Publicado el 27 de Febrero, 2012, 17:19
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En este post, me pondré más formal. Exploremos lo que es una topología en matemáticas. En el anterior post, trabajé con puntos en el plano, y en especial, con puntos "cercanos" de puntos, que es lo que le interesa a la topología general. Es necesario ahora empezar a manejar más formalmente lo que es un entorno. Sea una familia de conjuntos T. Se dice que es una topología si: - La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T Los elementos de T son conjuntos, y se llaman conjuntos abiertos de la topología T. Llamemos X al conjunto unión de todos los elementos de T. Es, por la segunda condición de arriba, también parte de t. Se lo llama el espacio X, y al par (X, T) se lo llama espacio topológico. Vemos que el conjunto vacío también es elemento de T, pues es la unión de la familia de conjuntos vacía de T. Para un mismo espacio X, puede haber más de una topología. Por ejemplo, sea X un conjunto no vacío. Sea T la familia de conjuntos que tiene dos elementos: X y el conjunto vacío. Cumple con las dos condiciones de arriba, y es por lo tanto una topología. Se llama la topología indiscreta de X. Sea ahora el mismo conjunto X, y sea T la familia de todos sus subconjuntos, incluyendo X y el conjunto vacío. De nuevo T es una topología, y el par (X, T) es un espacio topológico. Esta topología se llama la topología discreta de X. Son dos extremos de topología, que se pueden armar con cualquier conjunto. Ahora no son muy interesantes. El concepto de topología tardó décadas en aparecer, y tuvo sus inicios en propiedades de los números reales, y en espacios con métrica donde se define una distancia adecuada entre dos puntos cualesquiera. Vean que las dos condiciones de arriba no hablan de distancia. ¿Cómo llegaremos a "puntos cercanos" desde ahí? Pongamos un caso de topología sobre los números reales. Sean los reales, entonces, el espacio X. Necesitamos una topología de ejemplo. Sea T la familia de todos los conjuntos A, tales que
Traduciendo: cada punto de A está rodeado de un intervalo abierto (a, b) que está en A. Con poco trabajo se ve que los conjuntos A forman una topología, pues cumplen con las dos condiciones de arriba. Veamos, sean A, B abiertos en esta topología. Entonces, cada x de su intersección estará contenido en dos intervalos abiertos, (a, b), (c, d). El primero es un intervalo incluido en A. El segundo es un intervalo incluido en B. El intervalo abierto (max(a, c), min(b, d)) sigue conteniendo a x, y está incluido tanto en A como en B. Por lo tanto, la intersección de dos abiertos cualesquiera A, B sigue siendo abierto en esta topología. De manera similar se prueba que la unión de una familia de conjuntos abiertos M, es un abierto. Pues si x es un elemento de esa unión, es porque pertenece a un abierto A, con un intervalo { y : a < x < b } incluido en A, que por lo mismo está incluido en la unión de la familia.la misma manera se prueba que la unión de la familia M. Esta topología se llama topología usual de los reales. Es algo formal, pero tenemos que habituarnos: es el lenguaje de la matemática. Empieza a aparecer, en el ejemplo anterior, que los puntos x de un abierto X no están nunca "en solitario": están "rodeados" de sus puntos "cercanos" (vean que justamente en la recta real llamamos intervalos abiertos a conjuntos que son abiertos en esa topología usual). Vean que la unión de dos intervalos abiertos DISJUNTOS también es abierta en esta topología. Si fuéramos al plano, los elementos como:
