Angel "Java" Lopez en Blog

27 de Febrero, 2012


Publicado el 27 de Febrero, 2012, 17:19

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En este post, me pondré más formal. Exploremos lo que es una topología en matemáticas. En el anterior post, trabajé con puntos en el plano, y en especial, con puntos "cercanos" de puntos, que es lo que le interesa a la topología general. Es necesario ahora empezar a manejar más formalmente lo que es un entorno.

Sea una familia de conjuntos T. Se dice que es una topología si:

- La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T
- La unión de una familia de conjuntos (arbitraria) de T también está en T

Los elementos de T son conjuntos, y se llaman conjuntos abiertos de la topología T. Llamemos X al conjunto unión de todos los elementos de T. Es, por la segunda condición de arriba, también parte de t. Se lo llama el espacio X, y al par (X, T) se lo llama espacio topológico. Vemos que el conjunto vacío también es elemento de T, pues es la unión de la familia de conjuntos vacía de T. Para un mismo espacio X, puede haber más de una topología. Por ejemplo, sea X un conjunto no vacío. Sea T la familia de conjuntos que tiene dos elementos: X y el conjunto vacío. Cumple con las dos condiciones de arriba, y es por lo tanto una topología. Se llama la topología indiscreta de X.

Sea ahora el mismo conjunto X, y sea T la familia de todos sus subconjuntos, incluyendo X y el conjunto vacío. De nuevo T es una topología, y el par (X, T) es un espacio topológico. Esta topología se llama la topología discreta de X.

Son dos extremos de topología, que se pueden armar con cualquier conjunto. Ahora no son muy interesantes. El concepto de topología tardó décadas en aparecer, y tuvo sus inicios en propiedades de los números reales, y en espacios con métrica donde se define una distancia adecuada entre dos puntos cualesquiera. Vean que las dos condiciones de arriba no hablan de distancia. ¿Cómo llegaremos a "puntos cercanos" desde ahí?

Pongamos un caso de topología sobre los números reales. Sean los reales, entonces, el espacio X. Necesitamos una topología de ejemplo. Sea T la familia de todos los conjuntos A, tales que

Traduciendo: cada punto de A está rodeado de un intervalo abierto (a, b) que está en A. Con poco trabajo se ve que los conjuntos A forman una topología, pues cumplen con las dos condiciones de arriba. Veamos, sean A, B abiertos en esta topología. Entonces, cada x de su intersección estará contenido en dos intervalos abiertos, (a, b), (c, d). El primero es un intervalo incluido en A. El segundo es un intervalo incluido en B. El intervalo abierto (max(a, c), min(b, d)) sigue conteniendo a x, y está incluido tanto en A como en B. Por lo tanto, la intersección de dos abiertos cualesquiera A, B sigue siendo abierto en esta topología. De manera similar se prueba que la unión de una familia de conjuntos abiertos M, es un abierto. Pues si x es un elemento de esa unión, es porque pertenece a un abierto A, con un intervalo { y : a < x < b } incluido en A, que por lo mismo está incluido en la unión de la familia.la misma manera se prueba que la unión de la familia M. Esta topología se llama topología usual de los reales.

Es algo formal, pero tenemos que habituarnos: es el lenguaje de la matemática. Empieza a aparecer, en el ejemplo anterior, que los puntos x de un abierto X no están nunca "en solitario": están "rodeados" de sus puntos "cercanos" (vean que justamente en la recta real llamamos intervalos abiertos a conjuntos que son abiertos en esa topología usual). Vean que la unión de dos intervalos abiertos DISJUNTOS también es abierta en esta topología.

Si fuéramos al plano, los elementos como:

Son abiertos, y las uniones de familias de estos conjuntos, también son abiertos. Vean que puede aparecer, como antes con los intervalos abiertos, que no todos los abiertos son como los de la figura: todo conectado, formando una sola "pieza". Un conjunto abierto puede ser la unión (incluso infinita) de conjuntos de este tipo, disjuntos o no.

En las condiciones del principio, vemos una asimetría. La primera habla de la intersección de DOS conjuntos, y la segunda la unión de una FAMILIA CUALESQUIERA. ¿Por qué no se acepta la intersección de una familia cualquiera? Porque podría llevar fácilmente, a tener conjuntos abiertos DE UN SOLO PUNTO. Por ejemplo, sea la topología usual de los reales. Tomemos la intersección de todos los intervalos abiertos (-a, a), con a real positivo. El resultado es: {0}, el conjunto que sólo contiene al 0. Si admitiéramos en la primera condición la intersección de una familia, entonces {0} sería un abierto en la topología de los reales. Y lo mismo pasaría con {1}, {-1}, {1.5} {3.14159.. }. Cada conjunto de un solo punto SERIA un abierto. Terminaríamos obteniendo la topología discreta de los reales, que de tan abarcativa, no es interesante.

Volvamos al tema de entorno, tratado en el post anterior. Nos interesa el concepto porque nos dio, intuitivamente, el concepto de un punto rodeado de sus puntos cercanos. Ahora que tenemos topología y abiertos ¿cómo podemos tener una definición de entorno en base a ellos? Así: llamamos entorno E de x a todo conjunto que contenga  A UN conjunto abierto que contenga a x.

Así, la figura mostrada arriba es un entorno del punto marcado en el medio, por ser él mismo un abierto del punto incluido en sí mismo. Pero también tenemos como entorno del punto marcado en el centro a:

que es el abierto anterior con todos los puntos de su "frontera" incluidos. Y así serán también entornos de ese punto marcado todo conjunto arbitrario que contenga a un abierto cualquiera que tenga al punto como elemento.

Tenemos nuestro primer teorema:

[GT01] Un conjunto es abierto en una topología si y solo si es entorno de todos sus puntos.

Es fácil ver que si A es abierto, es entorno de cada uno de sus puntos. Veamos la implicación inversa. Si un conjunto A es entorno de todos sus puntos, es porque para cada uno de sus elementos x, contiene un conjunto abierto digamos B(x), al que pertenece x. Formemos la unión C de todos esos B(x) (haciendo que x recorra todos los elementos de A). Como todos son abiertos, la unión C de esa familia TAMBIEN es un abierto (por la segunda condición de topología). Y esa unión C coincide con A. Pues cada elemento de A está en C (pues cada x de A tiene un B(x) incluido en C), y cada elemento de C está en A (pues cada B(x) está incluido en A).

Tenemos mucho por explorar: más propiedades de abiertos, entornos, y considerar los llamados conjuntos cerrados. También el concepto de "frontera" que apareció ya varias veces intuitivamente.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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