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Febrero del 2012
Publicado el
27 de Febrero, 2012, 17:19
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En este post, me pondré más formal. Exploremos lo que es una topología en matemáticas. En el anterior post, trabajé con puntos en el plano, y en especial, con puntos "cercanos" de puntos, que es lo que le interesa a la topología general. Es necesario ahora empezar a manejar más formalmente lo que es un entorno.
Sea una familia de conjuntos T. Se dice que es una topología si:
- La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T
- La unión de una familia de conjuntos (arbitraria) de T también está en T
Los elementos de T son conjuntos, y se llaman conjuntos abiertos de la topología T. Llamemos X al conjunto unión de todos los elementos de T. Es, por la segunda condición de arriba, también parte de t. Se lo llama el espacio X, y al par (X, T) se lo llama espacio topológico. Vemos que el conjunto vacío también es elemento de T, pues es la unión de la familia de conjuntos vacía de T. Para un mismo espacio X, puede haber más de una topología. Por ejemplo, sea X un conjunto no vacío. Sea T la familia de conjuntos que tiene dos elementos: X y el conjunto vacío. Cumple con las dos condiciones de arriba, y es por lo tanto una topología. Se llama la topología indiscreta de X.
Sea ahora el mismo conjunto X, y sea T la familia de todos sus subconjuntos, incluyendo X y el conjunto vacío. De nuevo T es una topología, y el par (X, T) es un espacio topológico. Esta topología se llama la topología discreta de X.
Son dos extremos de topología, que se pueden armar con cualquier conjunto. Ahora no son muy interesantes. El concepto de topología tardó décadas en aparecer, y tuvo sus inicios en propiedades de los números reales, y en espacios con métrica donde se define una distancia adecuada entre dos puntos cualesquiera. Vean que las dos condiciones de arriba no hablan de distancia. ¿Cómo llegaremos a "puntos cercanos" desde ahí?
Pongamos un caso de topología sobre los números reales. Sean los reales, entonces, el espacio X. Necesitamos una topología de ejemplo. Sea T la familia de todos los conjuntos A, tales que
Traduciendo: cada punto de A está rodeado de un intervalo abierto (a, b) que está en A. Con poco trabajo se ve que los conjuntos A forman una topología, pues cumplen con las dos condiciones de arriba. Veamos, sean A, B abiertos en esta topología. Entonces, cada x de su intersección estará contenido en dos intervalos abiertos, (a, b), (c, d). El primero es un intervalo incluido en A. El segundo es un intervalo incluido en B. El intervalo abierto (max(a, c), min(b, d)) sigue conteniendo a x, y está incluido tanto en A como en B. Por lo tanto, la intersección de dos abiertos cualesquiera A, B sigue siendo abierto en esta topología. De manera similar se prueba que la unión de una familia de conjuntos abiertos M, es un abierto. Pues si x es un elemento de esa unión, es porque pertenece a un abierto A, con un intervalo { y : a < x < b } incluido en A, que por lo mismo está incluido en la unión de la familia.la misma manera se prueba que la unión de la familia M. Esta topología se llama topología usual de los reales.
Es algo formal, pero tenemos que habituarnos: es el lenguaje de la matemática. Empieza a aparecer, en el ejemplo anterior, que los puntos x de un abierto X no están nunca "en solitario": están "rodeados" de sus puntos "cercanos" (vean que justamente en la recta real llamamos intervalos abiertos a conjuntos que son abiertos en esa topología usual). Vean que la unión de dos intervalos abiertos DISJUNTOS también es abierta en esta topología.
Si fuéramos al plano, los elementos como:
Son abiertos, y las uniones de familias de estos conjuntos, también son abiertos. Vean que puede aparecer, como antes con los intervalos abiertos, que no todos los abiertos son como los de la figura: todo conectado, formando una sola "pieza". Un conjunto abierto puede ser la unión (incluso infinita) de conjuntos de este tipo, disjuntos o no.
En las condiciones del principio, vemos una asimetría. La primera habla de la intersección de DOS conjuntos, y la segunda la unión de una FAMILIA CUALESQUIERA. ¿Por qué no se acepta la intersección de una familia cualquiera? Porque podría llevar fácilmente, a tener conjuntos abiertos DE UN SOLO PUNTO. Por ejemplo, sea la topología usual de los reales. Tomemos la intersección de todos los intervalos abiertos (-a, a), con a real positivo. El resultado es: {0}, el conjunto que sólo contiene al 0. Si admitiéramos en la primera condición la intersección de una familia, entonces {0} sería un abierto en la topología de los reales. Y lo mismo pasaría con {1}, {-1}, {1.5} {3.14159.. }. Cada conjunto de un solo punto SERIA un abierto. Terminaríamos obteniendo la topología discreta de los reales, que de tan abarcativa, no es interesante.
Volvamos al tema de entorno, tratado en el post anterior. Nos interesa el concepto porque nos dio, intuitivamente, el concepto de un punto rodeado de sus puntos cercanos. Ahora que tenemos topología y abiertos ¿cómo podemos tener una definición de entorno en base a ellos? Así: llamamos entorno E de x a todo conjunto que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x.
