuve que encarar en la serie de posts que inicié, es elegir el camino que quiero recorrer. Hay varias formas de "formuleo" de este tema, incluso en la historia. Desde las ecuaciones de Schrödinger, orientadas a funciones de onda, hasta la aproximación matricial de Heisenberg. Y otra que en un momento mencionaré.

... y la mayoría de los libros usa un enfoque diferente del que hemos adoptado. Cuando sigan estudiando y lean otros libros puede ser que no vean inmediatamente la conexión entre lo que encontarán en ellos y lo que hemos estado haciendo. Aunque podríamos obtener algunos resultados útiles, el fin principal de este capítulo es darles a conocer algunas maeras nuevas de escribir la misma física. Conociéndolas, estarán en condiciones de comprender mejor lo que otros dicen.

Ahora Feyman revela algunas pistas históricas, pero sin dar detalles:

Cuando se comenzó ha desarrollar la mecánica clásisca, los físicos siempre escribían las ecuacioes en términos de las componentes x, y, z. Luego vino alguien y señaló que se podía simplificar mucho la escritura inventando la notación vectorial. Es verdad que cuando llega el momento de calcular algo, a menudo hay que volver a convertir los vectores en sus componentes ..

Y volver a calcular usando explícitamente x, y, z.

.. Pero generalmente es mucho más fácil ver qué está pasando cuando trabajan con vectores y además es más fácil hacer muchos de los cálculos usando el concepto de "vector de estado"...

Es el vector de estado lo que adopté como base para mi serie de posts.

... Por supesto que el vector de estado |V> no tiene nada que ver con vectores geométricos en tres dimensiones; éste es un símbolo abstracto que representa un estado físico...

Tengo que escribir un post dedicado a ese tema: la diferencia entre estado físico y su representación vectorial. Algo ya escribí en la serie de posts mencionadad.

... identificado con el rótulo o "nombre" V. El concepto es útil porque empleando estos símbolos es posible escribir las leyes de la mecánica cuántica como ecuaciones algebraicas.

Introduce entonces el concepto de operador, como algo que opera sobre un vector de estado, para producir otro vector (no siempre con significado físico directo). Es importante el capítulo porque también muestra:

- Cómo un operador sobre vectores de estado puede "extraer" valores esperados de magnitudes físicas, como comenté en este post.

- Cómo un operador se puede representar con distintas matrices, así como un número "tres" puede representarse como "3" en base diez, o "11" en base dos.

- La existencia de operadores sobre funciones, en lugar de operadores de vectores

Feynman escribe más adelante, luego de mostrar que d/dx es un operador sobre funciones:

... Un operador cuántico A no actúa sobre una función algebraica, sino sobre un vector de estado tal como |V>. En la mecánica cuántica se usan ambas clases deoperadores y a menudo en clases similares de ecuaciones... Al aprender el tema por primera vez siempres es bueno tener presenta la distinción.

Y aquí viene el "toque Feynman":

Más adelante, cuando estén más familiarizados con el tema, encontrarán que no tiene tanta importancia mantener una distinción nítida entre las dos clases de operadores. Por cierto, encontrarán que la mayoría de los lbros usa generalmente la misma notación para ambas.

Es notable cómo luego Feynman muestra el uso de los operadores para "sacar jugo" de los vectores de estado, cambia luego a funciones de onda, visita al pasar la función delta de Dirac, trata los autovalores de un operador como los valores que puede tomar la magnitud física que representa (ver el post de valores esperados que mencioné arriba), la evolución en el tiempo de esa magnitud, las relaciones de Heinsenberg, la expresión de un operador en distintas bases (pasando por ejemplo, de la base de coordenadas a la base de momentos), y más. Hasta extrae por lo menos dos leyes de Newton del juego de operadores que expone, altamente recomendable para estudio cuidadoso. Es uno de los capítulos claves en el libro de Feynman, donde trata de poner al tanto a los asistentes de su curso sobre el formuleo más usado en este tema.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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