Angel "Java" Lopez en Blog

Agosto del 2012

Publicado el 31 de Agosto, 2012, 13:24

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Geometría es un tema que en este siglo me lo encuentro cada vez más, tanto relacionado con la teoría de grupos, como con teorías físicas. Una primera lista de los enlaces que he visitado. Vean en el fragmento de la Wikipedia, cómo con Descartes la geometría va fusionándose con el álgebra. Gran parte de la búsqueda de simetría en las teorías físicas, es una lucha por volver a lo geométrico, sin depender de sistema de coordenadas o marco de referencia. Visiten también lo que hay sobre el grupo E8.

Geometry (Ancient Greek: γεωμετρία; geo- "earth", -metron "measurement") is a branch of mathematics concerned with questions of shape, size, relative position of figures, and the properties of space. A mathematician who works in the field of geometry is called a geometer. Geometry arose independently in a number of early cultures as a body of practical knowledge concerning lengths, areas, and volumes, with elements of a formal mathematical science emerging in the West as early as Thales (6th Century BC). By the 3rd century BC geometry was put into an axiomatic form by Euclid, whose treatment—Euclidean geometry—set a standard for many centuries to follow.[1] Archimedes developed ingenious techniques for calculating areas and volumes, in many ways anticipating modern integral calculus. The field of astronomy, especially mapping the positions of the stars and planets on the celestial sphere and describing the relationship between movements of celestial bodies, served as an important source of geometric problems during the next one and a half millennia. Both geometry and astronomy were considered in the classical world to be part of the Quadrivium, a subset of the seven liberal arts considered essential for a free citizen to master.

The introduction of coordinates by René Descartes and the concurrent developments of algebra marked a new stage for geometry, since geometric figures, such as plane curves, could now be represented analytically, i.e., with functions and equations. This played a key role in the emergence of infinitesimal calculus in the 17th century. Furthermore, the theory of perspective showed that there is more to geometry than just the metric properties of figures: perspective is the origin ofprojective geometry. The subject of geometry was further enriched by the study of intrinsic structure of geometric objects that originated with Euler and Gauss and led to the creation of topology and differential geometry.

In Euclid's time there was no clear distinction between physical space and geometrical space. Since the 19th-century discovery of non-Euclidean geometry, the concept of space has undergone a radical transformation, and the question arose: which geometrical space best fits physical space? With the rise of formal mathematics in the 20th century, also 'space' (and 'point', 'line', 'plane') lost its intuitive contents, so today we have to distinguish between physical space, geometrical spaces (in which 'space', 'point' etc. still have their intuitive meaning) and abstract spaces. Contemporary geometry considers manifolds, spaces that are considerably more abstract than the familiar Euclidean space, which they only approximately resemble at small scales. These spaces may be endowed with additional structure, allowing one to speak about length. Modern geometry has multiple strong bonds with physics, exemplified by the ties between pseudo-Riemannian geometry and general relativity. One of the youngest physical theories, string theory, is also very geometric in flavour.

Geometric visual hallucinations

The Geomblog: Geometry @ Barriers

Geometric algorithms
The Universe of Discourse : A new proof that the square root of 2 is irrational

George W. Hart
Geometric sculptures and puzzles

The Museum of Mathematics

Triángulos disjuntos (Puzzle)

Touch Trigonometry

An introduction to the ancient and modern geometry of conics


Pappus chain

Physics intuitions: Forwards multiplying, backwards dividing

Physics intuitions: Morley triangle derived from the tripling of an angle

Physics intuitions: Archimedes angle trisection or tripling?

Angle trisection

Physics intuitions: Playing with angles

Albrecht Dürer"s ruler and compass constructions

functional language for computing with geometry

Manifolds « The Unapologetic Mathematician

Heron's Formula

La construccion del dodecaedro en los elementos de Euclides

Introduction to Clifford Algebra

Clifford Algebras
Cli ord Algebras, Cli ord Groups,
and a Generalization of the Quaternions:

The Pin and Spin Groups

AIM math: Representations of E8

Dirac belt trick

Three geometric theorems

What is E8?

Three geometric theorems « Division by Zero

A Geometric Theory Of Everything

A Geometric Theory of Everything: Scientific American

A Geometric Theory of Everything « Not Even Wrong

E8 (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia

Cayley graphs and the geometry of groups « What"s new

On growth and form : Thompson, D'Arcy Wentworth, 1860-1948

The Geometry of the MRB constant

La línea de Simson | Gaussianos

Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café

Reflections and Rotations

Trigonometric functions and rational multiples of pi

Finding Haystacks (and Similar Structures) in Geometry

Los centros del triangulo: el punto de Lemoine

A Geometric Paradox | Futility Closet

Physics intuitions: Alternative Pythagorean quadruples and other extensions to Pythagoras theorem

Physics intuitions: A Pythagorean relation for any triangle?

Los centros del triángulo: el centro de la circunferencia de los nueve puntos | Gaussianos

Physics intuitions: Lost theorem about angular proportions

Variations on dividing circular area into equal parts

Bill Kerr: 40 maths shapes challenges

Free mathematics software for learning and teaching

Quantum mechanics and geometry

Rhombus tilings and an over-constrained recurrence

Historia de la Geometria

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 29 de Agosto, 2012, 11:20

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Sigo traduciendo la entrevista a Edward Witten, esta vez con menos comentarios porque ya gran parte de mi postura quedó expresada en el primer post. Siguiendo con la respuesta de Witten:

Witten: Dispersando la partícula en una cuerda es un paso haca la dirección de hacer borroso todo lo que nos es familiar. Entramos en un mundo completamente nuevo donde las cosas no son lo que solían ser. Es tan sorprendente cómo la borrosidad ha entrado en física gracias a la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg.

NOVA: Leyendo sobre teoría de cuerdas y hablando con la gente sobre física en general, escuchamos mucho sobre que la teoría de cuerdas es hermosa, pero ¿qué significa eso? ¿cuál es la belleza que tiene?

Witten: Aún antes de la teoría de cuerdas, especialmente en la física desarrollada en el siglo 20, apareció que las ecuaciones que realmente funcionan al describir la naturaleza con la mayor generalidad y la mayor simplicidad son muy elegantes y sutiles. Es la clase de belleza que puede ser difícil de explicar a una persona con un diferente camino de vida, que no se haya involucrado de forma profesional con la ciencia o la matemática. Pero la belleza de las ecuaciones de Einstein, por ejemplo, es tan real a cualquiera que la haya experimentado como real es la belleza de la música. Hemos aprendido en el siglo 20 que las ecuaciones que funcionan tienen una armonía interna.

Ahora, debe haber escépticos ahí afuera que nos dirán que todas esas bellas ecuaciones puede que no tengan nada que ver con la naturaleza. Eso es posible, pero es misterioso que ellas sean tan bellas y que capturen tanto de lo que ya sabemos sobre física mientras arrojan tanta luz sobre teorías que ya tenemos.

Hay que estar advertidos del "canto de las sirenas" que es el criterio de belleza. Especialmente cuando estamos en una teoría como la de cuerdas que, si bien explica lo conocido, no ha podido dar algo nuevo con lo que ponerla a prueba.

NOVA: ¿Puede dar un ejemplo de algo concreto que la teoría de cuerdas nos haya dado en física que haya ido más allá de las anteriores teorías?

Witten: En la relatividad general de Einstein la estructura del espacio cambia pero no su topología. La topología es la propiedad de algo que no cambia cuando lo doblamos o estiramos mientras que no rompamos nada. Podemos imaginar una bola de boliche e imaginar una taza de café con un asa: la taza de café es diferente topológicamente porque tiene un asa. Aún cuando podamos doblarla o estirarla, mientras no rompamos nada, la taza seguirá teniendo un asa, lo que la hace topológicamente diferente de una bola de boliche.