Son abiertos, y las uniones de familias de estos conjuntos, también son abiertos. Vean que puede aparecer, como antes con los intervalos abiertos, que no todos los abiertos son como los de la figura: todo conectado, formando una sola "pieza". Un conjunto abierto puede ser la unión (incluso infinita) de conjuntos de este tipo, disjuntos o no. En las condiciones del principio, vemos una asimetría. La primera habla de la intersección de DOS conjuntos, y la segunda la unión de una FAMILIA CUALESQUIERA. ¿Por qué no se acepta la intersección de una familia cualquiera? Porque podría llevar fácilmente, a tener conjuntos abiertos DE UN SOLO PUNTO. Por ejemplo, sea la topología usual de los reales. Tomemos la intersección de todos los intervalos abiertos (-a, a), con a real positivo. El resultado es: {0}, el conjunto que sólo contiene al 0. Si admitiéramos en la primera condición la intersección de una familia, entonces {0} sería un abierto en la topología de los reales. Y lo mismo pasaría con {1}, {-1}, {1.5} {3.14159.. }. Cada conjunto de un solo punto SERIA un abierto. Terminaríamos obteniendo la topología discreta de los reales, que de tan abarcativa, no es interesante. Volvamos al tema de entorno, tratado en el post anterior. Nos interesa el concepto porque nos dio, intuitivamente, el concepto de un punto rodeado de sus puntos cercanos. Ahora que tenemos topología y abiertos ¿cómo podemos tener una definición de entorno en base a ellos? Así: llamamos entorno E de x a todo conjunto que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x. Así, la figura mostrada arriba es un entorno del punto marcado en el medio, por ser él mismo un abierto del punto incluido en sí mismo. Pero también tenemos como entorno del punto marcado en el centro a:
que es el abierto anterior con todos los puntos de su "frontera" incluidos. Y así serán también entornos de ese punto marcado todo conjunto arbitrario que contenga a un abierto cualquiera que tenga al punto como elemento. Tenemos nuestro primer teorema: [GT01] Un conjunto es abierto en una topología si y solo si es entorno de todos sus puntos. Es fácil ver que si A es abierto, es entorno de cada uno de sus puntos. Veamos la implicación inversa. Si un conjunto A es entorno de todos sus puntos, es porque para cada uno de sus elementos x, contiene un conjunto abierto digamos B(x), al que pertenece x. Formemos la unión C de todos esos B(x) (haciendo que x recorra todos los elementos de A). Como todos son abiertos, la unión C de esa familia TAMBIEN es un abierto (por la segunda condición de topología). Y esa unión C coincide con A. Pues cada elemento de A está en C (pues cada x de A tiene un B(x) incluido en C), y cada elemento de C está en A (pues cada B(x) está incluido en A). Tenemos mucho por explorar: más propiedades de abiertos, entornos, y considerar los llamados conjuntos cerrados. También el concepto de "frontera" que apareció ya varias veces intuitivamente. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Febrero, 2012, 8:17
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Hace una semana comentaba un fragmeno del diálogo de Platón Fedro. Encuentro en la misma obra este intercambio, entre Fedro y Sócrates, caminando a buscar un lugar donde discutir un texto. Fedro le pregunta por detalles de un mito:
Vean que Sócrates evita los mitos de su época: dice que le tomaría demasiado tiempo hacerlos verosímiles, así que los deja como está. La "inscripción de Delfos" se refiere al "Conócete a tí mismo". Tengo que buscar otros textos de Platón donde se menciona: Protágoras 343b, Filebo 48c. Se ha marcado a esa época griega como "el abandono del mito". Puede ser, pero es un punto a discutir: el mito y su abandono convivieron por siglos. El dejar los mitos aparte, aparece con Tales y otros presocráticos, que tratan de explicar la realidad no como la lucha de dioses, sino desde modelos explicativos, una proto cienica. Sócrates se preocupa más por el ser humano, que por abandonar los mitos y explicar la naturaleza con modelos, como el de Tales, tipo "todo es agua". Sócrates usa mitos propios para ilustrar su exposición, como el conocido mito de la caverna, en La República. Tengo más de una versión de Fedro. En uno de ellos, los comentadores anotan sobre la verdad del mito para Sócrates:
Sobre la mención a Tifón, leo:
Vean cómo nos perdemos un juego de palabras, por no leer el griego original. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Febrero, 2012, 15:19
Publicado el 21 de Febrero, 2012, 14:50
