Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Enero, 2012, 16:31

En el post Desarrollando una Función en Serie de Potencias presenté cómo una función de una variable x puede ser expresada como potencias de x (no traté las condiciones necesarias o suficientes para que ese desarrollo exista). Habría varios puntos a tratar: para cuales funciones se pueden obtener ese tipo de desarrollo; para cuáles valores de x (real o complejo) el desarrollo en serie tiene un valor (digamos, converge a un valor). Por ahora, quiero seguir jugando con el concepto.

Sea una función y que depende de x. Supongamos que admite un desarrollo en serie:

Ahora, podemos plantear el desarrollo de su primera derivada

Quiero resolver una simple ecuación diferencial:

Entonces igualando los desarrollos de las series de ambos lados:

Para que sean iguales para todo x (o por lo menos, para todo x para el que los desarrollos en serie den un resultado convergente), deben coincidir los coeficientes que tienen x con el mismo exponente. Queda:




Entonces, despejando desde A, queda:




El factor A es f(0). Determinado ese valor, queda como solución:

Ese interesante desarrollo en serie, si tomamos f(0) = 1, es el desarrollo de

Solo declaro eso, no lo estoy demostrando. Pero lo que quería comenzar a explorar es que los desarrollos en serie se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales.  En próximos posts veré de resolver otras ecuaciones de ese tipo usando series. Ya llegará el tiempo de comprobar que el desarrollo de arriba coincide con el número e elevado a la x. Como era de esperar, la solución de la ecuación presentada tiene no una solución, sino toda una familia de soluciones, con parámetro variable A.

Temas pendientes:
El valor del número e
Resolver y = y""
Convergencia de series de potencias

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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