Angel "Java" Lopez en Blog

Abril del 2012


Publicado el 30 de Abril, 2012, 16:38

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El primer ejemplo que presenté, el de la moneda cuántica, fue un ejemplo inventado. Y lo que siguió en esta serie, es la presentación del formalismo que explica ese ejemplo y otros, como el de la pelotita cuántica. Pero ese ejemplo inventado de la moneda, tiene su origen en un experimento real. Me refiero al experimento de Stern-Gerlach.

Tenemos una fuente que produce un haz de átomos y se los hace pasar por un aparato que produce un campo magnético (no homogéneo, producido por dos imanes, uno con su polo en punta). Los átomos se desvían de su trayectoria, por influencia del campo. El estado de los átomos al salir de la fuente está distribuido al azar. Según la física clásica, cada átomo se desplazará, algunos atraídos hacia un lado del aparato, otros hacia el otro, algunos permaneceran igual. Todo esto dependerá de su estado interno, que interacciona con el campo magnético. Pero la predicción clásica es: los átomos se dispersan, a lo largo de una línea final. Pueden imaginar que en vez de átomos, tenemos veleros, que se dirigen (en el diagrama de abajo) de izquierda a derecha, en línea recta, por un río. Y un viento perpendicular los perturba. La orientación de sus velas está distribuida al azar. Entonces, algunos veleros se acercaran a una ribera, y otros a otra, algunos se desviaran 10 metros, otros 100, otros 50, otros 20 o 32 metros, dependiendo de la disposición de sus velas, hacia una ribera u otra. Pero al final, estarán distribuidos. en lugar de formar un haz.

Pero si se realiza el experimento con ciertos átomos, no forman una línea de dispersión. Por ejemplo, los átomos de plata se dispersan, PERO EN DOS HACES (ver el artículo de la Wikipedia). En el diagrama que presento, elegí poner un haz que se dispersa en tres haces. AMBOS CASOS SON INCOMPATIBLES con la predicción clásica.

En el caso de nuestra moneda cuántica, al realizar el experimiento de "sacar la foto desde arriba", solamente se presentaban en dos "haces": "cara" o "ceca". Lo mismo pasa con los átomos del diagrama: podemos poner que aparecen en estados | + >, | 0 > y | - > por usar la notación que ya empleé en esta serie.

Este experimento, realizado en 1922, fue una corroboración de la hipótesis de Bohr-Sommerfeld, que afirmaba que el momento angular de los átomos de plata estaba cuantizado, que sólo se presentaba en una serie discreta de valores. Tenemos que seguir estudiando qué pasa con estos haces, ya sea con átomos o con electrones mismos (en los tiempos del primer experimento, no se pensaba que haces de electrones iban a reaccionar de esta forma discreta), y trataré de mostrarles cómo podemos aplicar el formulismo que vimos a este tipo de sistemas.

Por ahora, destaco: éste es un experimento real, que produjo resultados que no se esperaba en la teoría clásica. Pero algo más: éste es el tipo de experimento que consigue filtrar elementos según su estado. Esos estados (como nuestra "cara" o "ceca" del experimento "tomar la foto desde arriba"), son los llamados estados de base. Un experimento puede no producir claros filtros (en este caso, los haces se verían difuminados). En el caso límite, en vez de tres o dos haces, tendríamos una línea de dispersión.

Pero si se producen claramente tres haces, podemos seguir experimentando. Imaginemos que de los tres haces, bloqueamos dos, y el tercero lo hacemos pasar por un segundo aparato, apenas desplazado en ángulo del primero (esto es importante, el ángulo debe ser pequeño). Pues bien, el resultado (de un experimento real, no algo inventado), es que del segundo aparato SOLO SALE UN HAZ. Esto pasa cada vez que tenemos un aparato con buen filtrado: que permite identificar los estados de base de un elemento.

Vamos a ver que cada átomo, cuando sale de la fuente, no está en UNO de los tres estados. Sino que puede estar en una superposición de estados (ver artículo de la wikipedia). Y vamos a ir descubriendo cómo el formalismo que ya vimos se adecua a los resultados de los experimentos. Lo que no sorprende, porque todo ese formalismo SE DERIVO para explicar lo extraño de éste y otros resultados.

Resumen:

- Hay estados de base
- Hay experimentos que permiten filtrar por estados de base
- Pero no olvidar que el estado de un elemento es una superposición de estados de base

Tenemos que explorar cuáles son los resultados si combinamos aparatos de Stern-Gerlach de distintas maneras (en distintos ángulos, colocando filtros y combinándolos, etc.)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 29 de Abril, 2012, 17:00

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Comienzo hoy una serie sobre economía. Antes de tratar de definir su campo de estudio, quiero recordad que, como individuos, participamos de varios sistemas sociales, y uno es el sistema económico. Ver mi post

Sociedad y Sistemas

No tenemos que olvidar esto en esta serie: la economía es un sistema más del que participamos, y no tenemos que olvidarnos de los otros, como el sistema político y el sistema cultural. Pero, para avanzar en ciencia, tenemos que ir concentrándonos en algunos temas, no podemos abarcar todo de golpe o al principio.

En este post quiero mencionar algunos problemas que enfrentamos en el estudio de la economía. Una, es que al contrario de la física y la química, los temas económicos están entrelazados con intereses de grupos humanos. Y es fácil encontrar el egoísmo natural en esos intereses. No es fácil analizar algo en economía sin verse afectado por ideologías, preconceptos e inclinaciones personales. Pero voy a tratar que siempre quede en evidencia, lo más posible, este problema.

Otro problema (que mencioné en el post El estudio de la economía) es que el estudio de un sistema económico es difícil, porque el propio sistema va cambiando. Es como tratar de estudiar, en biología, a un organismo que está siempre cambiando, a veces de formas bastante notable. Tenemos que ponernos en alerta con respecto a este problema, y pienso que una forma de conseguir esa alerta es teniendo siempre una perspectiva histórica: que alguna acción haya funcionado o no en el pasado no implica automáticamente que tenga el mismo resultado en el mundo de hoy. Todos los sistemas humanos han ido cambiando, y al parecer, cada vez con más velocidad. Como ejemplo, vean cómo ha ido cambiando al mundo y las relaciones humanas la existencia y desarrollo de Internet y las comunicaciones en general. Todo esto dificultad una de las actividades científicas más usuales: la formación de modelos de los sistemas que queremos explicar.

Al poco de comenzar a estudiar el sistema económico de un país o sector humano, se empieza también a evaluar acciones sobre el mismo. Es decir, dada una acción, se trata de describir sus consecuencias, y evaluar si son buenas o no para nosotros. Acá hay un problema: ante la complejidad de los sistemas sociales, las consecuencias de una acción son de muy difícil previsión. Y en la evalución de "bueno" o "malo" se suelen colar preconceptos, ideologías que tenemos de antemano. No estoy en contra de tener una ideología, pero me gustaría que se expusieran más claramente, como puntos de partida, en los que podemos coincidir o disentir. Pero que no sean enarbolados como "ésto es bueno" de una forma categórica. Pienso que así llegaremos a una mejor compresión de lo que queremos hacer con el sistema económico y por qué. También pasa que vemos y evaluamos las consecuencias inmediatas y evidentes de una acción, pero no nos damos cuenta de otras consecuencias, lejanas en el tiempo, o actuales pero no evidentes.

Dos de estos problemas (la presencia de intereses, y la dificultad de ver y evaluar las consecuencias), las encuentro esta semana en la lectura de La economía en una lección, libro de Henry Hazlitt. Pueden obtenerlo en línea en inglés y también para bajarse como pdf. Yo tengo una edición en español, de Centro de Estudios de la Libertad, de Buenos Aires (impreso en España). Espero poder escribir sobre otros libros, y también sobre lo que coincido y no coincido con las posturas existentes.