Hay una larga historia de especulación en gravedad cuántica, pues al contrario de en la teoría clásica de Einstein, es posible que la topología del espaciotiempo cambie. Y fue con la teoría de cuerdas de finales de los ochenta y comienzos de los noventas que pudimos calcular ejemplos donde podríamos realmente ver cambios en la topología del espacio tiempo. Fue divertido porque fue bastante concreto -podíamos entenderlo bastante bien. Y es un ejemplo de cómo la teoría fue más allá de la relatividad general de Einstein de una manera interesante y concreta.

Vean cómo en la física moderna se toma en cuenta la topología. Con lo que comenté en el anterior post, bien podría ser que haya muchos modelos borrosos que consigan explicar lo que trata de abordar la teoría de cuerdas.

NOVA: ¿Cómo puede la teoría de cuerdas permitirnos cambiar la topología del espaciotiempo?

Witten: La mecánica cuántica nos trajo una inesperada borrosidad en física debida a la incertidumbre cuántica, el principio de incertidumbre de Heisenberg. La teoría de cuerdas lo hizo de nuevo porque una partícula puntual ahora es reemplazada por una cuerda, que es algo que se esparce. Y aún cuando es una afirmación simple, esto nos lleva en la dirección correcta: cuando más estudiamos el tema, encontramos que en la teoría de cuerdas, el propio espaciotiempo se vuelve borroso.

Así que imaginemos ahora que tenemos esta taza de café. Si el asa es lo suficientemente grando, la podemos ver ahí. Pero si tenemos un asa muy pequeña, debido a la borrosidad del espacio no podremos ver si está o no está ahí. Entonces, desaparecería. Esa borrosidad del esapciotiempo nos lleva a la posibilidad de que la topología pueda cambiar.

O al tema que tenemos que abandonar topología como la conocemos. Seguiré con la entrevista en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Agosto, 2012, 14:02

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Ya escribí varios posts sobre teoría de grupos (ver por ejemplo Simetrías del Cuadrado, Teoría de Galois, Motivaciones para Teoría de Grupos). Venga hoy una primera colección de enlaces sobre este tema que me interesa desde hace más de treinta años.

In mathematics and abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have strongly influenced many parts of algebra. Linear algebraic groups and Lie groups are two branches of group theory that have experienced tremendous advances and have become subject areas in their own right.

Various physical systems, such as crystals and the hydrogen atom, can be modelled by symmetry groups. Thus group theory and the closely related representation theory have many applications in physics and chemistry.

One of the most important mathematical achievements of the 20th century[1] was the collaborative effort, taking up more than 10,000 journal pages and mostly published between 1960 and 1980, that culminated in a complete classification of finite simple groups.

Algebra Representations

Representation Theory II

Group Representations

Lie groups, Lie algebras, and representations

Lie groups in nature

Reading seminar 6: "Stable group theory and approximate subgroups", by Ehud Hrushovski

GAP - Groups, Algorithms, Programming -
a System for Computational Discrete Algebra
GAP is a system for computational discrete algebra, with particular emphasis on Computational Group Theory. GAP provides a programming language, a library of thousands of functions implementing algebraic algorithms written in the GAP language as well as large data libraries of algebraic objects.

Open question: noncommutative Freiman theorem

An elementary non-commutative Freiman theorem

Why do Groups and Abelian Groups feel so different?

Group Theory

The development of group theory

Nilpotent group

History of group theory

Carter subgroup

Centralizer and normalizer

Como armar el cubo de Rubik en segundos


First Group Isomorphism Theorem

How Mathematicians Study Symmetry

Group Theory - J.S. Milne

Groups Theory Books

How to write down the representations of GL_n

Finite Group Theory

Group Theory

ATLAS of Finite Group Representations


Group Theory and Generalizations

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Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 27 de Agosto, 2012, 15:06

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Ayer domingo fue el cumpleaños de Edward Witten (me enteré gracias a un tweet de @materion). Encuentro hoy una entrevista a Witten, que quiero traducir (al menos en parte) y comentar. El original en:

Viewpoints on String Theory, Edward Witten

en el sitio The Elegant Universe, dentro del sitio Nova.