Así, la figura mostrada arriba es un entorno del punto marcado en el medio, por ser él mismo un abierto del punto incluido en sí mismo. Pero también tenemos como entorno del punto marcado en el centro a:
que es el abierto anterior con todos los puntos de su "frontera" incluidos. Y así serán también entornos de ese punto marcado todo conjunto arbitrario que contenga a un abierto cualquiera que tenga al punto como elemento.
Tenemos nuestro primer teorema:
[GT01] Un conjunto es abierto en una topología si y solo si es entorno de todos sus puntos.
Es fácil ver que si A es abierto, es entorno de cada uno de sus puntos. Veamos la implicación inversa. Si un conjunto A es entorno de todos sus puntos, es porque para cada uno de sus elementos x, contiene un conjunto abierto digamos B(x), al que pertenece x. Formemos la unión C de todos esos B(x) (haciendo que x recorra todos los elementos de A). Como todos son abiertos, la unión C de esa familia TAMBIEN es un abierto (por la segunda condición de topología). Y esa unión C coincide con A. Pues cada elemento de A está en C (pues cada x de A tiene un B(x) incluido en C), y cada elemento de C está en A (pues cada B(x) está incluido en A).
Tenemos mucho por explorar: más propiedades de abiertos, entornos, y considerar los llamados conjuntos cerrados. También el concepto de "frontera" que apareció ya varias veces intuitivamente.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
26 de Febrero, 2012, 8:17
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Hace una semana comentaba un fragmeno del diálogo de Platón Fedro. Encuentro en la misma obra este intercambio, entre Fedro y Sócrates, caminando a buscar un lugar donde discutir un texto. Fedro le pregunta por detalles de un mito:
Fedro - Dime, Sócrates, ¿no fue por algún sitio de éstos junto al Iliso donde se cuenta que Bóreas arrebató a Oritía?
Sócrates - Sí que se cuenta.
Fedro . - Entonces, ¿fue por aquí? Grata, pues, y límpida y diáfana parece la corriente del arroyuelo. Muy a propósito para que jugueteen, en ella, unas muchachas.
Sócrates . - No, no fue aquí, sino dos o tres estadios más abajo. Por donde atravesamos para ir al templo de Agaas . Por algún sitio de ésos hay un altar, dedicado a Bóreas.
Fedro . - No estaba muy seguro. Pero dime, por Zeus, ¿crees tú que todo ese mito es verdad?
Sócrates . - Si no me lo creyera, como hacen los sabios, no sería nada extraño. Diría, en ese caso, haciéndome el enterado, que un golpe del viento Bóreas la precipitó desde las rocas próximas, mientras jugaba con Farmacia y que, habiendo muerto así, fue raptada, según se dice, por el Bóreas. Hay otra leyenda que afirma que fue en el Areópago, y que fue allí y no aquí de donde la raptaron. Pero yo, Fedro, considero, por otro lado, que todas estas cosas tienen su gracia; sólo que parecen obra de un hombre ingenioso, esforzado y no de mucha suerte. Porque, mira que tener que andar enmendando la imagen de los centauros, y, además, la de las quimeras, y después le inunda una caterva de Gorgonas y Pegasos y todo ese montón de seres prodigiosos, aparte del disparate de no sé qué naturalezas teratológicas. Aquel, pues, que dudando de ellas trata de hacerlas verosímiles, una por una, usando de una especie de elemental sabiduría, necesitaría mucho tiempo. A mí, la verdad, no me queda en absoluto para esto. Y la causa, oh querido, es que, hasta ahora, y siguiendo la inscripción de Delfos, no he podido conocerme a mí mismo. Me parece ridículo, por tanto, que el que no se sabe todavía, se ponga a investigar lo que ni le va ni le viene. Por ello, dejando todo eso en paz, y aceptando lo que se suele creer de ellas, no pienso, como ahora decía, ya más en esto, sino en mí mismo, por ver si me he vuelto una fiera más enrevesada y más hinchada que Tifón, o bien en una criatura suave y sencilla que, conforme a su naturaleza, participa de divino y límpido destino.
Vean que Sócrates evita los mitos de su época: dice que le tomaría demasiado tiempo hacerlos verosímiles, así que los deja como está. La "inscripción de Delfos" se refiere al "Conócete a tí mismo". Tengo que buscar otros textos de Platón donde se menciona: Protágoras 343b, Filebo 48c.
Se ha marcado a esa época griega como "el abandono del mito". Puede ser, pero es un punto a discutir: el mito y su abandono convivieron por siglos. El dejar los mitos aparte, aparece con Tales y otros presocráticos, que tratan de explicar la realidad no como la lucha de dioses, sino desde modelos explicativos, una proto cienica. Sócrates se preocupa más por el ser humano, que por abandonar los mitos y explicar la naturaleza con modelos, como el de Tales, tipo "todo es agua".