Post relacionados:

La Economía es Fácil: Suben las Papas, Bajan los Limones
Formación de Precios, por Pirovano, y algo sobre la Historia de la Economía, por Galbraith
¿Qué es la Realidad? (Parte 25) Un ejemplo de causalidad en economía

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Publicado el 28 de Abril, 2012, 8:23

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En estos días he vuelvo a leer sobre los fundamentos de las matemáticas y encontré este párrafo de Bertrand Russell, en su introducción a la segunda edición de su libro "Los principios de la matemática" (tengo una edición en español de Espasa Calpe)(ver la versión en inglés The Principles of Mathematics donde no está esta introducción). Es una crítica al formalismo de David Hilbert:

La interpretación formalista de la Matemática no es nueva en absoluto, pero para nuestros propósitos podemos ignorar sus formas más antiguas. Tal como la presenta Hilbert, por ejemplo, en la esfera de los números, consiste en dejar indefinidos los enteros, pero afirmando respecto a ellos axiomas tales que hagan posible la deducción de las proposiciones aritméticas comunes. Es decir, no asignamos significado alguno a nuestros símbolos 0, 1, 2, ... excepción hecha de que deben tener ciertas propiedades enumeradas en los axiomas. Por lo tanto, los símbolos deben considerarse como variables. Los enteros posteriores pueden definirse cuando se da el 0, pero el 0 debe ser simplemente algo que posee las características prefijadas. De acuerdo con esto los símbolos 0, 1, 2, ... no representan una serie definida, sino cualquier progresión arbitraria. Los formalistas se han olvidado de que los números no sólo son necesarios para hacer sumas, sino también para contar. Proposiciones tales como "Existieron 12 Apóstoles" o "Londres tiene 6.000.000 de habitantes" no pueden integrarse en su sistema. Pues el símbolo "0" puede tomarse igual de cualquier entero finito, sin que por ello resulte falso ninguno de los axiomas de Hilbert; y por lo tanto cualquier número-símbolo resulta infinitamente ambiguo. Los formalistas son semejantes a un relojero que se halla tan absorbido por el deseo de que sus relojes tengan buen aspecto, que olvida que la misión de los mismos es la de señalar el tiempo, y descuida la máquina.

Bueno, Russell me parece que se excede en la crítica. El formalismo de Hilbert va más allá de la aritmética, pero centrémonos en ésta. Pienso que para Hilbert, "Londres tiene 6 millones de habitantes" no es una proposición de las matemáticas puras, y no le interesa. Yo no afirmaría tanto como Russell "el símbolo "0" puede tomarse igual de cualquier entero finito", porque ahí está pidiendo el mapeo de un símbolo con ... ¿qué? ¿un entero finito? Y eso ¿de dónde salió? Justamente, Hilbert define los enteros finitos A PARTIR del "0", tomémoslo como símbolo o concepto inicial. Y en la aplicación a la realidad, es claro que Hilbert, Ud., yo y Russell mapeamos el "0" a lo que todos conocemos.

Post relacionados

Logicismo, intuicionismo y formalismo en matemáticas
Matemáticas y Filosofía (2) Enlaces y Recursos
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert, por Richard Courant
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert

Sobre formalismo ver:

Formalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

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Publicado el 26 de Abril, 2012, 7:22

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Veamos un ejemplo clásico de espacio topológico. Los "puntos" serán números reales. Entonces, el espacio X será el conjunto de los números reales R. Los vamos a representar sobre una recta:

Jeje, no la puedo "dibujar" infinita, pero imaginemos que se extiende a ambos lados todo lo que queramos.

Vean que la recta no es lo mismo que los reales: en éstos, cada punto tiene "nombre", hay un punto especial el 0, una especie de "origen" de la recta. Voy a tratar de representar los reales de modo geométrico sobre una recta "pura", sin marcas especiales. De esta manera, quiero destacar lo esencial de la topología que vamos a ver: los intervalos abiertos, basado en la relación de orden, o de cuándo un número real es menor o no que otro (o si quieren verlo, cuándo un "punto real" está "a la izquierda" o no de otro en la representación geométrica) (tomo "a la izquierda" como "menor que" arbitrariamente, bien podríamos adoptar la convención contraria).

¿Qué es un intervalo abierto? Es el conjunto de reales x tales que a < x < b. Decimos que es el intervalo abierto (a, b). Si a < b, el intervalo no es vacío. Geométricamente, se vería como el segmento en rojo:

Puse dos "puntos" destacados que serían sus límites y NO PERTENECEN al intervalo abierto. Tomemos otro ejemplo:

Con estos intervalos abiertos se construye la topología habitual de R. Decimos que son abiertos de la topología que queremos imponer a los reales. Tenemos que ahora encontrar TODOS los abiertos. Pero recordemos: la intersección de dos abiertos es un abierto. La intersección de los dos intervalos abiertos daría:

La unión de una familia de abiertos (familia que puede ser infinita) también es un abierto. Entonces, la unión de dos intervalos abiertos también es abierto, y en uniendo los dos anteriores, nos dá el abierto:

QUE TAMBIEN es intervalo abierto. Atención: estamos tratando de encontrar TODOS los abiertos de la topología propuesta. Una cosa son los intervalos abiertos: son las "semillas" de todos los abiertos que ahora vamos a encontrar. Otra cosa es un abierto cualquiera de esta topología. Por ejemplo, uniendo dos intervalos abiertos:

NO obtenemos un intervalo abierto. Pero igual consideramos que es un abierto (no intervalo abierto) de la topología.

Como la unión arbitraria de abiertos es un abierto, podemos plantear la unión de infinidad de intervalos abiertos hacia "la izquierda" dando una semirrecta abierta:

También sería entonces abierto la unión cualquiera de intervalos abiertos. Tenemos que los elementos, los abiertos de la topología T habitual de los reales es: cualquier conjunto que resulte de la unión de una familia (cualquiera) de intervalos abiertos.

Es relativamente fácil probar que esos conjuntos abiertos cumplen con las dos condiciones para los abiertos de una topología T:

- La intersección de dos abiertos es abierto

- La unión de dos abiertos es abierto

La segunda condición es fácil: nuestros abiertos son uniones de familias de intervalos. La unión de dos uniones sigue siendo una unión (acá tengo que apelar a la teoría de conjuntos). Un poco más intricada es mostrar que se cumple la primera condición. Se puede ver, de nuevo apelando a la teoría de conjuntos, que: la intersección de dos uniones de familias de intervalos abiertos es la la unión de intersecciones de esos intervalos abiertos. Y se vió que la intersección de intervalos abiertos es de nuevo un intervalo abierto (que puede ser vacío). Entonces queda de nuevo una unión de intervalos abiertos. Que por definición, es un abierto de nuestra topología.

Tenemos nuestro primer caso de topología T generada por un conjunto de elementos, en este caso el conjunto de los intervalos abiertos. Siempre se puede hacer ese truco: dado elementos "semilla" se considera que son abiertos:

- Cada uno de esos elementos
- La intersección de cualquiera familia finita de esos elementos
- La unión de cualquier familia (arbitraria) de esos elementos

siempre y cuando la unión de todos esos elementos semilla resulte en el espacio X, es decir, que el propio X sea un abierto. Otras veces, se define la topología con los elementos "semilla" y X se toma por "deducción": como la unión de todos esos elementos.

Por ejemplo, podemos tomar como elementos semilla a todos los intervalos abiertos (a, b) de los reales, CON 0 < a < 1, 0 < b < 1. El espacio X será { x / 0 < x < 1}, el intervalo (0, 1). Y tenemos una topología nueva.

Nota: vean cómo la representación geométrica nos ayudó a entender mejor lo que es un abierto. La intuición de un matemático también se nutre de ese tipo de representaciones. No todo es manipulación de símbolos.

Nota adicional: todo lo anterior se puede hacer con los números racionales. Pero eso ya es tema para otro post ;-)

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Publicado el 25 de Abril, 2012, 7:01

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Más sobre este fascinante tema, que toca temas de física, matemática, epistemología, filosofía de la ciencia e historia de la ciencia.