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Quiero comenzar una serie de posts sobre mecánica clásica. Veamos primero qué es eso de "mecánica" y entonces, qué es "mecánica clásica". Primero, mecánica es una rama de la física que se ocupa de los movimientos de los cuerpos, sujetos a fuerzas y desplazamientos. El entender el movimiento de una flecha, un proyectil, o la Luna y los planetas, fue algo que llevó siglos de pensamiento. Para Aristóteles, había movimientos naturales: en los cielos, el movimiento natural era circular, y así lo hacían la Luna y el Sol. Mientras que en la zona terrestre, el movimiento natural era hacia el centro de la tierra. Una flecha lanzada por el arco, no podía seguir por siempre moviéndose, según el sabio griego. No fue hasta llegar hasta Galileo (y antecesores) donde se descubrió la inercia del movimiento. El estudió el movimiento de los proyectiles (era parte de su trabajo). A partir de ahí nace la "mecánica clásica", que se llama así en contraposición a "mecánica cuántica", expresión nacida en el primer cuarto del siglo XX. Esta nueva denominación fue acuñada por Max Born en un artículo, ver History of Quantum Mechanics. Esa mecánica cuántica es parte de la física cuántica que estoy explorando en mi serie sobre Física Cuántica. Pero antes, la mecánica clásica era simplemente mecánica. También se la ha llamado mecánica analítica o dinámica. Esta serie de posts me obliga a estudiar algunos temas que conocía y otros nuevos. Y va a servir para entender mejor también la mecánica cuántica. Por ejemplo, la aparición de lagrangianos y hamiltonianos en la mecánica clásica, es un preludio a su uso posterior en física cuántica. Es notable cómo esas herramientas matemáticas que nacieron en la época clásica, de la mano de grandes matemáticos como Lagrange, Euler y Hamilton, ha tenido gran importancia en el planteamiento del formuleo de la nueva física moderna. Comencemos con la mecánica de una partícula material: una abstracción útil. En vez de considerar un cuerpo rígido complejo, con volumen, vamos a iniciar el camino con un simple "punto de materia". Estamos interesados en su movimiento, que es el cambio de posición en el tiempo. ¿Cómo expresamos la posición de esa partícula? Los físicos usan un vector r para esa posición. Esto da por sentado que tenemos un origen a partir del cual establecer este vector. Es interesante irse dando cuenta que la física explica mucho sin tener que apelar a un punto de origen determinado. En física, hablamos de marco de referencia para indicar el sistema que usamos para establecer esos vectores, como la posición de un partícula. Pero recuerden: eso es algo que le ponemos nosotros, una extensión del concepto matemático de coordenadas (con origen y ejes). Atención: marco de referencia es algo físico, por ejemplo, nuestro laboratorio, anclado a la superficie de la Tierra, o una nave espacial donde tenemos encerrados a físicos haciendo experimentos. En cambio, coordenadas (origen y ejes) es algo que viene de las matemáticas. Introducidas por Descartes, gran parte de la historia de la física matemática es una lucha por sacarse de encima las coordenadas, y descubrir cómo las leyes fundamentales de la mecánica son independientes de alguna clase de marcos de referencia. Dada la posición r de una partícula, llamamos velocidad al vector:
Intuitivamente, el cambio en el tiempo del vector posición. Vemos que la velocidad es un vector: no solo una cantidad, sino que también tiene dirección. Newton puso como segunda definición en sus Principia:
Lo llamamos cantidad de movimiento, o momento lineal. Lo escribimos:
De nuevo un vector. El momento lineal no es sólo cantidad, sino que tiene dirección. Como escribía Newton, al doble de masa, doble momento; al triple de velocidad, triple momento. Durante mucho tiempo no se vió claro que el momento lineal de una partícula (o de algo más real, un proyectil), ante la ausencia de influencia exterior se mantenía constante. Para Aristóteles, sin nada que la empuje, una flecha se debería detener al abandonar el arco. Newton expresa algo de esa idea, la permanencia del movimiento, en su definición III:
Vean que Newton se refiere a masa como masa inercial: medida de la inercia de un cuerpo. Y aparece fuerza en su definición 4:
Avancemos hasta la segunda ley de Newton:
La segunda ley de Newton dice que existen marcos de referencia, donde cualquier cambio en el momento lineal/cantidad de movimiento se debe a la acción de una fuerza.
