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Sigo leyendo a Bertrand Russel, continuando el anterior post. Este es el párrafo que sigue al que comenté hace dos semanas:

Existe otra dificultad en la posición formalista, y es en lo que respecta a la existencia. Hilbert admite que si un conjunto de axiomas no lleva a contradicción debe existir algún conjunto de objetos que los satisface; y de acuerdo con ello, en vez de buscar el establecer teoremas de existencia por medio de ejemplos, se dedica a métodos de prueba de la propia consistencia de sus axiomas. Para él la "existencia", tal cual se entiende generalmente, es un concepto metafísico innecesario, que puede reemplezarse por el concepto preciso de no-contradicción. Y aquí olvida de nuevo que la Aritmética tiene un uso práctico. No existe límite para los sistemas de axionas no-contradictorios que pueden inventarse. Las razones que nos obligan a interesarnos en los axiomas que conducen a la Aritmética común se hallan fuera de la misma, y se hallan relacionadas con la aplicación del número al material empírico. Esta aplicación por sí misma no forma parte ni de la Lógica ni de la Aritmética; pero una teoría que la haga imposible a priori no puede ser verdadera. La definición lógica de los números se relaciona con el mundo real de los objetos contables que llega a nuestro entendimiento; la teoría formalista no.

No pude encontrar dónde Hilbert afirma "debe existir algún conjunto de objetos que los satisface". Hilbert no se preocupa por la existencia, sino por la no-contradicción de los axiomas, como el mismo Russell admite: "para él la "existencia" ... es un concepto metafísico innecesario", así que nunca se plantea la existencia o no de un conjunto de objetos que satisfacen los axiomas. Yo diría que los matemáticos se ocupan de lo fructífero e interesante que puede ser un sistema.

Tiene razón Russell cuando afirma que la aplicación del número a la realidad, a problemas reales "no forma parte ni de la Lógico ni de la Aritmética". Justamente, Hilbert no se preocuparía de eso. Pero Russell afirma demasiado cuando dice "una teoría que la haga imposible". No veo que un sistema formalista haga imposible su aplicación a problemas reales. Solamente deja la aplicación afuera de su ámbito de problema. Nada más, ni nada menos.

No se me ocurre cómo se puede satisfacer a Russell con eso de "establecer teoremas de existencia por medio de ejemplos". ¿Cómo puede un ejemplo establecer teoremas de existencia? Lo que se me ocurre que quiere decir Russell, es que Hilbert no se preocupa de mostrar modelos que satisfacen a sus sistemas de axiomas. Por ejemplo, si un matemático establece una geometría no euclideana, bien podría presentar como ejemplo la superficie de una esfera: un ejemplo embebido en otra geometría, la del espacio euclideano. Supongo que eso era lo que busca Russell: ante un conjunto de axiomas, mostrar un modelo que lo satisfaga, un modelo de alguna forma embebido en algo más simple o básico. Tendría que revisar a Tarski en este tema de los modelos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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