Hidden symmetries
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2005/10/24/hidden-symmetries/

Quantum theory of space-time
http://www.docme.ru/doc/1410/quantum-theory-of-space-time

Electron's zitterbewegung
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=137867&page=4

Introduction to the LHC
http://profmattstrassler.com/articles-and-posts/largehadroncolliderfaq/introduction-to-the-large-hadron-collider/

The Standard Model Higgs
http://profmattstrassler.com/articles-and-posts/the-higgs-particle/the-standard-model-higgs/

Neutrino misbehaviour suggested 50 years ago
http://www.newscientist.com/blogs/shortsharpscience/2011/12/neutrino-misbehaviour-suggeste.html

The Trouble with Particle Physics
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/02/the-trouble-with-particle-physics/

What does CP violation look like?
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/04/what-does-cp-violation-look-like/

Why 10 Years To Be Sure There"s No Higgs Particle(s)?
http://profmattstrassler.com/2011/12/04/why-10-years-to-be-sure-theres-no-higgs-particles/

Two Diamonds Get Quantum Entangled, Physicists Report
http://blogs.discovermagazine.com/80beats/2011/12/02/two-diamonds-get-quantum-entangled-physicists-report/

Entangled diamonds vibrate together
http://www.nature.com/news/entangled-diamonds-vibrate-together-1.9532#/

Ignacio Cirac habla de física cuántica y pseudociencia
http://cerebrosnolavados.blogspot.com/2011/11/ignacio-cirac-habla-de-fisica-cuantica.html
 
The Dreams That Stuff Is Made Of: The Most Astounding Papers of Quantum Physics and How They Shook the Scientific World
http://www.timeshighereducation.co.uk/story.asp?sectioncode=26&storycode=418267&c=1

Muppet scientists at the LHC
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2011/11/23/muppet-scientists-at-the-lhc/

Four reasons why the quantum vacuum may explain dark matter
http://www.physorg.com/news/2011-11-quantum-vacuum-dark.html

Guest Post: David Wallace on the Physicality of the Quantum State
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/11/18/guest-post-david-wallace-on-the-physicality-of-the-quantum-state/

Neutrino experiment affirms faster-than-light claim
http://blogs.nature.com/news/2011/11/neutrino_experiment_affirms_fa_1.html

Oppenheimer's recommendation letter for Richard Feynman
http://www.reddit.com/r/Physics/comments/masjb/oppenheimers_recommendation_letter_for_richard/

He is a second Dirac, only this time human
http://www.lettersofnote.com/2009/12/he-is-second-dirac-only-this-time-human.html
Richard Feynman

Gerard "t Hooft: "El modelo estándar de la Física es demasiado complejo para ser la última verdad"
http://noticias.lainformacion.com/ciencia-y-tecnologia/particulas-fisicas/gerard-t-hooft-el-modelo-estandar-de-la-fisica-es-demasiado-complejo-para-ser-la-ultima-verdad_P57FwMF6rdOuVnGwUQx9Y2/

Hidden Variable Madness
http://www.science20.com/alpha_meme/hidden_variable_madness-79475

Disproving Local Realism
http://www.science20.com/alpha_meme/disproving_local_realism-79216

Mis enlaces
http://www.delicious.com/ajlopez/quantum

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Publicado el 22 de Abril, 2012, 16:27

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Ya presenté qué son los números primos, limitándome a los números naturales. Veamos hoy una pieza fácil: demostrar que son infinitos.

En efecto, supongamos que no lo fueran, que hubiera una cantidad finita de primos. Puede que una cantidad grande, pero al fin finita. Sean esos números la serie:

2,3,5,7,11,13,...., P

es decir, no hay más que éstos (sean 101 o diez trillones, no importa). Siempre podemos multiplicar esa cantidad finita de números, y sumarle 1. Obtenemos un número N:

(2*3*5*7*11*13*....*P) + 1 = N

Consideremos ahora ese número N. Tenemos dos posibilidades:

- N es primo
- N no es primo

La primera implicaría que hemos encontrado un número primo que no estaba en nuestra lista aparentemente final. Llegamos a una contradicción.

Nuestra "chance" está entonces en la segunda posiblidad: N no es primo. Esto implica N es divisible por algún número, ser no primo es ser compuesto (en notación multiplicativa). Pero todo número compuesto es divisible por algún número primo: basta tomar un divisor compuesto e ir buscando sus divisores, tomar uno y repetir el proceso. Así, obtenemos números compuestos divisores de N cada vez más pequeños, pero ese proceso debe terminar, y llegar a un número primo. Esta es otra forma de aprovecharse de una propiedad de todo subconjunto de números naturales: tienen un mínimo. Si tomo el conjunto de TODOS los divisores de N mayores que 1, habrá uno de ellos que es mínimo, y será primo. Pues si no lo fuera, sus divisores serían menores que él.

Queda firme que si N no es primo, tiene un divisor primo. Vean que tuve que esbozar la demostración, porque no hay nada de lo que había escrito antes que demostrara ese hecho. No basta que parezca evidente, en matemáticas hay que demostrar en firme.

Bien, sea Q ese divisor primo de N (puede haber varios, sólo nos interesa que existe uno). Entonces, ninguno de los primos:

2,3,5,7,11,13,...., P

divide a N, porque N módulo p (siendo p uno de esos primos) da como resultado 1 (por construcción de N, recuerden el + 1 que le agregamos a la multiplicación de todos los p).

Entonces, Q no es uno de esos p.

Tenemos un Q primo nuevo, contra lo supuesto. Habíamos supuesto que conocíamos todos los primos, y nos aparece uno nuevo. De nuevo, llevamos a contradicción.

Esto nos habilita a negar: la cantidad de primos es finita. Si aceptamos esa proposición, llegamos a contradicción. Entonces hemos demostrado su negación: la cantidad de primos es infinita. Toda esta demostración es una demostración por reductio ad absurdum:

http://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

Eso funciona en matemáticas si aceptamos que, partiendo de definiciones, primeras proposiciones,  proposiciones verdaderas en el ámbito elegido, y aplicando la lógica aceptada, no llegamos a contradicciones. Es una gran suposición, pero ya es tema de metamatemática.

Tenemos que estudiar, explorar, jugar con la cuestión: ok, los primos son infinitos, pero ¿cuál es su distribución? ¿serán la décima parte de los naturales? ¿o hay otra fracción que describe su frecuencia?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Abril, 2012, 8:38

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Más enlaces sobre Matemáticas y Filosofía, y Filosofía de las Matemáticas. Algunos de estos enlaces tiene que ver con Matemáticas y Realidad. En los enlaces de abajo está el post Ordenada al Origen de @bilinkis que disparó el tema luego de la pregunta de @kullock. Si les interesa ese tema, vean los enlaces de esta lista que apuntan a la Stanford Encyclopedia of Philosophy. Y el provocador artículo Is the Universe Actually Made of Math?. También para leer y discutir Does Mathematics Reflect Reality.

En mi opinión, las matemáticas nos ayudan en los modelos de la realidad que proponemos. ¿Existirán en la realidad? No veo que todas las matemáticas estén en la realidad. Ni que todas ellas surgan de nuestro estudio de la realidad. Así que todo me indica que las matemáticas o: son invento, ficción humana, o hay un mundo matemático APARTE del mundo real (este mundo es lo que llamo simplemente realidad). Esta última es la postura platonista. Pero dejo eso para mi serie sobre el tema.

Les recomiendo también la entrevista a Michael Atiyah. Y la demostración de Godel de la existencia de Dios.

Al fin encontré en estos enlaces el artículo de Wigner The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences.

Y encontré la cita que la semana pasada buscaba: la del álgebra como un regalo faustiano.

Esta es la lista de enlaces:

Formalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/

Constructive Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/

Naturalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy...
http://plato.stanford.edu/entries/naturalism-mathematics/

Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/

Wittgenstein's Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/

Ordenada al origen
http://spanish.bilinkis.com/2012/04/ordenada-al-origen/
Las matemáticas ¿se inventan o se descubren?

