Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Abril, 2012, 7:22

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Veamos un ejemplo clásico de espacio topológico. Los "puntos" serán números reales. Entonces, el espacio X será el conjunto de los números reales R. Los vamos a representar sobre una recta:

Jeje, no la puedo "dibujar" infinita, pero imaginemos que se extiende a ambos lados todo lo que queramos.

Vean que la recta no es lo mismo que los reales: en éstos, cada punto tiene "nombre", hay un punto especial el 0, una especie de "origen" de la recta. Voy a tratar de representar los reales de modo geométrico sobre una recta "pura", sin marcas especiales. De esta manera, quiero destacar lo esencial de la topología que vamos a ver: los intervalos abiertos, basado en la relación de orden, o de cuándo un número real es menor o no que otro (o si quieren verlo, cuándo un "punto real" está "a la izquierda" o no de otro en la representación geométrica) (tomo "a la izquierda" como "menor que" arbitrariamente, bien podríamos adoptar la convención contraria).

¿Qué es un intervalo abierto? Es el conjunto de reales x tales que a < x < b. Decimos que es el intervalo abierto (a, b). Si a < b, el intervalo no es vacío. Geométricamente, se vería como el segmento en rojo:

Puse dos "puntos" destacados que serían sus límites y NO PERTENECEN al intervalo abierto. Tomemos otro ejemplo:

Con estos intervalos abiertos se construye la topología habitual de R. Decimos que son abiertos de la topología que queremos imponer a los reales. Tenemos que ahora encontrar TODOS los abiertos. Pero recordemos: la intersección de dos abiertos es un abierto. La intersección de los dos intervalos abiertos daría:

La unión de una familia de abiertos (familia que puede ser infinita) también es un abierto. Entonces, la unión de dos intervalos abiertos también es abierto, y en uniendo los dos anteriores, nos dá el abierto:

QUE TAMBIEN es intervalo abierto. Atención: estamos tratando de encontrar TODOS los abiertos de la topología propuesta. Una cosa son los intervalos abiertos: son las "semillas" de todos los abiertos que ahora vamos a encontrar. Otra cosa es un abierto cualquiera de esta topología. Por ejemplo, uniendo dos intervalos abiertos:

NO obtenemos un intervalo abierto. Pero igual consideramos que es un abierto (no intervalo abierto) de la topología.

Como la unión arbitraria de abiertos es un abierto, podemos plantear la unión de infinidad de intervalos abiertos hacia "la izquierda" dando una semirrecta abierta:

También sería entonces abierto la unión cualquiera de intervalos abiertos. Tenemos que los elementos, los abiertos de la topología T habitual de los reales es: cualquier conjunto que resulte de la unión de una familia (cualquiera) de intervalos abiertos.

Es relativamente fácil probar que esos conjuntos abiertos cumplen con las dos condiciones para los abiertos de una topología T:

- La intersección de dos abiertos es abierto

- La unión de dos abiertos es abierto

La segunda condición es fácil: nuestros abiertos son uniones de familias de intervalos. La unión de dos uniones sigue siendo una unión (acá tengo que apelar a la teoría de conjuntos). Un poco más intricada es mostrar que se cumple la primera condición. Se puede ver, de nuevo apelando a la teoría de conjuntos, que: la intersección de dos uniones de familias de intervalos abiertos es la la unión de intersecciones de esos intervalos abiertos. Y se vió que la intersección de intervalos abiertos es de nuevo un intervalo abierto (que puede ser vacío). Entonces queda de nuevo una unión de intervalos abiertos. Que por definición, es un abierto de nuestra topología.

Tenemos nuestro primer caso de topología T generada por un conjunto de elementos, en este caso el conjunto de los intervalos abiertos. Siempre se puede hacer ese truco: dado elementos "semilla" se considera que son abiertos:

- Cada uno de esos elementos
- La intersección de cualquiera familia finita de esos elementos
- La unión de cualquier familia (arbitraria) de esos elementos

siempre y cuando la unión de todos esos elementos semilla resulte en el espacio X, es decir, que el propio X sea un abierto. Otras veces, se define la topología con los elementos "semilla" y X se toma por "deducción": como la unión de todos esos elementos.

Por ejemplo, podemos tomar como elementos semilla a todos los intervalos abiertos (a, b) de los reales, CON 0 < a < 1, 0 < b < 1. El espacio X será { x / 0 < x < 1}, el intervalo (0, 1). Y tenemos una topología nueva.

Nota: vean cómo la representación geométrica nos ayudó a entender mejor lo que es un abierto. La intuición de un matemático también se nutre de ese tipo de representaciones. No todo es manipulación de símbolos.

Nota adicional: todo lo anterior se puede hacer con los números racionales. Pero eso ya es tema para otro post ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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