Sócrates usa mitos propios para ilustrar su exposición, como el conocido mito de la caverna, en La República. Tengo más de una versión de Fedro. En uno de ellos, los comentadores anotan sobre la verdad del mito para Sócrates:
Platón se hace eco de un problema fundamental de la sociedad y la cultura de su tiempo. «El mito muere en la época de juventud de Platón. La razón que se levanta sobre el mundo y los dioses, el arte que se alza sobre la religión, y el individuo sobre el Estado y las leyes, han destruido el mundo mítico. Estas transformaciones en el arte, la religión y el Estado, expresan un cambio interior que... se conoce con el nombre de sofística, de Ilustración», K. REINHARDT «Platons Mythen», en Vermaechtnis der Antike, Gesammelte Essays zur Philosophie und Geschichtsschreibung, ed. de CARL BECKER, Gotinga, 1960, pág. 220. Platón utiliza aquí la forma sophizómenos. El verbo sophízomai, que encontramos por primera vez en TEOGNIS, 19, cubre un amplio campo semántico en el que también se encuentra el sentido de «ser excesivamente sutil», «usar trucos intelectuales», etc. Cf., por ejemplo, EURÍPES, Ifig. en Ául. 744. Una posible crítica a la interpretación racional de los mitos se deduce de la respuesta de Sócrates a Fedro. Esa racionalización de la mitología no tendría fin, y alcanzaría tan múltiples versiones como múltiples son las formas de aparición del mito. Parece, pues, que hay que dejarlas así y saborearlas tal como se cuentan. Cf. J. A. STEWART, The Myths of Plato, Londres, 1905, págs. 242-246. Stewart cita, en nota a pág. 243, un texto de G. GROTE (A History of Greece from the Earliest Period to the Close of the Generation Contemporary with Alexander the Great, 10 vols., Londres, 1862) en que el platonista victoriano resume ese sentimiento religioso que Stewart desarrolla en la Introducción a su libro como «transcendental Feeling». Cf., también, P. VICAIRE, Platon, critique littéraire, París, 1960, págs. 390 y sigs.
Sobre la mención a Tifón, leo:
Tifón, hijo de Tártaro y Gea, monstruo de cien cabezas y terrible voz, enfrentado a Zeus (HESÍODO, Teogonía 820 ss.). Arrojado al Tártaro, se manifiesta en la erupción de los volcanes -Zeus puso sobre él Etna-. La más antigua noticia sobre Tifón la encontramos en HOME¬RO (Ilíada II 782). Platón, tal como hará en el Crátilo, utiliza aquí un intraducible juego de palabras: typhos «hinchado, vano», pero también «humo, soplo»; dtyphos significa, por el contrario, sencillo, claro, límpido. Tal vez el conocimiento de sí mismo a que Sócrates se refiere, a propósito de la inscripción délfica, le lleve hasta este adjetivo, que expresaría una forma ideal de autorreflexión.
Vean cómo nos perdemos un juego de palabras, por no leer el griego original.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Febrero, 2012, 15:19
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Sigo entusiasmado, con mis enlaces de matemáticas. Vean de visitar siempre Gaussianos, el blog de Gowers, The Unapologetic Mathematician, y el de Terry Tao.
Una inesperada aparición del número áureo
http://gaussianos.com/una-inesperada-aparicion-del-numero-aureo/
Addition Is Useless, Multiplication Is King: Channeling Our Inner Logarithm
http://www.freakonomics.com/2011/11/29/addition-is-useless-multiplication-is-king-channeling-our-inner-logarithm/
JUEGO DE LOGICA. COLOCANDO MONEDAS
http://acertijosymascosas.com/juego-de-logica-colocando-monedas/
ACERTIJO. BARAJANDO CARTAS
http://acertijosymascosas.com/acertijo-barajando-cartas/
ACERTIJO NUMÉRICO. CONSIGUE EL MAYOR NÚMERO POSIBLE
http://acertijosymascosas.com/acertijo-numerico-consigue-el-mayor-numero-posible/
J.S. Bach - Crab Canon on a Möbius Strip
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=xUHQ2ybTejU
MUSICA Y MATEMATICAS
http://acertijosymascosas.com/musica-y-matematicas/
The (∞,1)-Category of (∞,n)-Categories
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/the_1category_of_ncategories.html
Moser spindle
http://11011110.livejournal.com/236412.html
Homotopies as Morphisms
http://unapologetic.wordpress.com/2011/11/29/homotopies-as-morphisms/
How Khan Academy Is Changing the Rules of Education
http://www.wired.com/magazine/2011/07/ff_khan/all/1
Sierpinski Network
http://meep.cubing.net/html5/sierpinski.html
Cotangent space
http://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent_space
Poincaré conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%83%C2%A9_conjecture
History of manifolds and varieties
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_manifolds_and_varieties
Group actions III — what"s the point of them?
http://gowers.wordpress.com/2011/11/25/group-actions-iii-whats-the-point-of-them/
Konseku, a new kind of puzzle
http://www.konseku.com/
A new puzzle with increasing difficulty from Monday to Sunday
KONSEKU , UN NUEVO JUEGO MATEMÁTICO.