Ensayo sobre la relación de las matemáticas y la realidad
http://html.rincondelvago.com/ensayo-sobre-la-relacion-de-las-matematicas-y-la-realidad.html

Olimpíada Iberoamericana de Matemática
http://www.oei.es/oim/xviiioimperezgomez.htm

¿Existe Dios? por Rolby Milián | Scientia potentia est
http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=638
A Godel se le ocurrió además probar la existencia de Dios

Travels in a Mathematical World Blog: What is mathematics? | peterrowlett.net
http://travels.peterrowlett.net/2012/01/what-is-mathematics.html

"El camino más corto para crear es un largo rodeo"
http://www.lavanguardia.com/lacontra/20111228/54241694041/sir-michael-atiyah-el-camino-mas-corto-para-crear-es-un-largo-rodeo.html
Sir Michael Atiyah, medalla Fields de matemáticas; ex presidente de la Royal Society
Tengo 82 años: me concentro peor que de joven, pero sintetizo mejor. Nací en Londres. Mi esposa y tres hijos son matemáticos. Dios es la racionalidad del universo. Soy laborista, porque ayudar al débil es lo más racional. Colaboro con la Real Sociedad Matemática Española.

Gödel, Escher, Bach - Lecture 1: Part 1 of 7 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=5jFhq3Rj6DI&NR=1&feature=endscreen

Basic logic — connectives — NOT « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/09/26/basic-logic-connectives-not/

Doron Zeilberger's 69th Opinion
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion69.html

Is the Universe Actually Made of Math?
http://discovermagazine.com/2008/jul/16-is-the-universe-actually-made-of-math

Erróneo, rotundamente - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/erroneo-rotundamente/
…La matemática, casi como el lenguaje, es un constructo de la mente humana con una vitalidad propia que nos hace pensar que existe con independencia de su conocimiento y de su creación. Esto, permitidme ser rotundo, es erróneo.

Sobre la utilidad directa de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/sobre-la-utilidad-directa-de-las-matematicas/
Este post es simplemente una reflexión muy personal sobre la pregunta más típica y tópica que nos pueden hacer en relación con la utilidad directa de las matemáticas.

history of mathematics: The Foundation of Matematics
http://alifmatics.blogspot.com/2009/01/foundation-of-matematics.html

A single paper everyone should read? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/2144/a-single-paper-everyone-should-read

But It Worked in the Computer Simulation!
http://math-blog.com/2011/06/06/but-it-worked-in-the-computer-simulation/

Is Mathematics Objective or Subjective?
http://www.xamuel.com/mathematics-objective-or-subjective/

The Evolution of the Physicist"s Picture of Nature
http://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/2010/06/25/the-evolution-of-the-physicists-picture-of-nature/
We are republishing this article by Paul Dirac from the May 1963 issue of Scientific American
" this article I should like to discuss the development of general physical theory: how it developed in the past and how one may expect it to develop in the future. One can look on this continual development as a process of evolution, a process that has been going on for several centuries."

FQXi essay contest "Is reality digital or analog?"
http://commonsensequantum.blogspot.com.ar/2011/02/fqxi-essay-contest-is-reality-digital.html

Category Theory and Metaphysics
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/category_theory_and_metaphysic.html

Math and Physics: Creative Arts?
http://commonsensequantum.blogspot.com.ar/2010/12/math-and-physics-creative-arts.html

LockhartsLament.pdf (application/pdf Object)
http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf

Purity of Method | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/purity_of_method.html

The Evolution of Logic (The Evolution of Modern Philosophy)
http://www.amazon.com/Evolution-Logic-Modern-Philosophy/dp/0521747724/ref=pd_sim_b_2

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics
http://www.lecb.ncifcrf.gov/~toms/Hamming.unreasonable.html

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html

La "magia negra" de la matemática - lanacion.com
http://www.lanacion.com.ar/nota.asp?nota_id=1325541

Alternative, consistent frameworks of mathematics with isomorphic mappings to physical phenomenon
http://math.stackexchange.com/questions/7772/alternative-consistent-frameworks-of-mathematics-with-isomorphic-mappings-to-ph

A second draft of a non-technical article on universality
http://terrytao.wordpress.com/2010/09/14/a-second-draft-of-a-non-technical-article-on-universality/

A first draft of a non-technical article on universality
http://terrytao.wordpress.com/2010/09/07/a-first-draft-of-a-non-technical-article-on-universality/

Universality (dynamical systems) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Universality_(dynamical_systems)
In statistical mechanics, universality is the observation that there are properties for a large class of systems that are independent of the dynamical details of the system

The Philosophy of the Logic of Sheaves
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/09/the_philosophy_of_the_logic_of.html

Does Mathematics Reflect Reality
http://www.marxist.com/science-old/mathematicsreflectreality.html
"The fact that our subjective thought and the objective world are subject to the same laws, and hence, too, that in the final analysis they cannot contradict each other in their results, but must coincide, governs absolutely our whole theoretical thought." (Engels)

Wired 10.12: God Is the Machine
http://www.wired.com/wired/archive/10.12/holytech.html
An ultimate simulation needs an ultimate computer, and the new science of digitalism says that the universe itself is the ultimate computer — actually the only computer.

Algebra: the Faustian bargain
http://divisbyzero.com/2010/07/26/algebra-the-faustian-bargain/

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Publicado el 13 de Abril, 2012, 6:44

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Los que visitan este blog ya saben de mi gusto por las matemáticas. Sigo coleccionando enlaces de artículos que me interesaron, y ahora comparto esta nueva entrega.

KURT GÖDEL
Constructor de Universos
http://www.unalmed.edu.co/~dirmate/documentos/SEMINARIO/MMonsalve.pdf

Welcome to the Tricki
http://www.tricki.org/
Welcome to the Tricki – a Wiki-style site that is intended to develop into a large store of useful mathematical problem-solving techniques. Some of these techniques will be very general, while others will concern particular subareas of mathematics. All of them will be techniques that are used regularly by mathematical problem-solvers, at every level of experience.

A short post on countability and uncountability
http://gowers.wordpress.com/2011/11/28/a-short-post-on-countability-and-uncountability/

Group actions IV: intrinsic actions
http://gowers.wordpress.com/2011/12/10/group-actions-iv-intrinsic-actions/

A Semigroup Approach to Finite Markov Chains
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/01/a_semigroup_approach_to_finite.html

Econometrics
http://xbeta.org/wiki/show/Econometrics
Econometrics lies at the intersection of mathematical economics and statistics. It is the application of statistical methods to empirical work in economics.

Last two digits of (1+5^(2n+1))/6
http://checkthis.com/t8o1

Theorems for free! (1989)
http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.38.9875
From the type of a polymorphic function we can derive a theorem that it satisfies. Every function of the same type satisfies the same theorem. This provides a free source of useful theorems, courtesy of Reynolds' abstraction theorem for the polymorphic lambda calculus.

Hyperreals and Non-Standard Analysis
http://isaacsolomonmath.files.wordpress.com/2012/01/hyperreals-and-nonstandard-analysis1.pdf
With the introduction of the diferential and integral calculus in the latter end of
the seventeenth century, mathematicians had begun to grapple with the notion of
the in nite in a very direct way. Lacking ... definition of the limit, they had
no formal way of expressing quantities that were arbitrarily large or small. Instead,
they tentatively embraced the in nitesimal: a non-zero entity that was yet smaller
than any finite number...

NBA Statistics
http://m.bkref.com/

Gödel, Escher, Bach - Lecture 1: Part 1 of 7
http://www.youtube.com/watch?v=5jFhq3Rj6DI&NR=1&feature=endscreen

Graph Theory with Applications
http://www.math.jussieu.fr/~jabondy/books/gtwa/gtwa.html

Klein–Gordon equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Klein%E2%80%93Gordon_equation

Green's function
http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function

The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/

Only 26 and already a professor!
http://thonyc.wordpress.com/2011/12/25/1246/
In 1669 Isaac Newton, who was born on 25th December 1642 (OS)[1], was elected Lucasian Professor of Mathematics at Cambridge University at the tender age of 26 in 1669. This fact has led and in fact continues to lead to a series of historical myths and misunderstandings that I intend to address in this brief post in celebration of Isaac"s birthday.

Introduction
to
Quantum-Geometry Dynamics
http://www.quantumgeometrydynamics.com/QGD3.pdf
A Response to Hilbert"s 6th problem

Quantum-Geometry Dynamics
http://www.quantumgeometrydynamics.com/blog/
Very speculative, but...

