Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Mayo, 2012, 17:16

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Veamos hoy un ejemplo de topología en el plano. Como en el post anterior, quiero CONSTRUIR una topología. El espacio ya lo tenemos: los puntos del plano. Falta los elementos de la topología. Recuerden: una topología T sobre el espacio X es un conjunto de las partes de X que cumple:

- La unión arbitraria de elementos de T es también elemento de T
- La intersección de dos elementos de T es elemento de T
- X es elemento de T

Los elementos de T se llaman abiertos de la topología T. El par (X, T) es un espacio topológico.

Para construir una topología T sobre X, vuelvo a elegir el camino de tener elementos "semilla", que sean el principio de todo T. Primero, elijo como elementos semilla las bolas abiertas del plano:

Es decir, dado un punto x y un radio r > 0,  la bola abierta B(x,r) es:

B(x,r) = { y / distancia(x,y) < r }

Segundo, formo una topología propuesta:

T = { E / E es la unión arbitraria de bolas abiertas }

Claro, hay que probar que es una topología. Es fácil ver que el espacio (el plano) X es elemento de T, basta con tomar una bola abierta por cada punto de X, y formar la unión arbitraria de todas ellas. Es claro que cada elemento de X está en uno de esas bolas, así que el elemento E formado por la unión de todas esas bolas es igual a X.

La primera condición de topología se cumple, por la forma que he definido los elementos E. Es claro que la unión arbitraria de Ei, cada uno es unión arbitraria de bolas abiertas, es también una unión arbitraria de bolas abiertas (habría que volver a teoría de conjuntos para una demostración más formal).

Para la segunda condición, primero veamos la intersección de dos bolas abiertas:

Puede que la intersección sea vacía, que también es elemento de T (la unión arbitraria de 0 bolas abiertas es el conjunto vacío, y por definición de T está en esta topología).

Acá vamos a ver algo que no puedo probarles con teoría de conjuntos o con lo que sabemos de topología: se basa en la métrica del plano (yo la introduje "de prepo" al poner bolas abiertas, que en su definición usan la distancia que conocemos habitualmente, lo que forma una métrica sobre el plano, ya veremos que mucho de los espacios topológicos son espacios con métrica (pero notablemente, no todos)).

A lo que voy, es que en la figura anterior se ve que la intersección de las bolas de los puntos y, z es un conjunto con forma de lenteja (bueno, lo mío es la imaginación ;-). Y se ve en la figura, que CADA PUNTO de ese conjunto TIENE una bola abierta TOTALMENTE contenida en el conjunto. Entonces, esa lenteja, es unión de esas bolas abiertas, entonces esa lenteja ES elemento de T. Por ahora, les dejo esta demostración intuitiva, hasta que lleguemos a espacios métricos.

Habiendo demostrado que la intersección de dos bolas abiertas es elemento de T, tendría que demostrar que la intersección de E1, E2, ambos uniones arbitrarias de bolas abiertas, es también unión de bolas abiertas. Para esto los remito al post anterior: ahí está explicado que para demostrar esto habría que aplicar las leyes de de Morgan, de nuevo, la teoría de conjuntos (la intersección de las uniones arbitrarias de dos familias de conjuntos, es igual a la unión de la familia de conjuntos formados por todas las intersecciones de dos conjuntos, cada uno perteneciente a cada una de las dos familias iniciales).

Llego así a que T es una topología. Podemos ver entonces, que cada punto de un elemento E tiene una bola abierta contenida en E, por ser éste unión arbitraria de bolas abiertas:

Claro que un elemento no necesariamente es conexo: puede estar formado por unión "manchas abiertas" (sin frontera) separadas. Llamamos a ese conjunto inicial de bolas abiertas, la base de T. Tenemos que estudiar las propiedades y definición de base de una topología. Por ahora, ya tenemos algunos ejemplos de lo que es una base. Y de cómo con ella llegar a formar toda la topología.

Como curiosidad: si hubiéramos partido de "cuadrados abiertos" de un punto, en vez de bolas abiertas, hubiéramos llegado a la misma topología.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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