http://acertijosymascosas.com/konseku-un-nuevo-juego-matematico/
Dados No Transitivos
http://dados.wordpress.com/2006/12/15/dados-no-transitivos/
Esos curiosos dados
http://gaussianos.com/dados-no-transitivos/
Nontransitive dice
http://en.wikipedia.org/wiki/Nontransitive_dice
Basic logic — relationships between statements — negation
http://gowers.wordpress.com/2011/10/02/basic-logic-relationships-between-statements-negation/
Basic logic — connectives — NOT
http://gowers.wordpress.com/2011/09/26/basic-logic-connectives-not/
The number of cycles in a random permutation
http://terrytao.wordpress.com/2011/11/23/the-number-of-cycles-in-a-random-permutation/
Equivalence relations
http://gowers.wordpress.com/2011/10/30/equivalence-relations/
LA PARADOJA DE
BANACH-TARSKI
http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Banach_Tarski.pdf
La paradoja de Tarski - Banach
http://tiopetrus.blogia.com/2003/091801-la-paradoja-de-tarski-banach.php
La paradoja de Banach-Tarski
http://gaussianos.com/la-paradoja-de-banach-tarski/
Axiom of choice
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Tarski's circle-squaring problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski's_circle-squaring_problem
Productive Homotopy Pullbacks
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/productive_homotopy_pullbacks.html
Discreteness, Concreteness, Fibrations, and Scones
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/discreteness_concreteness_fibr.html
Opinion 69: Roll Over Platonism, Logicisim, Formalism, Intuitionism, Constructivism, Naturalism and Humanism! Here Comes Combinatorialism and Trivialism.
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion69.html
Is the Universe Actually Made of Math?
http://discovermagazine.com/2008/jul/16-is-the-universe-actually-made-of-math
Erróneo, rotundamente
http://gaussianos.com/erroneo-rotundamente/
The Classical Stokes Theorem
http://unapologetic.wordpress.com/2011/11/23/the-classical-stokes-theorem/
Vicente Muñoz nos habla de Geometría y Topología con Planito y la forma del Universo
http://gaussianos.com/vicente-munoz-nos-habla-de-geometria-y-topologia-con-planito-y-la-forma-del-universo/
Group actions II: the orbit-stabilizer theorem
http://gowers.wordpress.com/2011/11/09/group-actions-ii-the-orbit-stabilizer-theorem/
A nice, simple, powerful theorem
Group actions I
http://gowers.wordpress.com/2011/11/06/group-actions-i/
Why isn"t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
http://gowers.wordpress.com/2011/11/13/why-isnt-the-fundamental-theorem-of-arithmetic-obvious/
Grande Gowers! Sí, ideals sin factorización única, tengo que escribir un post del tema
Mis Enlaces
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21 de Febrero, 2012, 14:50
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Quiero comenzar una serie de posts sobre mecánica clásica. Veamos primero qué es eso de "mecánica" y entonces, qué es "mecánica clásica".
Primero, mecánica es una rama de la física que se ocupa de los movimientos de los cuerpos, sujetos a fuerzas y desplazamientos. El entender el movimiento de una flecha, un proyectil, o la Luna y los planetas, fue algo que llevó siglos de pensamiento. Para Aristóteles, había movimientos naturales: en los cielos, el movimiento natural era circular, y así lo hacían la Luna y el Sol. Mientras que en la zona terrestre, el movimiento natural era hacia el centro de la tierra. Una flecha lanzada por el arco, no podía seguir por siempre moviéndose, según el sabio griego. No fue hasta llegar hasta Galileo (y antecesores) donde se descubrió la inercia del movimiento. El estudió el movimiento de los proyectiles (era parte de su trabajo). A partir de ahí nace la "mecánica clásica", que se llama así en contraposición a "mecánica cuántica", expresión nacida en el primer cuarto del siglo XX. Esta nueva denominación fue acuñada por Max Born en un artículo, ver History of Quantum Mechanics. Esa mecánica cuántica es parte de la física cuántica que estoy explorando en mi serie sobre Física Cuántica. Pero antes, la mecánica clásica era simplemente mecánica.
También se la ha llamado mecánica analítica o dinámica. Esta serie de posts me obliga a estudiar algunos temas que conocía y otros nuevos. Y va a servir para entender mejor también la mecánica cuántica. Por ejemplo, la aparición de lagrangianos y hamiltonianos en la mecánica clásica, es un preludio a su uso posterior en física cuántica. Es notable cómo esas herramientas matemáticas que nacieron en la época clásica, de la mano de grandes matemáticos como Lagrange, Euler y Hamilton, ha tenido gran importancia en el planteamiento del formuleo de la nueva física moderna.