Ferretería Matemática: Identidades trigonométricas radicales
http://covacha-matematica.blogspot.com/2011/12/ferreteria-matematica-identidades.html
Les traigo otra forma que pueden utilizar para acordarse de las identidades trigonométricas.

Exterior algebra
In mathematics, the exterior product or wedge product of vectors is an algebraic construction used in Euclidean geometry to study areas, volumes, and their higher-dimensional analogs.

Exterior derivative
http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative
In differential geometry, the exterior derivative extends the concept of the differential of a function, which is a 1-form, to differential forms of higher degree. Its current form was invented by Élie Cartan.

Rationality of the zeta function mod p 
http://sbseminar.wordpress.com/2011/12/12/rationality-of-the-zeta-function-mod-p/

The "Hairy Ball Theorem"
http://unapologetic.wordpress.com/2011/12/13/the-hairy-ball-theorem/
We can use the concept of degree to prove the (in)famous "hairy ball theorem".

Debunking Myths about
Gender and Mathematics
Performance
http://www.ams.org/notices/201201/rtx120100010p.pdf

Rewriting
http://en.wikipedia.org/wiki/Rewriting
In mathematics, computer science, and logic, rewriting covers a wide range of (potentially non-deterministic) methods of replacing subterms of a formula with other terms.

Penrose triangle
http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_triangle
The Penrose triangle, also known as the Penrose tribar, is an impossible object. It was first created by the Swedish artist Oscar Reutersvärd in 1934. The mathematician Roger Penrose independently devised and popularised it in the 1950s, describing it as "impossibility in its purest form". It is featured prominently in the works of artist M. C. Escher, whose earlier depictions of impossible objects partly inspired it.

Penrose graphical notation
http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_graphical_notation
In mathematics and physics, Penrose graphical notation or tensor diagram notation is a (usually handwritten) visual depiction of multilinear functions or tensors proposed by Roger Penrose[1]. A diagram in the notation consists of several shapes linked together by lines, much like tinker toys

Abstruse Goose: Stop the Massacre
http://www.lastwordonnothing.com/2011/12/01/2950/

Basic logic — connectives — IMPLIES
http://gowers.wordpress.com/2011/09/28/basic-logic-connectives-implies/

Michael Atiyah, uno de los más grandes matemáticos de nuestra era
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Publicado el 12 de Abril, 2012, 15:37

Cada tanto me encuentro, en mis lecturas, con alguna cita de "La consolación de la filosofía", de Boecio. Desde esta semana, tengo el libro completo en mi biblioteca. Habría mucho para comentar sobre la vida de Boecio, su obra, y la influencia de este libro en su época, mayor de la que imaginaba. Boecio vivió en la caída del imperio de Roma, y escribió este libro estando en prisión, antes de su ejecución. Hoy leo el llamado metro cuatro:

Aquel que sin perder el equilibrio de su espíritu sabe hollar con altivez los implacables decretos del destino y que tanto en la adversidad como en la bienandanza puede contemplar impasible los vaivenes de la mudable fortuna, no se conmoverá ni ante la furia amenzadora del océano que hace brotar del fondo de los abismos sus agitadas olas, ni ante el bramar del Vesubio caprichoso, cuando reventando sus hornos encendidos lanza las llamas envueltas en humo, ni ante la descarga del rayo ardiente que busca, para fulminarlas, las elevadas cumbres.

¿Por qué, por qué el hombre maltratado por la desgracia ha de mirar inerte, rabioso en su impotencia, al tirano que lo tortura? Nada esperes, nada temas y dejarás desarmado e impotente a tu más airado enemigo; pero si trepidas por el miedo o vacilas por una esperanza, ya has perdido tu firmeza, has vendido tu independencia, has abandonado tu escudo; y, desalojado de tus posiciones, has atado a tu cuello una cadena que para siempre te arrastará.

Boecio había gozado de una buena posición entre el poder romano, y ahora había caído en desgracia por una traición.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 8 de Abril, 2012, 6:20

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Ayer, escribí un primer post sobre Matemáticas y Realidad (ver ahí como nació el tema en Twitter). Hoy, preparando un email DIARIO (jeje... lo mío es un apostolado) que envío a una lista privada de un cliente sobre temas que me interesan, decidí enviar enlaces sobre matemáticas y filosofía. Fue una sorpresa encontrarme con la European Mathematical Society Newsletter y sus artículos de filosofía (citados en el primer enlace de la lista de abajo).

A todos los que les interesa el tema, les recomiendo la lectura de estos artículos (los primeros de la lista). Vean cómo David Mumford define platonismo:

The belief that there is a body of mathematical objects, relations and facts about them that is independent of and unaffected by human endeavors to discover them.

Vean cómo Barry Mazur hace la misma pregunta que comenté en el post de ayer:

Is mathematics discovered or invented?

Muchos conocemos a Mazur por el gran rol que jugaron sus ideas y papers en la demostración de Wiles del último teorema de Fermat. Pero vean que tiene un ancho campo de intereses, incluso la filosofía de su propia actividad matemática.

Al leer el principio del artículo de Mazur, me pareció conocida su cita del Huckleberry Finn. Y sí, ya había escrito post! ;-) Estrellas desde la balsa donde cité:

... Teníamos el cielo sobre nuestras cabezas, todo moteado de estrellas, y solíamos tendernos boca arriba y discutir si alguien las había hecho o habían salido solas. Jim decía que las habían hecho, y yo, que habían salido por azar; yo pensaba que se habían salido por azar; yo pensaba que se habría necesitado mucho tiempo para hacer tantas.

Otra gran pregunta que estoy tratando de comentar en mi serie ¿Qué está haciendo el Universo?

Si les gustan las matemáticas, vean los newsletter de EMS que cito abajo. Vean los títulos, las publicidades de libros y conferencias, busquen las biografías de los autores. Es un mundo fascinante y asombroso, de conocimiento y actividad humana.

Philosophy in the European Mathematical Society Newsletter
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/philosophy_in_the_ems_newslett.html

Platonism
http://www.math.chalmers.se/~ulfp/Platonism/platonism.pdf

a context of Gromov's program
http://ideafoundlings.blogspot.com.ar/2010/01/context-of-gromovs-program.html

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2010-03-75.pdf
Applied Platonism Zvi Artstein
Nominalism versus Realism
David Corfield

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2008-12-70.pdf
Why I am a Platonist
David Mumford
The belief that there is a body of mathematical objects, relations and facts about them that is independent
of and unaffected by human endeavors to discover them.

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2007-06-64.pdf
Let Platonism die
E. B. Davies (King"s College London, UK)
Over the last few years I have noticed that a number of Fields medallists and other famous mathematicians are being asked by interviewers whether they are Platonists. Many are quite unprepared for this question and try to evade it, or give answers which indicate that they have not thought seriously about it.

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2008-06-68.pdf
On Platonism
Reuben Hersh (University of New Mexico, USA)
"Platonism" can mean a lot of different things. Even "Platonism in mathematics" can mean a lot of different
things. In my writings on the philosophy of mathematics, I have been concerned about the philosophical stance or preconceptions of practicing mathematicians, whether explicitly formulated
or not. As I have written, this usually involves some choice or combination or alternation
of "formalism" and "Platonism", both of them in rough-and-ready, naïve versions. Their "Platonism" says
mathematical objects exist independently of our knowledge or activity, and mathematical truth is objective,
with the same status as scientifi c truth about the physical world. This may be boiled down to the phrase "out there." That"s where mathematical entities are, meaning, not "in here."

Mathematical
Platonism and
its Opposites
Barry Mazur (Harvard University, Cambridge MA, USA)
We had the sky up there, all speckled with stars, and we used to lay on our backs and look up at them, and discuss about whether they was made or only just happened – Jim he allowed they was made, but I allowed they happened; I judged it would have took too long to make so many. mused Huckleberry Finn.
The analogous query that mathematicians continually fi nd themselves confronted with when discussing their art with people who are not mathematicians is:
Is mathematics discovered or invented?
I will refer to this as The Question, acknowledging that this fi ve-word sentence, ending in a question mark
– and phrased in far less contemplative language than that used by Huck and Jim – may open conversations, but is hardly more than a token, standing for puzzlement regarding the status of mathematics.
If you engage in mathematics long enough, you bump into The Question, and it won"t just go away.1 If we wish to pay homage to the passionate felt experience that makes it so wonderful to think mathematics, we had better pay attention to it.