NOVA: ¿Qué es la teoría de cuerdas?

Witten: La teoría de cuerdas es un intento de descripción más profunda de la naturaleza pensando que una partícula elemental no es un pequeño punto sino un pequeño lazo de una cuerda vibrante. Una de las cosas básicas acerca de una cuerda es que puede vibrar en muchas diferentes formas, lo que le da a la músucia su belleza. Si escuchamos un diapasón, suena algo áspero al oído humano. Y es porque escucha un tono puro en lugar de los sobretonos altos que se obtienen de un piano o de un violín, que le dan a la música su riqueza y su música.

Así que en el caso de estas cuerdas se puede oscilar de muchas diferentes formas -en analogía a los sobretonos de una cuerda de piano. Y esas diferentes formas de vibración son interpretadas como diferentes partículas elementales: quarks, electrones, fotones. Todas son diferentes formas de vibración de la misma cuerda básica. La unidad de las diferentes fuerzas y partículas se consigue porque todas provienen de diferentes vibraciones de la misma cuerda básica. En el caso de la teoría de cuerdas, con nuestro presente conocimiento, no habría nada más básico que una cuerda.

Bien, hay que recordar que lo que da la teoría de cuerdas es un modelo matemático, diciendo algo como: "hay algo ahí 'abajo' que funciona como una cuerda", de la misma forma que cuando Planck explicó el espectro del cuerpo negro apeló a "resonadores".

NOVA: ¿Por qué algo tan simple como reemplazar puntos por cuerdas hace tanta diferencia?

Witten: Es algo sorprendente que reemplazando la partícula elemental por una cuerda nos lleva a un gran cambio. Estoy tentado a decir que tiene que ver con la borrosidad ('fuzziness') que introduce. De esa forma la partícula se esparce. Pero entonces todo en el espaciotiempo está algo esparcido, está difuso. Uno tiene que comenzar a hacer algunos cálculos para verlo realmente así. Es difícil de explicar en palabras o haciendo dibujos.

Como escribí en El horror al infinito tenemos una gran pista: en la naturaleza no se da lo infinito. Y recordemos a Pascal (Pascal y lo infinitamente pequeño): hay dos infinitos, y uno es lo infinitamente pequeño. Tampoco parece que se de en la naturaleza. Y éste puede ser la clave del éxito de la teoría de cuerdas: modela elementos "extendidos" que no son puntuales. Bien podría ser que cualquier otra teoría que siga el mismo camino, y que en vez de cuerdas use otro modelo no puntual, pueda tener el mismo o mayor éxito. Lo que ha pasado, es que los modelos de cuerdas se han revelado exquisitamente armados, y de ahí el impulso a su estudio matemático (Witten es ganador de la medalla Field, "el Nobel" de matemáticas). Pero ¿serán las cuerdas el camino? ¿O son sólo una representación aproximada, que puede ser reemplazada con ventaja por algún otro modelo no puntual?

Hubo un tiempo en el que se esperaba que la teoría de cuerdas explicara unos cuantos parámetros del modelo estándar que deben ser "puestos a mano". Se tenía la esperanza que hubiera una única solución a sus valores. Al parecer, no es así. Vean cómo Leonard Susskind y otros propusieron entonces el "paisaje cósmico" ver String Theory Landscape: podría haber distintas configuraciones, todas satisfechas dentro de una teoría de cuerdas. Yo lo podría ver como un indicio de que la teoría de cuerdas es sólo andamiaje matemático, que no da una solución a cómo es el universo, sino que permite modelarlo al evitar lo puntual, o lo que es casi lo mismo, al evitar lo infinitamente pequeño. Puede que estemos en el mismo escalón en que estaba Planck en 1900: tenemos una fórmula, tenemos un modelo (con h > 0) pero nos falta mucho para llegar a una teoría final.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 26 de Agosto, 2012, 7:50

Quisiera hoy explicar este término, ideología, como yo lo entiendo en este post. Mencioné una definición de otros en Ideología y Ciencia. Veamos hoy la mía.