Comencemos con la mecánica de una partícula material: una abstracción útil. En vez de considerar un cuerpo rígido complejo, con volumen, vamos a iniciar el camino con un simple "punto de materia". Estamos interesados en su movimiento, que es el cambio de posición en el tiempo. ¿Cómo expresamos la posición de esa partícula? Los físicos usan un vector r para esa posición. Esto da por sentado que tenemos un origen a partir del cual establecer este vector. Es interesante irse dando cuenta que la física explica mucho sin tener que apelar a un punto de origen determinado. En física, hablamos de marco de referencia para indicar el sistema que usamos para establecer esos vectores, como la posición de un partícula. Pero recuerden: eso es algo que le ponemos nosotros, una extensión del concepto matemático de coordenadas (con origen y ejes). Atención: marco de referencia es algo físico, por ejemplo, nuestro laboratorio, anclado a la superficie de la Tierra, o una nave espacial donde tenemos encerrados a físicos haciendo experimentos. En cambio, coordenadas (origen y ejes) es algo que viene de las matemáticas. Introducidas por Descartes, gran parte de la historia de la física matemática es una lucha por sacarse de encima las coordenadas, y descubrir cómo las leyes fundamentales de la mecánica son independientes de alguna clase de marcos de referencia.
Dada la posición r de una partícula, llamamos velocidad al vector:
Intuitivamente, el cambio en el tiempo del vector posición. Vemos que la velocidad es un vector: no solo una cantidad, sino que también tiene dirección. Newton puso como segunda definición en sus Principia:
Definition II
The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjointly.
The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion is double; with twice the velocity, it is quadruple.
Lo llamamos cantidad de movimiento, o momento lineal. Lo escribimos:
De nuevo un vector. El momento lineal no es sólo cantidad, sino que tiene dirección. Como escribía Newton, al doble de masa, doble momento; al triple de velocidad, triple momento. Durante mucho tiempo no se vió claro que el momento lineal de una partícula (o de algo más real, un proyectil), ante la ausencia de influencia exterior se mantenía constante. Para Aristóteles, sin nada que la empuje, una flecha se debería detener al abandonar el arco. Newton expresa algo de esa idea, la permanencia del movimiento, en su definición III:
Definition III
The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or of moving uniformly forwards in a right line.
This force is always proportional to the body whose force it is and differs nothing from the inactivity of the mass, but in our manner of conceiving it. A body, from the inert nature of matter, is not without difficulty put out of its state of rest or motion. Upon which account, this vis insita may, by a most significant name, be called inertia (vis inertiae) or force of inactivity. But a body only exerts this force when another force, impressed upon it, endeavours to change its condition; and the exercise of this force may be considered as both resistance and impulse; it is resistance so far as the body, for maintaining its present state, opposes the force impressed; it is impulse so far as the body, by not easily giving way to the impressed force of another, endeavours to change the state of that other. Resistance is usually ascribed to bodies at rest, and impulse to those in motion; but motion and rest, as commonly conceived, are only relatively distinguished; nor are those bodies always truly at rest, which commonly are taken to be so.
Vean que Newton se refiere a masa como masa inercial: medida de la inercia de un cuerpo. Y aparece fuerza en su definición 4:
Definition IV
An impressed force is an action exerted upon a body, in order to change its state, either of rest, or of uniform motion in a right line.
This force consists in the action only, and remains no longer in the body when the action is over. For a body maintains every new state it acquires, by its inertia only. But impressed forces are of different origins, as from percussion, from pressure, from centripetal force.
Avancemos hasta la segunda ley de Newton:
Law II
The change of motion is proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.
La segunda ley de Newton dice que existen marcos de referencia, donde cualquier cambio en el momento lineal/cantidad de movimiento se debe a la acción de una fuerza.
O como
Si la masa a considerar es constante (por ejemplo, no se cumple en un cohete que está perdiendo masa en el combustible quemado), podemos escribir:
Donde a se llama aceleración, el "cambio" de la velocidad en el tiempo. De nuevo es un vector, tiene magnitud y dirección. La aceleración de la partícula es entonces:
Es decir, la aceleración vector es la segunda derivada del vector posición, respecto al tiempo.
Esta es una ecuación de movimiento: una ecuación diferencial que relaciona posición, velocidad, aceleración de una partícula o un sistema.
Los marcos de referencia donde se cumple la segunda ley de newton se llaman inerciales o sistemas galieleanos. Son una idealización. Aún nuestro laboratorio, que parece tan "fijo y firme" está encastrado sobre la superficie de nuestro planeta, que gira alrededor de su eje, y a su vez, alrededor del Sol, y nuestra estrella gira alrededor de la Galaxia, y así… ¿Tienen la idea? ;-)
Y así llegamos a nuestra primera ley de conservación, si aceptamos a Newton. En un sistema inercial tenemos:
Teorema de la conservación del momento lineal de una partícula: Si la fuerza total F es cero, entonces dp/dt = 0, lo que dice matemáticamente que p es constante, y se conserva en el tiempo (algo que hubiera asombrado a Aristóteles).
Por hoy, suficiente! ;-)
Ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanics
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
Post relacionados:
Lugar y Movimiento Absoluto en Newton
Espacio y Tiempo en Newton
Las leyes de movimiento de Newton
Los Principia de Newton
Newton explicando la Gravedad
Bibliografía Consultada: Mecánica Clásica, de Goldstein, Editorial Reverté. Ver http://books.google.com.ar/books/about/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica.html?id=vf2JiybeDc4C&redir_esc=y
Ver también Mecánica Clásica (pdf) de Luis Rodriguez Valencia, y Mecánica Clásica de Alejandro Torassa.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
20 de Febrero, 2012, 12:09
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Al fin encuentro el pasaje de Platón, donde Sócrates declara que le importan los seres humanos, más que el resto de la naturaleza. Está en el Fedro. Sócrates va acompañado por Fedro, que busca un lugar en las afueras de la ciudad, para leer y discutir un texto.