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2008-03-67.pdf
An interview with Alain Connes, part II
I have no doubt that mathematical reality is something which exists, that it exists independently of my own brain trying to see it, and has exactly the same properties of resistance as external reality. When you want to prove something, or when you examine if a proof is correct or not, you feel the same anguish, the same external resistance as you do with external reality. Some people will tell you that this reality does not exist because it is not "localized" somewhere in space and time. I just fi nd this absurd

(ver también sus comentarios sobre Mathematics and Physics, Heisenberg, standard model...)

What is a Theory? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/07/what_is_a_theory.html

El Amor a las Matemáticas.Relación entre la vida y los números.
http://viajeaitacaconmanoli.blogspot.com.ar/2010/07/el-amor-las-matematicasrelacion-entre.html

The language of explanation
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/Utah.3.pdf

Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy
http://www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich

Mathematical Problems by David Hilbert
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden; to cast a glance at the next advances of our science and at the secrets of its development during future centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of coming generations will strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of mathematical thought will the new centuries disclose?
Hilbert, 1900

Random Reality
http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/pc/random_reality.html
"Randomness generates everything," says Cahill. "It even creates the sensation of the 'present', which is so conspicuously absent from today's physics."

Science historian cracks the 'Plato code'
http://phys.org/news196943667.html

La autoconsistencia matemática, posible indicio de la existencia de Dios
http://www.tendencias21.net/La-autoconsistencia-matematica-posible-indicio-de-la-existencia-de-Dios_a2602.html
Sigue impulsando la imaginación filosófica del creyente científico

BABAB.COM - De cómo las matemáticas pueden enderezar tu torcida existencia.
http://www.babab.com/no19/matematicas_19.php

In Quest of Truth and Justice « Algorithmic Game-Theory/Economics
http://agtb.wordpress.com/2010/04/07/in-quest-of-truth-and-justice/

LA MATEMÁTICA Y LA COSMOVISIÓN DEL MUNDO. (INFORME PRELIMINAR)
http://www.fcecon.unr.edu.ar/investigacion/jornadas/archivos/spenglerycicerchia.PDF
Lo que hoy se entiende por matemática ¿es lo que siempre se entendió por
ello? ¿Qué elementos fundamentales contempla una disciplina como esta para adquirir

Climate Scientists and the Riemann Hypothesis « Climate Audit
http://climateaudit.org/2008/07/07/climate-scientists-and-the-riemann-hypothesis/
el status científico? La matemática ¿demuestra o verifica? ¿Es una ciencia que avanza
por ruptura o por revolución?

Logicomix: An Epic Search for Truth
http://www.amazon.com/Logicomix-Search-Truth-Apostolos-Doxiadis/dp/1596914521
This exceptional graphic novel recounts the spiritual odyssey of philosopher Bertrand Russell.

Alfred North Whitehead (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/whitehead/

Conocer Ciencia: Matemáticas: Forma y Contenido
http://pepascientificas.blogspot.com.ar/2010/03/matematicas-forma-y-contenido.html

The Two Cultures Again | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/the_two_cultures_again.html

The Two Cultures of Mathematics
http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/04/the_two_cultures_of_mathematic.html

Two cultures
http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf

Two Cultures in David Corfield
http://ncatlab.org/davidcorfield/show/Two+Cultures

The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/

What is math? : Good Math, Bad Math
http://scienceblogs.com/goodmath/2009/12/what_is_math.php

Why is physical intuition possible? 
http://sbseminar.wordpress.com/2009/11/16/why-is-physical-intuition-possible/

Emmy Noether NY Times obituary
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Obits2/Noether_Emmy_Einstein.html

Free Online Course Materials | Godel, Escher, Bach: A Mental Space Odyssey
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/hs/geb/VideoLectures/

Scientific Commons: Simon Colton
http://de.scientificcommons.org/simon_colton

Scientific Commons: Lakatos and machine creativity (2008)
http://de.scientificcommons.org/40850155

Por qué Pascal iba a misa todos los domingos ? « Martin Mendez blog
http://martinmendez.com/2009/02/24/por-que-pascal-iba-a-misa-todos-los-domingos/

Principia Mathematica - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica

The sum of human emotion
http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/magazine/7790253.stm

Lakatos and Machine Creativity
http://www.doc.ic.ac.uk/~sgc/papers/pease_ecai02workshop.pdf
Our thesis in this paper is that Lakatos"s Proofs and Refutations [17]
has important and exciting implications for the field of machine creativity.

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Publicado el 7 de Abril, 2012, 18:02

El pasado miércoles se dió una interesante discusión en Twitter, desde la pregunta de @kullock:

https://twitter.com/#!/kullock/status/187565061538201600

Las matemáticas fueron inventadas por el hombre o descubiertas por el hombre? Que piensan? cc @bilinkis

El intercambio de tweets siguió durante bastante tiempo, derivándose también en otros temas, como el alcance de la ciencia.

El tema fue tan interesante, que el bueno de @bilinkis fue y escribió un post:

Ordenada al origen

donde plantea el tema para seguir discutiendo de mejor forma en los comentarios. Les recomiendo leer todos, muy interesante todo lo expuesto.

Bien, el jueves fui dejando algún comentario, pero el tema me interesa desde más de 30 años, así que me voy a permitir exponer algunas ideas en una serie de post. ¿A qué apunta la pregunta de @kullock?

Veamos. Lo que yo interpreto es: lo que manejamos en matemáticas, ¿proviene todo del ser humano? ¿tienen el mismo origen objetos como "uno", "triángulo", "grupo" que "Sancho Panza" o "montaña dorada"? Los elementos matemáticos ¿son producto de la imaginación y la razó humana? ¿o existen por sí mismos? Y si es así, si existen por sí ¿en qué mundo? ¿en el mundo natural? ¿o en un mundo matemático, accesible de alguna forma por los seres humanos y seres inteligentes? Hasta alguien llegó a plantear que el Universo es matemáticas.

Tanto para comentar, exponer, explorar. En esta serie de post voy a tratar de:

- Definir el problema, por ejemplo, poniendo más en claro qué entender por descubrir, inventar, matemáticas, realidad.
- Comentar a Penrose (ver que ya apareció el tema en Al fin una fórmula)
- Recordar y comentar a Pitágoras y Platón
- Comentar al beato Bunge (para quien las matemáticas son una ficción, pero controlada y fructífera)
- Entrar en la filosofía de las matemáticas
- Relación entre matemáticas y realidad (algo comenté en los post que menciono más abajo)
- Comentar mi propia postura

Adelanto algunos puntos, que mencioné en comentario al post de @bilinkis:

- Matemáticas es abstracción, nace de abstracción de la realidad, pero si ven la historia, gran parte de las matemáticas se apartan de la realidad.
- Sólo parte de las matemáticas se usan para modelar la realidad.
- La realidad se modela, no sólo con matemáticas. Basta también dar un modelo basado en sistemas y mecanismos. Los resultados de la biología, biología molecular, algo de economía, son los ejemplos que me vienen ahora.
- La pregunta inicial apunta a distinguir entre invento y descubrimiento. Invento es ingeniería: crear lo que no estaba (una máquina de vapor). En ciencia se encuentra descubrimiento: encontrar lo que YA estaba (el neutrino).
- El platonismo en matemáticas sería el que se afirma que se descubre.

Mientras, les dejo posts relacionados para ir revisando:

Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 1)
Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 2)
La realidad de la geometría no euclídea (Parte 1)
La realidad de la geometría no euclídea (Parte 2)
La realidad de la geometría no euclídea (Parte 3)
Einstein: Matemáticas y Realidad
El número y Ernesto Sábato 
Naturaleza por números que alimenta la postura de "las matemáticas están ya en la naturaleza", podría llamar a esto el naturalismo matemático

Nos leemos!