Es común, en todos, pensar y afirmar algunas proposiciones como:

Los empresarios no se preocupan de los obreras y sólo persiguen la ganancia
El individuo debe protegerse del Estado
La vida humana es sagrada
La mujer tiene derecho a decidir sobre su cuerpo, incluido el feto

He escrito en Posturas y Opiniones la diferencia que planteo entre ambas: una postura es algo meditado, soportado por un estudio del caso, la existencia de argumentos, y el marcado claro de los puntos de partida. He descripto en Bases para una discusión sobre puntos de partida y argumentos. No todo lo que afirmamos se puede justificar con un argumento. Llega un momento que no debemos tener algún punto de partida, como le pasó a Euclides y sus axiomas.

¿Son las proposiciones de arriba puntos de partida, o están soportadas por argumentos? Depende de cada persona. Puede que sí, pero también puede que para la persona que afirma alguna de ellas, sea algo natural, que simplemente forma parte de su visión del mundo, parte de su cosmovisión, parte entonces, de su ideología. Para mí, ideología es esa visión del mundo que no hemos meditado, que encontramos natural, sobre la que no nos esforzamos en encontrar argumento o declarar como punto de partida luego de haberle dado vueltas al asunto. Simplemente, la afirmamos, por nuestra historia y contexto. Puede que nos venga de la infancia, de lo que sostenía nuestro ambiente familiar, o por lo que absorvimos sin mayor crítica en nuestra adolescencia, o parte de lo que en la sociedad en la que nos movemos se toma como natural y dado. Puede que mucho de la ideología de alguien caiga en lo "políticamente correcto". También puede que caiga en la reacción a eso.

Todos tenemos, entonces, este tipo de ideología: afirmaciones que no tiene argumento detrás (o sólo un argumento débil, como para justificar si alguien nos pregunta, lo que afirmábamos aún antes de tener un argumento), y que no es un punto de partida meditado (tipo, "sí, luego de años de pensar sobre el tema, tengo que aceptar que esta afirmación no tiene argumento sino que lo tengo que tomar como punto de partida", Euclides diría, no tengo teorema, la tengo que tomar como axioma). Y es fácil entender por qué tenemos ideología: dos grandes motivos, la vamos absorviendo mientras vamos creciendo, y luego, no siempre tenemos el tiempo, el deseo, o la inclinación de un Descartes, para ponerla en duda, en colocarla en "la fragua", examinarla y revisarla, para ver qué tiene de sustentable, y qué tiene de simple opinión generalizada dentro de un grupo (vean que no considero la ideología como la cosmovisión de la clase dominante, puede que haya varios grupos en la sociedad, cada uno con su ideología, no necesariamente disjuntas). Y bien puede que la ideología sea tan pervasiva que sea difícil pensar sobre ella, y criticarla (tomando a "crítica" como "examen" no como discurso "destructivo").

Así que tenemos que aceptar que las ideologías existen, y convivir con las nuestras y las de todos. Pero el problema es cuando las ideologías de cada uno influyen en lo que se va formando como sociedad, desde el gobierno o desde otras instituciones, o simplemente, desde la mayoría de la sociedad que obliga a aceptar y actuar a la minoría según su propia ideología. Cuando algo que no es una postura, sino una ideología, llega a tener tanta influencia sobre la vida de las personas, de los miembros de una sociedad, pienso que es demasiado, y hay que hacer el esfuerzo, no de rechazar, sino de exigir a todos, incluidos cada uno de nosotros, a meditar, plantear, revisar y pasar en limpio la ideología. Y todo esto, para que se consigan al final de ese proceso, posturas, que es lo que veo que se puede debatir o comparar. Cualquier discusión que tenga como base ideologías, sólo será una pelea de gatos.