Sócrates - ¡Por Hera! Hermoso rincón, con este plátano tan frondoso y elevado. Y no puede ser más agradable la altura y la sombra de este sauzgatillo, que, como además, está en plena flor, seguro que es de él este perfume que inunda el ambiente. Bajo el plátano mana también una fuente deli-ciosa, de fresquísima agua, como me lo están atestiguando los pies. Por las estatuas y figuras, parece ser un santuario de ninfas, o de Aqueloo. Y si es esto lo que buscas, no puede ser más suave y amable la brisa de este lugar. Sabe a verano, además, este sonoro coro de cigarras. Con todo, lo más delicioso es este césped que, en suave pendiente, pa-rece destinado a ofrecer una almohada a la cabeza placente-ramente reclinada. ¡En qué buen guía de forasteros te has convertido, querido Fedro!
Bien escrito por Platón, que se detiene a describir el paisaje, y apela a las sensaciones de Sócrates mismo ("me lo están atestiguando los pies").
Fedro - ¡Asombroso, Sócrates! Me pareces un hombre rarísimo, pues tal como hablas, semejas efectivamente a un forastero que se deja llevar, y no a uno de aquí. Creo yo que, por lo que se ve, raras veces vas más allá de los límites de la ciudad; ni siquiera traspasas sus murallas.
Fedro se sorprende de un Sócrates que parece alguien que no es de Atenas, como si fuera la primera vez que visita las afueras.
Sócrates - No me lo tomes a mal, buen amigo. Me gusta aprender. Y el caso es que los campos y los árboles no quieren enseñarme nada; pero sí, en cambio, los hombres de la ciudad...
He aquí la declaración. Este es un giro importante en la historia de la filosofía occidental. Mientras los predecesores de Sócrates tratan de explicar todo el mundo (como Tales explicando los primeros elementos que componen todo), en cambio Sócrates pone el énfasis en tratar de entender a los seres humanos en sociedad. En una época turbulenta de la historia de Atenas, Sócrates (y Platón) tratan de hacer comprender a los ciudadanos de la polis lo que es el bien y la forma de actuar que se espera de ellos. Hubo un tiempo que Platón confiaba que los filósofos pudieran gobernar una sociedad, pero al final de su vida, se inclinó que no era posible sin la existencia de leyes: no podía confiar en la conducta humana para armar y mantener la sociedad que prentendía, con lo cual cifraba su esperanza en la creación y seguimiento de leyes que constituyan el armazón de una polis de su tiempo.
Posts relacionados:
Sócrates de Atenas (1)
Platón, por Savater
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17 de Febrero, 2012, 11:49
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Ishango, 22000 and 50 years later:
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http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Ishango_meeting.htm
http://ishango.naturalsciences.be/
Ishango bone
http://en.wikipedia.org/wiki/Ishango_bone
The Ishango bone is a bone tool, dated to the Upper Paleolithic era. It is a dark brown length of bone, the fibula of a baboon,[1] with a sharp piece of quartz affixed to one end, perhaps for engraving. It was first thought to be a tally stick, as it has a series of what has been interpreted as tally marks carved in three columns running the length of the tool, but some scientists have suggested that the groupings of notches indicate a mathematical understanding that goes beyond counting. It has also been suggested that the scratches might have been to create a better grip on the handle or for some other non-mathematical reason
Most striking applications of category theory?
http://mathoverflow.net/questions/19325/most-striking-applications-of-category-theory
Coffin problems (los problemas judíos)
http://insomniablog.com.ar/?p=1342
"Coffins"
http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html
Here is a collection of difficult math problems with elegant solutions that possess a unique history.
Fermat Pseudoprime
http://mathworld.wolfram.com/FermatPseudoprime.html
Topology without Tears
http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topology.htm
Four-momentum
http://en.wikipedia.org/wiki/Four-momentum
In special relativity, four-momentum is the generalization of the classical three-dimensional momentum to four-dimensional spacetime.
An Introduction to the Fascinating Patterns of Visual Math
http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual_math_varieties.html
¿Cómo, esto también es matemática?
http://cms.dm.uba.ar/material/paenza/libro6
Geometría ¿sanadora? con poliedros
http://eliatron.blogspot.com/2011/11/geometria-sanadora-con-poliedros.html
Best statistics question ever
http://flowingdata.com/2011/10/28/best-statistics-question-ever/
Prequantum Physics in a Cohesive ∞-Topos
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/10/prequantum_physics_in_a_cohesi.html
Towards the Mathematics of Quantum Field Theory
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/06/towards_the_mathematics_of_qua.html
Mis enlaces
http://delicious.com/ajlopez/mathematics
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
15 de Febrero, 2012, 16:47
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Publicado el
12 de Febrero, 2012, 15:15
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En mi país, Argentina, el gobierno ejecutivo está en manos del kirchnerismo, llamado así por Néstor Kirchner, ex presidente, fallecido en 2010, cuando ya su esposa Cristina Kirchner era presidenta de mi país (puesto que renovó con las elecciones del 2011, con una mayoría de votos que pasó el 50 por ciento). Ya escribí sobre mi postura ante el gobierno K en:
¿Soy un Anti-K?