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Publicado el 5 de Abril, 2012, 8:30

Hace casi un mes publiqué mis resoluciones para Marzo. Veamos el resultado:

- Escribir post sobre leyes fundamentales en ciencia completo ver post
- Estudiar economía (con posts en mes siguiente) completo
- Escribir post sobre ejemplos de espacios topológicos completo ver post
- Escribir post sobre números primos completo ver post

Bien, es tiempo de plantear las resoluciones de Abril:

- Escribir primer post de serie sobre economía
- Escribir primer post de serie Matemáticas y Realidad, motivado por el post de @bilinkis y la pregunta en Twitter de @kullock
- Escribir post de topología general
- Escribir post de mi serie sobre física cuántica
- Escribir post de la serie números primos

Esta vez me animo a más post "densos" de armar. Espero ordenar el tiempo de forma que pueda cumplir. Son temas que me interesan, y mucho.

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Abril, 2012, 7:16

Quería presentarles la parte inicial de una conferencia de Steven Weinberg, dada en honor de Paul A.M.Dirac.

Aunque me agradaría muchísimo honrar a Dirac proyectando una transparencia en la cual hubiera escrito las lyeyes finales de la física, no podré haberlo. Mi tema será necesariamente más modesto. Tendrá que ser: "¿Qué claves hallamos en la física actual que nos den indicios sobre la teoría final subyacente que descubriremos en algún momento del futuro?"

Este es el punto de este post. Ver cómo Weinberg entiende leyes finales y subyacentes en física, lo que yo llamo en otros posts "leyes fundamentales", que son fundamento de todo lo demás, como la química y (como estoy comenzando a discutir en mi serie Las bases de la vida ) la biología.

Ante todo, explicaré qué entiendo por "teoría subyacente". En los últimos cien años los científicos han forjado cadenas de explicación que descendían desde la escala de la vida cotidiana hasta niveles cada vez más microscópicos. Muchas de las viejas preguntas -¿por qué el cielo es azul?, ¿por qué el agua es húmeda? y demás- han hallado respuestas en función de las propiedades de los átomos y de la luz. A la vez, esas propiedades se han explicado en función de las propiedades de lo que llamamos partículas elementales: quarks, leptones, bosones y otras. Al mismo tiempo hubo un movimiento hacia una mayor simplicidad. No es que la matemática se vuelva más fácil a medida que transcurre el tiempo, o que la cantidad de partículas elementales supuestas decrezca necesariamente cada año, sino que los principios cobran mayor coherencia lógica; hay en ellos una mayor cualidad de "inevitabilidad". John Wheeler, mi colega de Texas, ha predicho que, cuando eventualmente conozcamos las leyes finales de la física, nos sorprenderá que no hubieran resultado obvias desde un principio. Sea como fuere, ésa es nuestra búsqueda: hallar un conjunto sencillo de principios físicos que posean la mayor inevitabilidad posible del cual se pueda derivar, en principio, todo lo que sabemos sobre física.

Y hasta donde sabemos, de ahí se deriva todo lo que tenemos como fenómenos, desde las reacciones químicas hasta el desenvolvimiento de la vida.

No sé si alguna vez llegaremos ahí; ni siquiera estoy seguro de que exista un conjunto de leyes físicas simpes, finales y subyacentes. Empero estoy seguro de que es bueno explorarlas, tal como los exploradores españoles, cuando enfilaron al norte desde el centro de México, buscaban las siete ciudades doradas de Cibola. No las encontraron, pero encontraron otras cosas útiles, como Texas.

;-)

Y ahora, no menos importante, su exposición de qué no es "ley final y subyacente". Y pone como ejemplo algo que muchos considerarían como ley fundamental, y que no lo es: es derivada.

También explicaré qué no entiendo por "leyes finales y subyacentes" de la física. Con esa expresión no quiero decir que otras ramas de la física corran peligro de ser reemplazadas por una versión definitiva de la física de partículas elementales. Creo que el ejemplo de la termodinámica nos será útil. Hoy sabemos muchísimo acerca de las moléculas del agua. Supongamos que en algún momento del futuro supiéramos todo lo que hay que saber sobre las moléculas del agua y que fuéramos tan buenos en informática que contáramos con ordenadores capaces de seguir la trayectoria de cada molécula en un vaso de agua. (Es probable que ninguna de ambas cosas ocurra jamás, pero supongamos que ocurrieran.) Aunque pudiéramos predecir el comportamiento de cada molécula en un vaso de agua, en ninguna parte de esa montaña de páginas impresas por ordenador hallaríamos las propiedades del agua que de veras nos interesan, propiedades como la temperatura y la entropía. Esta propiedades se deben abordar en sus propios términos y para ello tenemos la ciencia de la termodinámica, que trata sobre el calor sin reducirlo a cada paso a las propiedades de las moléculas o las partículas elementales. Hoy no hay duda de que la termodinámica, en últuma instnacia, es lo que es a causa de las propiedades de la materia de lo más pequeño. (Desde luego, eso era controvertido a principios de siglo, como ustedes sabrán si han leído, por ejemplo, una biografía de Boltzmann.) Pero en la actualidad no dudamos de que la termodinámica deriva en cierto sentido de principios físicos subyacentes más profundos. Aun así continúa siendo una ciencia en sí misma, y continuará siéndolo siempre. Lo mismo ocurre con otras ciencias que hoy gozan de mayor vitalidad y apasionamiento que la termodinámica, ciencias como la ciencia de la materia condensada y el estudio del caos. Y, desde luego, lo mismo ocurre con ciencias que están fuera del área de la física, como la astronomía y la biología, en lo cual también entra un ingrediente histórico.

Vean que Weinberg señala la historia: lo que hoy vemos en biología (organismos, plantas, animales) y en astronomía (planetas, estrellas, galaxias) es resultado de la historia de sus elementos y sistemas. Y también menciona propiedades (temperatura, entropía) que se aplican a sistemas, en este caso al sistema formado por las moléculas de agua.

Esta conferencia la encuentro (junto con otra excelente de Richard Feynman) en el libro "Las partículas elementas y las leyes de la física", editorial Gedisa.

Otros posts donde presento y comento a Weinberg:

Reduccionismo, según Steven Weinberg
La belleza en las teorías físicas, según Weinberg
Ciencia y el corrimiento al rojo
Física Cuántica (Parte 2) La Moneda Cuántica

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Abril, 2012, 13:09

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Más enlaces sobre el tema, con novedades que encontré hasta el fin del 2011:

The Standard Model Higgs
http://profmattstrassler.com/articles-and-posts/the-higgs-particle/the-standard-model-higgs/

Articles on Standard Model Higgs: #1 How it is Produced; #2 How It Decays
http://profmattstrassler.com/2011/12/10/articles-on-standard-model-higgs-1-how-it-is-produced-2-how-it-decays/

Production of the Standard Model Higgs Particle
http://profmattstrassler.com/articles-and-posts/the-higgs-particle/the-standard-model-higgs/production-of-the-standard-model-higgs-particle/

About Those Rumors That The Higgs Has Been Discovered
http://profmattstrassler.com/2011/12/07/about-those-rumors-that-the-higgs-has-been-discovered/

CERN Reports Hints of the Higgs Particle -The Missing Member of the Standard Model of the Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/12/cern-reports-hints-of-the-higgs-particle-the-missing-member-of-the-standard-model-of-the-universe.html

Higgs hunt narrows
http://www.ox.ac.uk/media/science_blog/111213.html

El LHC encuentra "evidencias" de la 'partícula dios'
http://www.publico.es/ciencias/411961/el-lhc-encuentra-evidencias-de-la-particula-dios

Mass effect: Maybe Higgs, maybe not
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/12/13/mass-effect-maybe-higgs-maybe-not/

First Glimpse of the Higgs Boson: Guest post from Jack Gunion
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/12/13/first-glimpse-of-the-higgs-boson-guest-post-from-jack-gunion/

Brookhaven Lab and the Search for the Higgs
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/brookhaven-lab-and-the-search-for-the-higgs/

Higgs seminar discussion
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/higgs-seminar-discussion/

Don"t let the black dots fool you….
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/dont-let-the-black-dots-fool-you/

Fermilab hot on trail of Higgs boson with LHC, Tevatron
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/fermilab-hot-on-trail-of-higgs-boson-with-lhc-tevatron/