Alguien me dirá: pero, pasando a posturas, llegamos a tener puntos de partida y argumentos sobre esos puntos de partida. ¿No habremos entonces pasado el problema de las afirmaciones ideológicas al problema de puntos de partida? Pues pienso que sí, pero tengo la esperanza que ese tipo de corriemiento, de cambio, posibilita que veamos más claramente cuáles son posiciones de cada uno. No creo que resuelva un debate. Pero sirve para que cada miembro de la sociedad tenga más claro qué es lo que se pone en juego. Una ideología es, en general, tan naturalizada, que no tiene discusión entre los que la aceptan, y ellos tampoco aceptan que los demás la discutan. Una postura abre el juego a la crítica interna y externa.

Escribí hace tiempo La casita de Descartes. Tal vez es tiempo de que cada uno emprenda ese camino "Vamos por la vida, siempre en una casita. Solamente pido construirla concienzudamente, dentro de lo posible, habiendo elegido cada ladrillo y pilar. Debemos estar "aware", advertidos, de cuáles son las apuestas, pilares, puntos de partida  que usamos, y revisarlos cada tantos años. Pero una vez elegidos, seguir usándolos con firmeza."

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 25 de Agosto, 2012, 11:26

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Luego de teoría de grupos, topología debe haber sido el primer tema "serio" que encontré en mi estudio de las matemáticas. Llegué a ella seguramente en los ochenta, y a la rama de topología general primero, y topología algebraica después. Estoy escribiendo sobre la primera en mi serie de posts.

Leo en la Wikipedia:

Topology (from the Greek τόπος, "place", and λόγος, "study") is a major area of mathematicsconcerned with properties that are preserved under continuous deformations of objects, such as deformations that involve stretching, but no tearing or gluing, although the notion of stretching employed in mathematics is not quite the everyday notion: see below and the definition of homeomorphism for details of the mathematical notion. Topology emerged through the development of concepts fromgeometry and set theory, such as space, dimension, and transformation.

Ideas that are now classified as topological were expressed as early as 1736. Toward the end of the 19th century, a distinct discipline developed, which was referred to in Latin as the geometria situs("geometry of place") or analysis situs (Greek-Latin for "picking apart of place"). This later acquired the modern name of topology. By the middle of the 20th century, topology had become an important area of study within mathematics.

Vengo hoy esta primera entrega de enlaces:

Fürstenberg's proof of the infinitude of primes
On Furstenberg"s Proof of the Infinitude of Primes

The Birkhoff-Kakutani theorem

Physics - Weyl electrons kiss
Topology, the mathematical description of the robustness of form, appears throughout physics, and provides strong constraints on many physical systems.

Milnor wins 2011 Abel Prize « Gowers's Weblog

YouTube - Cutting a Bagel

Mathematically Correct Breakfast -- Mobius Sliced Linked Bagel

Manifolds « The Unapologetic Mathematician

Actualización de Entanglement, juego de cuerdas y nudos | Gaussianos

Nathaniel Johnston » The Maximum Score in the Game "Entanglement" is 9080

El Topo Lógico: El Omegón y todo eso... (Parte 18)

Los topólogos predicen una nueva forma de la materia

Doodling in Math Class

Topology and Electromagnetism

I Hate Math! (Not After This, You Won't) : Krulwich Wonders… : NPR

Physics of a Parallel Universe "Exerting a Ghostly Grip on Our Universe"

Hilorama de E8 « Juegos topológicos

A Concise Course in Algebraic Topology

Mike on Topological Quantum Computing, at Georgia

Icosien | GEEKY juegos

Motive-ating the Weil Conjecture Proof
Algebraic topology, cohomology theories, and my idol, Grothendieck
"Leverage the level of abstraction" with steroids ;-)
Inside Grothendieck mind:

Mathematical Problem Solved After More Than 50 Years: Chern Numbers Of Algebraic Varieties

Poincaré Project
Working through the mathematics required to understand the Poincaré Conjecture and the possible solution recently proposed.