y antes, mi postura sobre lo que espero de un gobierno en:
Si yo fuera presidente
En estos días, hubo un suceso, anecdótico si se quiere, pero que sirve de muestra para exponer de nuevo uno de los problemas (y peligro) que tenemos los argentinos al tener este gobierno:
Denuncian falso diálogo de Cristina Fernández con supuesto obrero
Leo ahí:
El portal Contexto 24 denunció un falso diálogo entre la Presidenta Cristina Fernández y un supuesto obrero que reclamaba por los cortes de rutas contra la meaminería.
El minero que fue presentado como un "obrero del mineral" y que durante el acto en Casa Rosada en el que se anunciaban inversiones y dialogó con Cristina Fernández mediante una videoconferencia desde una fábrica de cemento en la ciudad bonaerense de Olavarría es el actual presidente del Partido Justicialista local y secretario General del gremio que los nuclea, AOMA. Durante el evento la presidente pidió hablar con uno de los trabajadores de la compañía y el "elegido" fue Armando Domínguez, que con ropa de trabajo y un casco amarillo agradeció a la mandataria por su gestión para atacar, después, a los ambientalistas que en el día de ayer cortaron la ruta que lleva a la mina de Bajo La Alumbrera en la provincia de Catamarca y que fueran ferozmente reprimidos por la policía provincial y la Gendarmería Nacional.
Es decir, hay un conflicto por la explotación de una mina. Los que protestan son los ambientalistas. Y el gobierno no está "de parte de ellos". No conozco los detalles de la represión que menciona este medio. Como siempre recomiendo, hay que recibir lo que se lee con todo el pensamiento crítico posible (y no aceptar algo porque coincide con nuestra visión, o rechazar algo por el origen interesado del que parte: lo que hay que ver es si lo que se dice, digamos "dos mas dos es cuatro", corresponde o no con la realidad, y en qué grado). Pero después de haber revisado otras noticias, parece que lo descripto arriba corresponde bastante con lo que pasó. Vean el detalle de tener "casco amarillo". Según otros:
Fuentes del Concejo Deliberante local confiaron este mediodía a Contexto24.com que "Domínguez hará 25 años que no se pone un casco y ayer fue presentado como un obrero común del mineral de Olavarría".
De nuevo, hay que confirmar. Hay otros casos de gente presentada como "espontánea", que al parecer no lo eran tanto. Una lista (a discutir) en:
El "trabajador Antonio" y la larga lista de "falsos positivos" del kirchnerismo
Hay quien trata de defender el caso, criticando a Clarín, el grupo de medios que no comulga con el gobierno (ver en mi primer post mencionado arriba algo de la historia de esa pelea):
Para Clarín, un delegado gremial no es un trabajador
Si este Domínguez no se pone el casco desde hace 25 años, no es para mí problema. Puede que sea alguien que realmente entienda del tema y quiera defender y representar a los trabajadores. Criticaría que se haya puesto casco, una actitud mínima que parece disfrazar su aparición como algo montado "pour la galerie". Pero es más criticable que se lo haga aparecer, de alguna forma, como "la voz del pueblo". Leo en el primer artículo mencionado:
Además de la burda pero previsible manipulación informativa a la que se prestó Cristina Fernández -ya que lo conoce personalmente-, la mandataria nacional mostró una versión muy peligrosa en quienes detentan el Poder. Asignó a las declaraciones del simple "obrero" el clásico dicho romano "Vox Populi, Vox Dei". Que además de no resultar cierto, le permitió repetir lo central del esquema de la propaganda fascista de valorar como verdad universal la palabra de una persona ungida como "vocce del popolo".
De nuevo, a tomar con pinzas y corroborar si la presidenta conoce personalmente a Domínguez. Puede que lo conozca, como puede conocer a diez mil más, y no acordarse. Ese no es el punto. El punto es decididamente toma a las declaraciones de Domínguez, como la "voz del pueblo". Quienes conocen el gobierno K, esto significa "piensa como nosotros".
Me gustaría decir: "No, realmente la presidenta encuentra en esa declaración la voz de la gente oprimida, etc.. ". Pero estoy convencido que si esa declaración hubiera sido a favor de los ambientalistas, hubiera pasado dos cosas:
- Nunca hubiera Dominguez llegado a participar de esa conferencia
- La presidente hubiera rechazado cualquier argumento de Dominguez, y no sería más la "voz del pueblo"
La mención a "propaganda fascista" del fragmento que cité arriba, es algo dura. Pero pasa el tiempo, y cada año que pasa, veo que este gobierno está haciendo todo para ganarse ese sanbenito.
