Publicado el 1 de Abril, 2012, 15:31
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En el anterior post, expuse espacios topológicos. Había un espacio X (un conjunto al fin) de elementos (muchas veces los llamamos puntos) y una topología T sobre X. T es un subconjunto de P(X), las partes de X. ¿Cuáles eran los elementos de P(X)? Todos los conjuntos incluídos en X. Tanto X como el conjunto vacío son elementos de P(X). Entonces, T tiene como elementos algunos o todos los de P(X). Pero para que un subconjunto de P(X) sea una topología de X, se debía dar: - La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T Se toma en general que - X y el conjunto vacío están en T El par (X, T) se llama espacio topológico. Veamos hoy de bajar todo esto abstracto a un primer ejemplo concreto. Es un ejemplo que no es el más característico de lo que vamos a ir viendo, pero es lo bastante simple y concreto para ir "aprehendiendo" los conceptos fundamentales de qué es y no es una topología T en X. Sea el espacio un conjunto simple, que tiene solo 3 elementos:
En general, voy a representar a X con alguna forma rectangular. ¿Hay una topología en X? No solamente hay una, sino que hay varias. Mientras encontremos los conjuntos elementos de T que cumplan con las condiciones de arriba, tendremos una topología válida. La primera T que se me ocurre es:
En lo que sigue, voy a obviar de poner el conjunto vacío. Pero esta T que muestro es { X, o } (donde pongo o como conjunto vacío). Cumple con todas las condiciones de ser topología de X, es la que presenté en el anterior como topología indiscreta de X. Para todo X no vacío, se puede tener esta topología indiscreta. Otra que se me ocurre para T, es:
Vean qué curioso: cumple con todas las condiciones. Sólo tiene un punto aislado, el de "la izquierda", llamémoslo i, entonces T = { X, {i}, o }. Sea ahora un T con dos "puntos aislados", el i (de la izquierda), y el a (de arriba):
T = { X, {i}, {a}, {i, a}, o }. Vean que es necesario para que T sea topología de X que contenga a las uniones de {a} y {i}. Otra variante T, la primera que tiene a d (de la derecha) como punto aislado:
T = {X, {i, a}, {d}, o}. Interesantemente, toda partición de X en dos subconjuntos disjuntos forma una topología, si agregamos X y el conjunto vacío. Pero la topología más fina, la que tiene a todos los puntos de X como puntos aislados, es la llamada topología discreta de X:
Tarea para el hogar: - Si X es un conjunto de n elementos (n finito) ¿cuántas topologías distintas tiene? En el próximo post, veremos ejemplos de topologías sobre conjuntos infinitos. Hay muchos ejemplos diferentes para ver, por ejemplo, topologías de X donde los elementos de X son funciones, o donde X forma espacio vectorial. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