The Poincaré Conjecture

on Topology

What is computational topology ?

Nonstandard analogues of energy and density increment arguments

Convexity Using Metric Balls « on Topology

The Topology of Higher-Dimensional Real Spaces « The Unapologetic Mathematician

Solution of the Poincaré conjecture

Open problems in algebraic topology

Algebraic Topology and Distributed Computing
Mis posts:
Topología, Física y Solzhenitsyn
Motivado por este fragmento:
Vean que Solzhenitsyn estaba equivocado: la topología en física es hoy un tópico "caliente" en ciencia.
Poincaré y la topología
Felix Hausdorff por Laurence Young
Abstracción y Definición en Matemáticas

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 24 de Agosto, 2012, 7:53

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Veamos algo de la historia siguiente de la ecuación de Dirac, que quedó avalada con el descubrimiento del positrón:

La detección del positrón fue considerado por casi todo el mundo como una vindicación de la teoría de Dirac. Aún así, su idea básica, tomar un positrón como un agujero en un mar infinito de electrones negativos, siguió siendo rechazadas por algunos, y no sin razón.

En realidad, esa explicación sólo sirve para las antipartículas de fermiones, que obedecen al principio de exclusión de Pauli. Dejando de lado las interacciones entre estas partículas, el vacío tenía un 'punto cero de energía' negativo infinito, y un 'punto cero de carga' negativo. A Pauli esto no le gustaba. Aún cuando el positrón fue discubierto, escribió a Dirac: 'No creo en tu percepción de "agujeros" aún si se prueba la existencia del "anti-electrón"'. Sin embargo, eso no fue todo. Pauli escribe a Heisenberg un mes más tarde: 'No creo en la teoría de los agujeros, desde que me gustaría tener asimetrías entre la electricidad positiva y negativa en las leyes de la naturaleza (no me satisface mover la asimetría establecida empíricamente a uno de los estados iniciales)'.

La energía de punto cero y la carga son actualmente inocuos y pueden ser eliminados con una simple reformulación de la teoría. Sin embargo, aún despues de eso, la teoría está plagada de infinitos causados por interacciones. A hoy, la influencia de estas interacciones no puede ser tratada rigurosamente. Mas bien, uno usa el hecho de que la carga fundamental e es pequeña, más precisamente que el número sin dimensiones alfa = e^2 2 pi / h c es aproximadamente 1/137 [la llamada constante de estructura fina] es pequeño, y se expande en a [potencias de alfa, cada vez más chicas]. Para la potencia inicial de a, las predicciones teóricas estuvieron en excelente concordancia para los procesos como la dispersión de fotón-electrón, la creación y aniquilación de pares electrón-positrón, y otras más.  Sin embargo, siempre se da que las contribuciones a estos mismos procesos procedentes de las potencias altas de alfa son  infinitamente grandes. Uno se enfrenta a una crisis: cómo encarar una teoría que trabaja muy bien aproximadamente pero que no tiene rigurosamente sentido. Como Pauli expresó en 1936 durante un seminario dado en Princeton: 'El éxito parece estar del lado de Dirac en vez de la lógica'. O como Heisenberg escribión, en un carta a Pauli (1935):

Con respecto a la electrodinámica cuántica [vean el uso de este término] estamos aún en la etapa en la que estábamos en 1922 en mecánica cuántica. Conocemos que todo es erróneo. Pero, para encontrar la dirección que debemos tomar apartándonos de la que prevalece, debemos conocer las conocer las consecuencias del formalismo dominante mejor que ahora.

