Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Febrero, 2012, 14:50

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Quiero comenzar una serie de posts sobre mecánica clásica. Veamos primero qué es eso de "mecánica" y entonces, qué es "mecánica clásica".

Primero, mecánica es una rama de la física que se ocupa de los movimientos de los cuerpos, sujetos a fuerzas y desplazamientos. El entender el movimiento de una flecha, un proyectil, o la Luna y los planetas, fue algo que llevó siglos de pensamiento. Para Aristóteles, había movimientos naturales: en los cielos, el movimiento natural era circular, y así lo hacían la Luna y el Sol. Mientras que en la zona terrestre, el movimiento natural era hacia el centro de la tierra. Una flecha lanzada por el arco, no podía seguir por siempre moviéndose, según el sabio griego. No fue hasta llegar hasta Galileo (y antecesores) donde se descubrió la inercia del movimiento. El estudió el movimiento de los proyectiles (era parte de su trabajo). A partir de ahí nace la "mecánica clásica", que se llama así en contraposición a "mecánica cuántica", expresión nacida en el primer cuarto del siglo XX. Esta nueva denominación fue acuñada por Max Born en un artículo, ver History of Quantum Mechanics. Esa mecánica cuántica es parte de la física cuántica que estoy explorando en mi serie sobre Física Cuántica. Pero antes, la mecánica clásica era simplemente mecánica.

También se la ha llamado mecánica analítica o dinámica. Esta serie de posts me obliga a estudiar algunos temas que conocía y otros nuevos. Y va a servir para entender mejor también la mecánica cuántica. Por ejemplo, la aparición de lagrangianos y hamiltonianos en la mecánica clásica, es un preludio a su uso posterior en física cuántica. Es notable cómo esas herramientas matemáticas que nacieron en la época clásica, de la mano de grandes matemáticos como Lagrange, Euler y Hamilton, ha tenido gran importancia en el planteamiento del formuleo de la nueva física moderna.

Comencemos con la mecánica de una partícula material: una abstracción útil. En vez de considerar un cuerpo rígido complejo, con volumen, vamos a iniciar el camino con un simple "punto de materia". Estamos interesados en su movimiento, que es el cambio de posición en el tiempo. ¿Cómo expresamos la posición de esa partícula? Los físicos usan un vector r para esa posición. Esto da por sentado que tenemos un origen a partir del cual establecer este vector. Es interesante irse dando cuenta que la física explica mucho sin tener que apelar a un punto de origen determinado. En física, hablamos de marco de referencia para indicar el sistema que usamos para establecer esos vectores, como la posición de un partícula. Pero recuerden: eso es algo que le ponemos nosotros, una extensión del concepto matemático de coordenadas (con origen y ejes). Atención: marco de referencia es algo físico, por ejemplo, nuestro laboratorio, anclado a la superficie de la Tierra, o una nave espacial donde tenemos encerrados a físicos haciendo experimentos. En cambio, coordenadas (origen y ejes) es algo que viene de las matemáticas. Introducidas por Descartes, gran parte de la historia de la física matemática es una lucha por sacarse de encima las coordenadas, y descubrir cómo las leyes fundamentales de la mecánica son independientes de alguna clase de marcos de referencia.

Dada la posición r de una partícula, llamamos velocidad al vector:

Intuitivamente, el cambio en el tiempo del vector posición. Vemos que la velocidad es un vector: no solo una cantidad, sino que también tiene dirección. Newton puso como segunda definición en sus Principia:

Definition II

The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjointly.

The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion is double; with twice the velocity, it is quadruple.

Lo llamamos cantidad de movimiento, o momento lineal. Lo escribimos:

De nuevo un vector. El momento lineal no es sólo cantidad, sino que tiene dirección. Como escribía Newton, al doble de masa, doble momento; al triple de velocidad, triple momento. Durante mucho tiempo no se vió claro que el momento lineal de una partícula (o de algo más real, un proyectil), ante la ausencia de influencia exterior se mantenía constante. Para Aristóteles, sin nada que la empuje, una flecha se debería detener al abandonar el arco. Newton expresa algo de esa idea, la permanencia del movimiento, en su definición III:

Definition III

The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or of moving uniformly forwards in a right line.

This force is always proportional to the body whose force it is and differs nothing from the inactivity of the mass, but in our manner of conceiving it. A body, from the inert nature of matter, is not without difficulty put out of its state of rest or motion. Upon which account, this vis insita may, by a most significant name, be called inertia (vis inertiae) or force of inactivity. But a body only exerts this force when another force, impressed upon it, endeavours to change its condition; and the exercise of this force may be considered as both resistance and impulse; it is resistance so far as the body, for maintaining its present state, opposes the force impressed; it is impulse so far as the body, by not easily giving way to the impressed force of another, endeavours to change the state of that other. Resistance is usually ascribed to bodies at rest, and impulse to those in motion; but motion and rest, as commonly conceived, are only relatively distinguished; nor are those bodies always truly at rest, which commonly are taken to be so.

Vean que Newton se refiere a masa como masa inercial: medida de la inercia de un cuerpo. Y aparece fuerza en su definición 4:

Definition IV

An impressed force is an action exerted upon a body, in order to change its state, either of rest, or of uniform motion in a right line.

This force consists in the action only, and remains no longer in the body when the action is over. For a body maintains every new state it acquires, by its inertia only. But impressed forces are of different origins, as from percussion, from pressure, from centripetal force.

Avancemos hasta la segunda ley de Newton:

Law II

The change of motion is proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

La segunda ley de Newton dice que existen marcos de referencia, donde cualquier cambio en el momento lineal/cantidad de movimiento se debe a la acción de una fuerza.

O como

Si la masa a considerar es constante (por ejemplo, no se cumple en un cohete que está perdiendo masa en el combustible quemado), podemos escribir:

Donde a se llama aceleración, el "cambio" de la velocidad en el tiempo. De nuevo es un vector, tiene magnitud y dirección. La aceleración de la partícula es entonces:

Es decir, la aceleración vector es la segunda derivada del vector posición, respecto al tiempo.
Esta es una ecuación de movimiento: una ecuación diferencial que relaciona posición, velocidad, aceleración de una partícula o un sistema.

Los marcos de referencia donde se cumple la segunda ley de newton se llaman inerciales o sistemas galieleanos. Son una idealización. Aún nuestro laboratorio, que parece tan "fijo y firme" está encastrado sobre la superficie de nuestro planeta, que gira alrededor de su eje, y a su vez, alrededor del Sol, y nuestra estrella gira alrededor de la Galaxia, y así… ¿Tienen la idea? ;-)

Y así llegamos a nuestra primera ley de conservación, si aceptamos a Newton. En un sistema inercial tenemos:

Teorema de la conservación del momento lineal de una partícula: Si la fuerza total F es cero, entonces dp/dt = 0, lo que dice matemáticamente que p es constante, y se conserva en el tiempo (algo que hubiera asombrado a Aristóteles).

Por hoy, suficiente! ;-)

Ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanics
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics

Post relacionados:

Lugar y Movimiento Absoluto en Newton
Espacio y Tiempo en Newton
Las leyes de movimiento de Newton
Los Principia de Newton
Newton explicando la Gravedad

Bibliografía Consultada: Mecánica Clásica, de Goldstein, Editorial Reverté. Ver http://books.google.com.ar/books/about/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica.html?id=vf2JiybeDc4C&redir_esc=y

Ver también Mecánica Clásica (pdf) de Luis Rodriguez Valencia, y Mecánica Clásica de Alejandro Torassa.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia