Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 24 de Junio, 2012, 16:33

Quiero ver hoy el resultado de una suma infinita

Para no manejar una suma infinita, puedo poner

Y preguntar a dónde llega P(n) al aumentar n. Podría tender a un resultado finito, o no. Por ejemplo

Es menor a 1, y podría demostrar que tiene como límite 1, que es una forma de decir: para n grande Q(n) se aproxima tanto a 1 como quiera. Para decirlo de nuevo: para cualquier e número pequeño, hay un m tal que 1-e < Q(n) < 1 para todo n >= m.

Pero no es el caso de P(n): para n grande, crece más que cualquier número dado. Para verlo, veamos:




….

Y así. Los términos de la derecha componen nuestra serie infinita inicial, siendo

O si quiero evitar la serie infinita, queda visto que

Queda que P(n) diverge, tal vez crece despacio, pero al final, termina siendo más grande que cualquier número determinado. Se la llama la serie armónica. Ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Temas pendientes:
Ver de tener una fórmula "explícita" para P(n)
Estudiar su relación con los números primos
Series con los inversos de n pero elevados a una potencia p

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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