O como
Si la masa a considerar es constante (por ejemplo, no se cumple en un cohete que está perdiendo masa en el combustible quemado), podemos escribir:
Donde a se llama aceleración, el "cambio" de la velocidad en el tiempo. De nuevo es un vector, tiene magnitud y dirección. La aceleración de la partícula es entonces:
Es decir, la aceleración vector es la segunda derivada del vector posición, respecto al tiempo. Los marcos de referencia donde se cumple la segunda ley de newton se llaman inerciales o sistemas galieleanos. Son una idealización. Aún nuestro laboratorio, que parece tan "fijo y firme" está encastrado sobre la superficie de nuestro planeta, que gira alrededor de su eje, y a su vez, alrededor del Sol, y nuestra estrella gira alrededor de la Galaxia, y así… ¿Tienen la idea? ;-) Y así llegamos a nuestra primera ley de conservación, si aceptamos a Newton. En un sistema inercial tenemos: Teorema de la conservación del momento lineal de una partícula: Si la fuerza total F es cero, entonces dp/dt = 0, lo que dice matemáticamente que p es constante, y se conserva en el tiempo (algo que hubiera asombrado a Aristóteles). Por hoy, suficiente! ;-) Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanics Post relacionados: Lugar y Movimiento Absoluto en Newton Bibliografía Consultada: Mecánica Clásica, de Goldstein, Editorial Reverté. Ver http://books.google.com.ar/books/about/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica.html?id=vf2JiybeDc4C&redir_esc=y Ver también Mecánica Clásica (pdf) de Luis Rodriguez Valencia, y Mecánica Clásica de Alejandro Torassa. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Febrero, 2012, 12:09
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Al fin encuentro el pasaje de Platón, donde Sócrates declara que le importan los seres humanos, más que el resto de la naturaleza. Está en el Fedro. Sócrates va acompañado por Fedro, que busca un lugar en las afueras de la ciudad, para leer y discutir un texto.
Bien escrito por Platón, que se detiene a describir el paisaje, y apela a las sensaciones de Sócrates mismo ("me lo están atestiguando los pies").
Fedro se sorprende de un Sócrates que parece alguien que no es de Atenas, como si fuera la primera vez que visita las afueras.
He aquí la declaración. Este es un giro importante en la historia de la filosofía occidental. Mientras los predecesores de Sócrates tratan de explicar todo el mundo (como Tales explicando los primeros elementos que componen todo), en cambio Sócrates pone el énfasis en tratar de entender a los seres humanos en sociedad. En una época turbulenta de la historia de Atenas, Sócrates (y Platón) tratan de hacer comprender a los ciudadanos de la polis lo que es el bien y la forma de actuar que se espera de ellos. Hubo un tiempo que Platón confiaba que los filósofos pudieran gobernar una sociedad, pero al final de su vida, se inclinó que no era posible sin la existencia de leyes: no podía confiar en la conducta humana para armar y mantener la sociedad que prentendía, con lo cual cifraba su esperanza en la creación y seguimiento de leyes que constituyan el armazón de una polis de su tiempo. Posts relacionados: Sócrates de Atenas (1) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Febrero, 2012, 11:49
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Más enlaces, un "potpourri" de temas que me interesan: Los centros del triángulo: el punto de Nagel Basic logic — connectives — AND and OR Normal subgroups and quotient groups The structure of approximate groups Proving the fundamental theorem of arithmetic Adrian Paenza habla sobre su vision del pais Karatsuba algorithm Ishango, 22000 and 50 years later: Ishango bone Most striking applications of category theory? Coffin problems (los problemas judíos) "Coffins" Fermat Pseudoprime Topology without Tears Four-momentum An Introduction to the Fascinating Patterns of Visual Math ¿Cómo, esto también es matemática? Geometría ¿sanadora? con poliedros Best statistics question ever Prequantum Physics in a Cohesive ∞-Topos Towards the Mathematics of Quantum Field Theory Mis enlaces Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Febrero, 2012, 16:47