Evolution or revolution? The search for the Higgs boson puts particle physics on the threshold of a new era.
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/evolution-or-revolution-the-search-for-the-higgs-boson-puts-particle-physics-on-the-threshold-of-a-new-era/

The CERN Higgs seminar
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/the-cern-higgs-seminar/

Atualização da procura pelo Higgs. Ou ainda: eis o Higgs!
http://arsphysica.wordpress.com/2011/12/13/atualizacao-da-procura-pelo-higgs-ou-ainda-eis-o-higgs/

This Week"s Hype
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4262

Higgs Predictions and Results
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4251

More Higgs Non-News
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4202

Higgs Non-News
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4161

Possible signs of the Higgs remain in latest analyses
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2011/12/13/possible-signs-of-the-higgs-remain-in-latest-analyses-2/

CERN: 'New physics starts now'
http://www.theregister.co.uk/2011/12/14/higgs_boson_deep_dive/

Cada vez más cerca de 'la partícula de Dios'
http://www.lavanguardia.com/vida/20111213/54241052751/cada-vez-mas-cerca-particula-dios.html

LHC sees hint of lightweight Higgs boson
http://www.newscientist.com/article/dn21279-lhc-sees-hint-of-lightweight-higgs-boson.html

Goldstone's theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldstone's_theorem

Hidden symmetries
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2005/10/24/hidden-symmetries/

Why We Need the Higgs, or Something Like It
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/06/14/why-we-need-the-higgs-or-something-like-it/

Making the (Higgs) Sausage
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/12/08/making-the-higgs-sausage/

Last chance for a Higgs prediction
http://www.quantumdiaries.org/2011/12/13/last-chance-for-a-higgs-prediction/

Whether we find the Higgs Boson or not, particle physics is a benefit to us all
http://www.guardian.co.uk/commentisfree/2011/dec/12/higgs-boson-particle-physics-benefit?CMP=twt_gu

GUÍA DE PREGUNTAS Y RESPUESTAS
SOBRE EL BOSÓN DE HIGGS
http://www.i-cpan.es/media/guiaHiggs2011.pdf

El campo de Higgs
http://youtu.be/pNFDh4sObEM

CERN manages expectations around Higgs rumours
http://www.nature.com/news/cern-manages-expectations-around-higgs-rumours-1.9611

Guest Post: Matt Strassler on Hunting for the Higgs
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/12/06/guest-post-matt-strassler-on-hunting-for-the-higgs/

Decays of the Standard Model Higgs
http://profmattstrassler.com/articles-and-posts/the-higgs-particle/the-standard-model-higgs/decays-of-the-standard-model-higgs/

Expectación sobre la partícula de Higgs en el acelerador LHC
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Expectacion/particula/Higgs/acelerador/LHC/elpepusoc/20111208elpepusoc_11/Tes

What if there is no Higgs boson?
http://www.newscientist.com/article/dn21259-what-if-there-is-no-higgs-boson.html

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Abril, 2012, 18:26

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Los números primos es un gran tema para plantear. Pero es tiempo de hacerlo. Recodermos algunas cosas.

Tenemos números naturales, que son nuestros conocidos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 .... y así

En el reino de estos números tenemos operaciones de suma (+) y de multiplicación (*) que es una suma repetida, 2 * 3 es sumar tres veces al 2. Son los números que primero manejamos, al asociarlos para contar cosas, desde nuestros dedos a ovejas y a piedras.

Dadas las operaciones de suma y multiplicación, hay números que son el resultado de aplicarlas. Si aplicamos la suma, los primeros números se pueden expresar como:

1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...

Podría haber puesto 3 como 2+1, pero vemos que 2 es "compuesto" y lo reemplazé por 1+1. No puse paréntesis porque la suma en los naturales es asociativa: (a+b)+c = a+(b+c).

Si nos centramos en la multiplicación, la anterior serie puede expresarse en:

1, 2, 3, 2*2, 5, 2*3, 7, 2*2*2, 3*3, 2*5, 11, 3*4, 13, 2*7 ....

De nuevo, volví a emplear los números "más simples". También adopté la convención de enumerarlos de menor a mayor en los factores de la multiplicación. Vemos que algunos números se pueden descomponer en otros números, mientras que otros no se pueden expresar con multiplicaciones. Notablemente, un número natural SOLO PUEDE expresarse de una forma en esos "números simples". De nuevo, notablemente, hay sistemas en los que eso no se cumple (tengo que volver a escribir del tema de anillos y anillos de enteros, ver Anillos). Esta afirmación sobre los naturales es el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Los números de arriba que no se pueden descomponer en otros, se llaman números primos. Componen la serie:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...

A los matemáticos les gustan los casos extremos. Podríamos investigar:

- Los números que se pueden descomponer en muchos factores primos
- Los números primos

En esta serie, nos concentraremos en la segunda rama: los primos. Primeras preguntas a investigar en próximos post:

- ¿Hay infinitos primos? ¿O se acaban?
- ¿Podemos decir algo sobre su distribución?

Consejo: hacer o conseguir una lista de los números primos, para ir tanteando respuestas. Así también trabajan los matemáticos: no todo son deducciones. Muchas veces éstas se dejan para las demostraciones de los teoremas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Abril, 2012, 15:31

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En el anterior post, expuse espacios topológicos. Había un espacio X (un conjunto al fin) de elementos (muchas veces los llamamos puntos) y una topología T sobre X. T es un subconjunto de P(X), las partes de X. ¿Cuáles eran los elementos de P(X)? Todos los conjuntos incluídos en X. Tanto X como el conjunto vacío son elementos de P(X). Entonces, T tiene como elementos algunos o todos los de P(X). Pero para que un subconjunto de P(X) sea una topología de X, se debía dar:

- La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T
- La unión de una familia de conjuntos (arbitraria) de T también está en T

Se toma en general que

- X y el conjunto vacío están en T

El par (X, T) se llama espacio topológico. Veamos hoy de bajar todo esto abstracto a un primer ejemplo concreto. Es un ejemplo que no es el más característico de lo que vamos a ir viendo, pero es lo bastante simple y concreto para ir "aprehendiendo" los conceptos fundamentales de qué es y no es una topología T en X.

Sea el espacio un conjunto simple, que tiene solo 3 elementos:

En general, voy a representar a X con alguna forma rectangular. ¿Hay una topología en X? No solamente hay una, sino que hay varias. Mientras encontremos los conjuntos elementos de T que cumplan con las condiciones de arriba, tendremos una topología válida. La primera T que se me ocurre es:

En lo que sigue, voy a obviar de poner el conjunto vacío. Pero esta T que muestro es { X, o } (donde pongo o como conjunto vacío). Cumple con todas las condiciones de ser topología de X, es la que presenté en el anterior como topología indiscreta de X. Para todo X no vacío, se puede tener esta topología indiscreta.

Otra que se me ocurre para T, es:

Vean qué curioso: cumple con todas las condiciones. Sólo tiene un punto aislado, el de "la izquierda", llamémoslo i, entonces T = { X, {i}, o }.

Sea ahora un T con dos "puntos aislados", el i (de la izquierda), y el a (de arriba):

T = { X, {i}, {a}, {i, a}, o }. Vean que es necesario para que T sea topología de X que contenga a las uniones de {a} y {i}.

Otra variante T, la primera que tiene a d (de la derecha) como punto aislado:

T = {X, {i, a}, {d}, o}. Interesantemente, toda partición de X en dos subconjuntos disjuntos forma una topología, si agregamos X y el conjunto vacío.

Pero la topología más fina, la que tiene a todos los puntos de X como puntos aislados, es la llamada topología discreta de X:

Tarea para el hogar:

- Si X es un conjunto de n elementos (n finito) ¿cuántas topologías distintas tiene?
- Habrá topologías T1, T2, tal que todo elemento de T1 está en T2?

En el próximo post, veremos ejemplos de topologías sobre conjuntos infinitos. Hay muchos ejemplos diferentes para ver, por ejemplo, topologías de X donde los elementos de X son funciones, o donde X forma espacio vectorial.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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