Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Abril, 2012, 16:27

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Ya presenté qué son los números primos, limitándome a los números naturales. Veamos hoy una pieza fácil: demostrar que son infinitos.

En efecto, supongamos que no lo fueran, que hubiera una cantidad finita de primos. Puede que una cantidad grande, pero al fin finita. Sean esos números la serie:

2,3,5,7,11,13,...., P

es decir, no hay más que éstos (sean 101 o diez trillones, no importa). Siempre podemos multiplicar esa cantidad finita de números, y sumarle 1. Obtenemos un número N:

(2*3*5*7*11*13*....*P) + 1 = N

Consideremos ahora ese número N. Tenemos dos posibilidades:

- N es primo
- N no es primo

La primera implicaría que hemos encontrado un número primo que no estaba en nuestra lista aparentemente final. Llegamos a una contradicción.

Nuestra "chance" está entonces en la segunda posiblidad: N no es primo. Esto implica N es divisible por algún número, ser no primo es ser compuesto (en notación multiplicativa). Pero todo número compuesto es divisible por algún número primo: basta tomar un divisor compuesto e ir buscando sus divisores, tomar uno y repetir el proceso. Así, obtenemos números compuestos divisores de N cada vez más pequeños, pero ese proceso debe terminar, y llegar a un número primo. Esta es otra forma de aprovecharse de una propiedad de todo subconjunto de números naturales: tienen un mínimo. Si tomo el conjunto de TODOS los divisores de N mayores que 1, habrá uno de ellos que es mínimo, y será primo. Pues si no lo fuera, sus divisores serían menores que él.

Queda firme que si N no es primo, tiene un divisor primo. Vean que tuve que esbozar la demostración, porque no hay nada de lo que había escrito antes que demostrara ese hecho. No basta que parezca evidente, en matemáticas hay que demostrar en firme.

Bien, sea Q ese divisor primo de N (puede haber varios, sólo nos interesa que existe uno). Entonces, ninguno de los primos:

2,3,5,7,11,13,...., P

divide a N, porque N módulo p (siendo p uno de esos primos) da como resultado 1 (por construcción de N, recuerden el + 1 que le agregamos a la multiplicación de todos los p).

Entonces, Q no es uno de esos p.

Tenemos un Q primo nuevo, contra lo supuesto. Habíamos supuesto que conocíamos todos los primos, y nos aparece uno nuevo. De nuevo, llevamos a contradicción.

Esto nos habilita a negar: la cantidad de primos es finita. Si aceptamos esa proposición, llegamos a contradicción. Entonces hemos demostrado su negación: la cantidad de primos es infinita. Toda esta demostración es una demostración por reductio ad absurdum:

http://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

Eso funciona en matemáticas si aceptamos que, partiendo de definiciones, primeras proposiciones,  proposiciones verdaderas en el ámbito elegido, y aplicando la lógica aceptada, no llegamos a contradicciones. Es una gran suposición, pero ya es tema de metamatemática.

Tenemos que estudiar, explorar, jugar con la cuestión: ok, los primos son infinitos, pero ¿cuál es su distribución? ¿serán la décima parte de los naturales? ¿o hay otra fracción que describe su frecuencia?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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