Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Abril, 2012, 8:23

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En estos días he vuelvo a leer sobre los fundamentos de las matemáticas y encontré este párrafo de Bertrand Russell, en su introducción a la segunda edición de su libro "Los principios de la matemática" (tengo una edición en español de Espasa Calpe)(ver la versión en inglés The Principles of Mathematics donde no está esta introducción). Es una crítica al formalismo de David Hilbert:

La interpretación formalista de la Matemática no es nueva en absoluto, pero para nuestros propósitos podemos ignorar sus formas más antiguas. Tal como la presenta Hilbert, por ejemplo, en la esfera de los números, consiste en dejar indefinidos los enteros, pero afirmando respecto a ellos axiomas tales que hagan posible la deducción de las proposiciones aritméticas comunes. Es decir, no asignamos significado alguno a nuestros símbolos 0, 1, 2, ... excepción hecha de que deben tener ciertas propiedades enumeradas en los axiomas. Por lo tanto, los símbolos deben considerarse como variables. Los enteros posteriores pueden definirse cuando se da el 0, pero el 0 debe ser simplemente algo que posee las características prefijadas. De acuerdo con esto los símbolos 0, 1, 2, ... no representan una serie definida, sino cualquier progresión arbitraria. Los formalistas se han olvidado de que los números no sólo son necesarios para hacer sumas, sino también para contar. Proposiciones tales como "Existieron 12 Apóstoles" o "Londres tiene 6.000.000 de habitantes" no pueden integrarse en su sistema. Pues el símbolo "0" puede tomarse igual de cualquier entero finito, sin que por ello resulte falso ninguno de los axiomas de Hilbert; y por lo tanto cualquier número-símbolo resulta infinitamente ambiguo. Los formalistas son semejantes a un relojero que se halla tan absorbido por el deseo de que sus relojes tengan buen aspecto, que olvida que la misión de los mismos es la de señalar el tiempo, y descuida la máquina.

Bueno, Russell me parece que se excede en la crítica. El formalismo de Hilbert va más allá de la aritmética, pero centrémonos en ésta. Pienso que para Hilbert, "Londres tiene 6 millones de habitantes" no es una proposición de las matemáticas puras, y no le interesa. Yo no afirmaría tanto como Russell "el símbolo "0" puede tomarse igual de cualquier entero finito", porque ahí está pidiendo el mapeo de un símbolo con ... ¿qué? ¿un entero finito? Y eso ¿de dónde salió? Justamente, Hilbert define los enteros finitos A PARTIR del "0", tomémoslo como símbolo o concepto inicial. Y en la aplicación a la realidad, es claro que Hilbert, Ud., yo y Russell mapeamos el "0" a lo que todos conocemos.

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Sobre formalismo ver:

Formalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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