Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Abril, 2012, 15:31

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En el anterior post, expuse espacios topológicos. Había un espacio X (un conjunto al fin) de elementos (muchas veces los llamamos puntos) y una topología T sobre X. T es un subconjunto de P(X), las partes de X. ¿Cuáles eran los elementos de P(X)? Todos los conjuntos incluídos en X. Tanto X como el conjunto vacío son elementos de P(X). Entonces, T tiene como elementos algunos o todos los de P(X). Pero para que un subconjunto de P(X) sea una topología de X, se debía dar:

- La intersección de dos conjuntos cualquiera de T también está en T
- La unión de una familia de conjuntos (arbitraria) de T también está en T

Se toma en general que

- X y el conjunto vacío están en T

El par (X, T) se llama espacio topológico. Veamos hoy de bajar todo esto abstracto a un primer ejemplo concreto. Es un ejemplo que no es el más característico de lo que vamos a ir viendo, pero es lo bastante simple y concreto para ir "aprehendiendo" los conceptos fundamentales de qué es y no es una topología T en X.

Sea el espacio un conjunto simple, que tiene solo 3 elementos:

En general, voy a representar a X con alguna forma rectangular. ¿Hay una topología en X? No solamente hay una, sino que hay varias. Mientras encontremos los conjuntos elementos de T que cumplan con las condiciones de arriba, tendremos una topología válida. La primera T que se me ocurre es:

En lo que sigue, voy a obviar de poner el conjunto vacío. Pero esta T que muestro es { X, o } (donde pongo o como conjunto vacío). Cumple con todas las condiciones de ser topología de X, es la que presenté en el anterior como topología indiscreta de X. Para todo X no vacío, se puede tener esta topología indiscreta.

Otra que se me ocurre para T, es:

Vean qué curioso: cumple con todas las condiciones. Sólo tiene un punto aislado, el de "la izquierda", llamémoslo i, entonces T = { X, {i}, o }.

Sea ahora un T con dos "puntos aislados", el i (de la izquierda), y el a (de arriba):

T = { X, {i}, {a}, {i, a}, o }. Vean que es necesario para que T sea topología de X que contenga a las uniones de {a} y {i}.

Otra variante T, la primera que tiene a d (de la derecha) como punto aislado:

T = {X, {i, a}, {d}, o}. Interesantemente, toda partición de X en dos subconjuntos disjuntos forma una topología, si agregamos X y el conjunto vacío.

Pero la topología más fina, la que tiene a todos los puntos de X como puntos aislados, es la llamada topología discreta de X:

Tarea para el hogar:

- Si X es un conjunto de n elementos (n finito) ¿cuántas topologías distintas tiene?
- Habrá topologías T1, T2, tal que todo elemento de T1 está en T2?

En el próximo post, veremos ejemplos de topologías sobre conjuntos infinitos. Hay muchos ejemplos diferentes para ver, por ejemplo, topologías de X donde los elementos de X son funciones, o donde X forma espacio vectorial.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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