Hay un pueblo argentino. Pero no hay una "voz del pueblo". El pueblo es una sociedad, compuesta por individuos, algunos más cercanos entre sí que con los otros, con diferentes intereses y actividades, con desigualdades. Veo bien que este gobierno se ocupe de luchar contra esa desigualdad social, pero ¿debe para eso "dibujar la realidad"? ¿Debe para eso, tomar actitudes de mostrar "está todo bien" al mejor estilo orwelliano? Y mientras, atacando, desestimando, acusando y tratando de aplastar cualquier pensamiento y acto de oposición. Y bajando línea a cada rato, sobre "éste es el modelo", y al parecer, por lo de arriba, "éste es el modelo, miren, es la voz del pueblo el que me lo pide".
Y para combatir la desigualdad social, ¿se justifica tomar posiciones populistas, de reparto de dinero que no sabemos si es sustentable? Todo indica que el gobierno está luchando con esa "sangría" de inversión. De nuevo, me parece bien luchar contra la desigualdad social, pero tiene que ser éste el camino? Tomar, por ejemplo, el dinero de las jubilaciones, pasarlas a un esquema de reparto (antes había sistema de jubilación privada), y distribuir ese dinero, sin explicar claramente si ese camino es sustentable. ¿Bastará el modelo para pagar las jubilaciones futuras? En los últimos meses, esta sangría ha movido al gobierno a tomar medidas como prohibir la liquidación de exportaciones en el exterior, y hasta millones de ciudadanos se les ha prohibido comprar ni siquiera cincuenta dólares. Esto que menciono es menor, pero sumado a otras resoluciones, es señal de que hay un problema monetario en el gobierno. Otro tipo de gobierno, reconocería el problema. Acá no: cualquier alerta sobre el problema, hasta puede ser tomado como una "acción terrorista" como ha quedado expresado en una nueva ley (creo) sancionada después de las elecciones. El niño del cuento que gritó "El emperador está desnudo" sería un desestabilizador en este gobierno.
Pero es solo una pata del problema. Las actitudes del gobierno indican que está decidido a mentir (disculpen, no se me ocurre mejor verbo), engañar, tratarnos por boludos (disculpen de nuevo), sin permitir la discusión de sus acciones. Ahora, eso sí, si uno declara algo que le conviene al gobierno, será bautizado con "la voz del pueblo". Estudien la historia, vean qué otros países tuvieron gobiernos así.
Bien por la lucha contra la desigualdad social, pero ¿todo lo demás?
¿El fin justifica los medios?
Yo pienso firmemente que no.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
6 de Febrero, 2012, 13:41
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Publicado el
5 de Febrero, 2012, 8:02
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Encuentro este video en la lista de videos de historia de la filosofía: http://euroestan.com/historia.htm
En esta primera entrega, es intersante que se trate los primeros pasos del pensamiento griego, de un pensamiento que trata de explicar el mundo sin apelar a dioses.
"... a Sócrates no le interesabe el mundo físico... da la espalda, por así decirlo, a la naturaleza. Lo que a él le interesa es el individuo..." Ese es el gran cambio que trae Sócrates.
".. es el primer individuo urbano fanático, le encanta la ciudad... "
"... era típico de Sócrates examinar el mundo con la razón.... la libertad de pensamiento era primordial ..."
"... una vida sin este tipo de examen no merece la pena... " Ya varias veces apareció en este blog esta frase, que tiene importancia en mi vida desde hace unas tres décadas.
No conocía la historia de Sócrates defendiendo a los militares que lucharon con los espartanos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
3 de Febrero, 2012, 11:55
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Publicado el
1 de Febrero, 2012, 11:00
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Me ha ido bastante bien en el cumplimiento de mis resoluciones del nuevo mes para Enero de 2012. He publicado el post de física cuántica Ondas Estacionarias de de Broglie y el de matemáticas Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial usando Series de Potencias. Y también publiqué en mi blog en inglés Reading English (1) Harry Potter, an unusual boy. También estuve estudiando mecánica clásica. Así que es tiempo de plantear las resoluciones del nuevo mes, esta vez, de Febrero de 2012.
Enumero mis resoluciones públicas, casi todas tienen un entregrable visible:
- Escribir un post de física cuántica que siga mi serie sobre el tema
- Escribir un post de topología general que siga mi serie sobre el tema
- Escribir primer post de mecánica clásica de una serie nueva
- Estudiar química general (sin entregable visible, espero agregar post del tema para el siguiente mes)
- Escribir segundo post de mi serie sobre las bases de la vida
Bien, ya es bastante (hay algunos más que no son públicos). Elijo como entregable un post: algo visible, que se puede compartir. En estos temas elegidos me tomo bastante tiempo para preparar, escribir y poner diagramas. Así que esa lista es suficiente trabajo por ahora. Incrementé la cantidad de compromisos, respecto al anterior post: es la estrategia de exigirse un poco más. Hubiera podido, tal vez, exigirme así en Enero. Pero siempre es conveniente empezar de a poco. Tengo pendiente escribir mis compromisos técnicos públicos, supongo que los publicaré mañana jueves 2, y agregaré los links por aquí.
Actualización: Publiqué mi lista de resoluciones técnicas en:
New Month’s Resolutions: February 2012
Resoluciones del Nuevo Mes: Febrero de 2012
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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