Publicado el 12 de Febrero, 2012, 15:15
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En mi país, Argentina, el gobierno ejecutivo está en manos del kirchnerismo, llamado así por Néstor Kirchner, ex presidente, fallecido en 2010, cuando ya su esposa Cristina Kirchner era presidenta de mi país (puesto que renovó con las elecciones del 2011, con una mayoría de votos que pasó el 50 por ciento). Ya escribí sobre mi postura ante el gobierno K en: y antes, mi postura sobre lo que espero de un gobierno en: En estos días, hubo un suceso, anecdótico si se quiere, pero que sirve de muestra para exponer de nuevo uno de los problemas (y peligro) que tenemos los argentinos al tener este gobierno: Denuncian falso diálogo de Cristina Fernández con supuesto obrero Leo ahí:
Es decir, hay un conflicto por la explotación de una mina. Los que protestan son los ambientalistas. Y el gobierno no está "de parte de ellos". No conozco los detalles de la represión que menciona este medio. Como siempre recomiendo, hay que recibir lo que se lee con todo el pensamiento crítico posible (y no aceptar algo porque coincide con nuestra visión, o rechazar algo por el origen interesado del que parte: lo que hay que ver es si lo que se dice, digamos "dos mas dos es cuatro", corresponde o no con la realidad, y en qué grado). Pero después de haber revisado otras noticias, parece que lo descripto arriba corresponde bastante con lo que pasó. Vean el detalle de tener "casco amarillo". Según otros:
De nuevo, hay que confirmar. Hay otros casos de gente presentada como "espontánea", que al parecer no lo eran tanto. Una lista (a discutir) en: El "trabajador Antonio" y la larga lista de "falsos positivos" del kirchnerismo Hay quien trata de defender el caso, criticando a Clarín, el grupo de medios que no comulga con el gobierno (ver en mi primer post mencionado arriba algo de la historia de esa pelea): Para Clarín, un delegado gremial no es un trabajador Si este Domínguez no se pone el casco desde hace 25 años, no es para mí problema. Puede que sea alguien que realmente entienda del tema y quiera defender y representar a los trabajadores. Criticaría que se haya puesto casco, una actitud mínima que parece disfrazar su aparición como algo montado "pour la galerie". Pero es más criticable que se lo haga aparecer, de alguna forma, como "la voz del pueblo". Leo en el primer artículo mencionado:
De nuevo, a tomar con pinzas y corroborar si la presidenta conoce personalmente a Domínguez. Puede que lo conozca, como puede conocer a diez mil más, y no acordarse. Ese no es el punto. El punto es decididamente toma a las declaraciones de Domínguez, como la "voz del pueblo". Quienes conocen el gobierno K, esto significa "piensa como nosotros". Me gustaría decir: "No, realmente la presidenta encuentra en esa declaración la voz de la gente oprimida, etc.. ". Pero estoy convencido que si esa declaración hubiera sido a favor de los ambientalistas, hubiera pasado dos cosas: - Nunca hubiera Dominguez llegado a participar de esa conferencia - La presidente hubiera rechazado cualquier argumento de Dominguez, y no sería más la "voz del pueblo" La mención a "propaganda fascista" del fragmento que cité arriba, es algo dura. Pero pasa el tiempo, y cada año que pasa, veo que este gobierno está haciendo todo para ganarse ese sanbenito. Hay un pueblo argentino. Pero no hay una "voz del pueblo". El pueblo es una sociedad, compuesta por individuos, algunos más cercanos entre sí que con los otros, con diferentes intereses y actividades, con desigualdades. Veo bien que este gobierno se ocupe de luchar contra esa desigualdad social, pero ¿debe para eso "dibujar la realidad"? ¿Debe para eso, tomar actitudes de mostrar "está todo bien" al mejor estilo orwelliano? Y mientras, atacando, desestimando, acusando y tratando de aplastar cualquier pensamiento y acto de oposición. Y bajando línea a cada rato, sobre "éste es el modelo", y al parecer, por lo de arriba, "éste es el modelo, miren, es la voz del pueblo el que me lo pide". Y para combatir la desigualdad social, ¿se justifica tomar posiciones populistas, de reparto de dinero que no sabemos si es sustentable? Todo indica que el gobierno está luchando con esa "sangría" de inversión. De nuevo, me parece bien luchar contra la desigualdad social, pero tiene que ser éste el camino? Tomar, por ejemplo, el dinero de las jubilaciones, pasarlas a un esquema de reparto (antes había sistema de jubilación privada), y distribuir ese dinero, sin explicar claramente si ese camino es sustentable. ¿Bastará el modelo para pagar las jubilaciones futuras? En los últimos meses, esta sangría ha movido al gobierno a tomar medidas como prohibir la liquidación de exportaciones en el exterior, y hasta millones de ciudadanos se les ha prohibido comprar ni siquiera cincuenta dólares. Esto que menciono es menor, pero sumado a otras resoluciones, es señal de que hay un problema monetario en el gobierno. Otro tipo de gobierno, reconocería el problema. Acá no: cualquier alerta sobre el problema, hasta puede ser tomado como una "acción terrorista" como ha quedado expresado en una nueva ley (creo) sancionada después de las elecciones. El niño del cuento que gritó "El emperador está desnudo" sería un desestabilizador en este gobierno. Pero es solo una pata del problema. Las actitudes del gobierno indican que está decidido a mentir (disculpen, no se me ocurre mejor verbo), engañar, tratarnos por boludos (disculpen de nuevo), sin permitir la discusión de sus acciones. Ahora, eso sí, si uno declara algo que le conviene al gobierno, será bautizado con "la voz del pueblo". Estudien la historia, vean qué otros países tuvieron gobiernos así. Bien por la lucha contra la desigualdad social, pero ¿todo lo demás? ¿El fin justifica los medios? Yo pienso firmemente que no. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 6 de Febrero, 2012, 13:41
Publicado el 5 de Febrero, 2012, 8:02
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Encuentro este video en la lista de videos de historia de la filosofía: http://euroestan.com/historia.htm
En esta primera entrega, es intersante que se trate los primeros pasos del pensamiento griego, de un pensamiento que trata de explicar el mundo sin apelar a dioses. "... a Sócrates no le interesabe el mundo físico... da la espalda, por así decirlo, a la naturaleza. Lo que a él le interesa es el individuo..." Ese es el gran cambio que trae Sócrates. ".. es el primer individuo urbano fanático, le encanta la ciudad... " "... era típico de Sócrates examinar el mundo con la razón.... la libertad de pensamiento era primordial ..." "... una vida sin este tipo de examen no merece la pena... " Ya varias veces apareció en este blog esta frase, que tiene importancia en mi vida desde hace unas tres décadas. No conocía la historia de Sócrates defendiendo a los militares que lucharon con los espartanos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 3 de Febrero, 2012, 11:55
Publicado el 1 de Febrero, 2012, 11:00
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Me ha ido bastante bien en el cumplimiento de mis resoluciones del nuevo mes para Enero de 2012. He publicado el post de física cuántica Ondas Estacionarias de de Broglie y el de matemáticas Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial usando Series de Potencias. Y también publiqué en mi blog en inglés Reading English (1) Harry Potter, an unusual boy. También estuve estudiando mecánica clásica. Así que es tiempo de plantear las resoluciones del nuevo mes, esta vez, de Febrero de 2012. Enumero mis resoluciones públicas, casi todas tienen un entregrable visible: - Escribir un post de física cuántica que siga mi serie sobre el tema Bien, ya es bastante (hay algunos más que no son públicos). Elijo como entregable un post: algo visible, que se puede compartir. En estos temas elegidos me tomo bastante tiempo para preparar, escribir y poner diagramas. Así que esa lista es suficiente trabajo por ahora. Incrementé la cantidad de compromisos, respecto al anterior post: es la estrategia de exigirse un poco más. Hubiera podido, tal vez, exigirme así en Enero. Pero siempre es conveniente empezar de a poco. Tengo pendiente escribir mis compromisos técnicos públicos, supongo que los publicaré mañana jueves 2, y agregaré los links por aquí. Actualización: Publiqué mi lista de resoluciones técnicas en: Nos leemos! Angel "Java" Lopez |