Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Julio, 2012, 11:22

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Hoy quiero demostrar de otra forma que hay infinitos números primeros. Veamos primero el producto:

Donde p toma los valores de todos los números primos >= 2.  Llamémosle P1.

Si hay una cantidad finita de números primos, el producto de arriba es un producto finito. Cada término de ese producto, es la suma de los inversos de las potencias de un número primo. Esa suma tiene como límite:

Esto es así, pueden ver de multiplicar (1-p) por el término (1 + 1/p + ....) y les da como resultado 1. Entonces el producto de arriba tendrá un valor finito. PERO, si lo miramos con detenimiento CADA TERMINO de la serie armónica:

ESTA CONTENIDO en uno de los términos que resultan de la expansión de P1. Por ejemplo, el término

Resulta de multiplicar los términos de P1:

Y así todos los 1/n son expresables en algún término de expansión de P1. Queda

Serie armónica < P1

Pero hemos visto en el post Serie Armónica Divergente que esa serie no tiene valor finito, es una serie divergente. Entonces no puede ser menor que P1, un valor finito. Llegamos a contradicción: porque hemos supuesto que la cantidad de primos es finita. Entonces, por absurdo, demostramos que son infinitos.

Hay más para extraer de este resultado. Por ejemplo, Euler llegó a demostrar que:

La suma de los inversos de los números primos ES DIVERGENTE. Pero eso es ya tema para otro post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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