Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Junio, 2012, 7:27

En el post

Ejemplo de Anillos Conmutativos

Mostré algunos ejemplos de anillos conmutativos. Hay un ejemplo importante a tratar, el anillo de polinomios formales con coeficientes en el cuerpo conmutativo K. Se llama K[x].

Son polinomios formales porque no le asignamos ningún valor a la x, no es un número en concreto. Sólo los manipulamos formalmente. Los coeficientes del polinomio:

Se toman del cuerpo K. Van a ver que muchas veces K es el cuerpo R de los reales, o el cuerpo C de los números complejos. Para que K[x] sea un anillo necesitamos una suma y un producto: tomamos la suma "natural" de los polinomios, y la multiplicación "natural" que conocemos del álgebra. Es difícil demostrar que esas operaciones cumplen con las condiciones de ser un anillo. El 0 de K es el polinomio neutro de la suma, y el 1 de K es el polinomio neutro de la multiplicación.

¿Habrá dos polinomios P(x) , Q(x) no nulos (no iguales a 0) tales que :

P(x) * Q(x) = 0

Es decir, ¿habrá divisores de cero no nulos en este anillo? Pues no, K es cuerpo y entonces, no tiene divisores de 0. El no tener divisores de cero es una de las propiedades que se deduce desde que se sabe que todo elemento de un cuerpo distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Recordemos que en cada elemento de un cuerpo (conmutativo o no), tiene inverso multiplicativo si es distinto de cero:

Si  y es distinto de cero en:

Entonces multiplicamos a derecha por el inverso de y:

Pero el primer término es

Combinamos las dos, queda que x es cero. Es decir, cada vez que encontramos x * y = 0, uno de los dos, x o y (o ambos) deberá ser cero. Un cuerpo entonces no tiene divisores de cero.

Volvamos a los polinomios. Si P(x) tiene grado n (la mayor potencia de x que tiene), y Q(x) tiene grado m, será:


Con los primeros coeficientes distintos de cero. Entonces su producto comenzará por un término que no es cero:

Y ese primer coeficiente no puede ser 0, por ser K cuerpo (recordemos, no tiene divisores de cero).

Podemos llegar a lo mismo, si consideramos el anillo R[x] donde R es un anillo conmutativo. En este caso, para asegurar que no hay divisores de cero en R[x], podemos exigir que R no tenga divisores de cero.

El anillo K[x] se parece mucho al anillo Z de los enteros. Vimos que los enteros admiten un algoritmo de división de Euclides en el post

Máximo Común Divisor en el Anillo de Enteros

Lo mismo se puede obtener de dos polinomios cualesquiera:

Donde R(x) (el polinomio resto) tiene grado menor que Q(x). Para demostrar que cualesquiera P(x), Q(x) podemos llegar a un R(x) de grado menor a Q(x),  podemos recurrir al mismo procedimiento que Euclides aplicó a los enteros. La clave es que con el algoritmo de Euclides para llegar

A = BM + R

siempre buscábamos un número R menor a B. Ahora, con los polinomios en K[x], nosotros repetiríamos el algoritmo, pero buscando un polinomio R(x) de GRADO menor a Q(x). Esa es el punto: podemos aplicar ese "descenso" sobre el grado de los polinomios, de la misma forma que "descendíamos" por los enteros.

Veamos un ejemplo concreto. Sea

y

Se puede dividir P en Q, buscando multiplicar Q por un número del cuerpo tal que equipare al término de mayor grado de P, que es de grado 2. Ese número es 1.5 ya que 3 = 2 * 1.5, queda:

Vean que esta división, para conseguir un R(x) de menor grado que Q, NO HUBIERA FUNCIONADO en R[x], poniendo como R anillo conmutativo al anillo Z de los enteros. Curiosamente, entonces, K[x] con coeficientes que no son todos enteros (podemos tomar K = R reales, K = C complejos y otros más que veremos) es parecido a Z PORQUE LOS POLINOMIOS TIENEN GRADO.

Al tener la posibilidad de tener ese tipo de división, se puede aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar el Máximo Común Divisor de dos polinomios. Todo esto funcionó porque en este anillo K[x] encontramos una cualidad f(P), tal que si P y Q son polinomios distintos de 0, tenemos siempre un R tal que

P = QM + R con f(R)=0 o F(R) < f(Q)

Ya hemos visto que K[x] no tiene divisores de cero. A un anillo conmutativo así se lo llama dominio entero. Si un dominio entero tiene la propiedad f de arriba (en K[x] es el grado del polinomio; en Z es la identidad), se lo llama dominio euclideano, y siempre se puede calcular el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides.

Temas pendientes:

Demostrar que en todo dominio euclideano los ideales son principales (generados por un solo elemento)
Demostrar que en todo dominio euclideano cada elemento tiene factorización única
Mostrar ejemplo de anillo no conmutativo (ej. matrices cuadradas)
Mostrar ejemplo de cuerpo no conmutativo (ej. cuaterniones)

Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain
http://en.wikipedia.org/wiki/Long_division
http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain
http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_divisi%C3%B3n (cuerpo, conmutativo o no)
http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas) (como anillo en mis post, con existencia de neutro para la multiplicación, pero sin exigir que sea distinto de cero)
http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_unitario (donde se exige 1 neutro para la multiplicación pero <> 0)
http://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring (lo que es cuerpo (conmutativo o no) en mis post)
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas) (cuerpo conmutativo acá)
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics) (lo que es cuerpo conmutativo)
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_cuerpos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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