Heisenberg estaba, de hecho, del lado de la pequeño grupo de físicos teóricos que había tenido el coraje de explorar esos aspectos de la electrodinámica cuántica que todavía estaban en ese estado inciero, hasta los últimos años de los cuarenta, cuando la renormalización [procedimiento que permitió "evadir" los infinitos] proveía una más sistemática y existosa manera de manejar el problema. Los primeros pasos hacia la renormalizacón vienen de nuevo de Dirac. En agosto de 1933, él había escrito a Bohr:

Peirels y yo hemos estado examinando la cuestión del cambio en la distribución de los electrones de energía negativa producidos por un campo eléctrico estático. Encontramos que esta distribución cambiada causa una neutralización parcial de la carga producida por el campo... Si dejamos de lado la perturbación que el campo produce en los electrones de energía negativa con energía menor que -137mc^2, entonces la neutralización de la carga producida por los otros electrones de energía negativa es pequeña y del orden 136/137... Las cargas efectivas son las que medimos en todos los experimentos de baja energía, y el valor experimentalmente determinado de e debe ser la carga efectiva de un electrón, siendo su real valor algo más grande... Uno esperaría algunas pequeñas alteraciones en la fórmula de dispersión de Rutherford, en la fórmula de Klein-Nishina, la fórmula de Sommerfeld para la estructura fina, etc... cuando las energías del orden de mc^2 entren en juego.

Traduciendo a lenguaje moderno, la carga efectiva de Dirac es nuestra carga física; su carga real es nuestra carga desnuda; su neutralización de la carga es nuestra renormalización de carca; y su perturbación, producida por los electrones de energía negativa, es nuestra polarización del vacío.

En forma cuantitaiva, los resultados que Dirac le había mencionado a Bohr se encuentran en su reporte a la séptima conferencia Solvay (octubre de 1933), el "paper" que marka el comienzo de la teoría del positrón como una disciplina seria. Ahí, Dirac también da una contribución finita a la polarización del vacío el cual, en 1935, fue evaluado por Uehling para un electrón moviéndose en un átomo como el de hidrógeno, un resultado que, a su vez, proveyó el estímulo directo para los celebrados experimentos de Lamb en 1946 [vean que unos cuantos años después].

Con el reporte Solvay de Dirac su exquisita ráfaga de creatividad en las fronteras exteriores de la física, que abarcó ocho años, llega a un final.

Veremos en los próximos post, otros trabajos, menos conocidos, de Dirac en ese período y en sus años posteriores.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Agosto, 2012, 17:03

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Más enlaces de temas matemáticos diversos, hay de todo como en botica ;-)

Maxwell"s Equations in Differential Forms

Minkowski Space

The Meaning of the Speed of Light

The Faraday Field

A Continued Rant on Electromagnetism Texts and the Pedagogy of Science

Reader Survey: log|x| + C

Is Summation Notation Ambiguous?

General Antiderivatives

20 Things You Didn't Know About... Math

Some ingredients in Szemerédi"s proof of Szemerédi"s theorem

The proof is trivial!

Functional analysis

Pierre-Simon Laplace

Java Interactive Mathematical Handwriting Recognizer

Continued fractions, Bohr sets, and the Littlewood conjecture

Curso sobre el Teorema de Gödel

Capital asset pricing model

Kaggle is an arena where you can match your data science skills against a global cadre of experts in statistics, mathematics, and machine learning.

School for quants

55+ Simply Stunning Fractal Artworks

Emmy Noether and The Fabric of Reality


The Life of Leonhard Euler

Napier's Bones - Jane Wess

Calculating Combinations the Erlang Way

Generate permutations iteratively without recursion or stack with Ruby/Erlang

Algorithm for finding numerical permutation given lexicographic index

Write a program which generates the all permutations of n different objects

Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm


El desarrollo más bello de Pi como suma infinita

Siete ecuaciones que gobiernan el mundo

Evgeny Evgenievich Slutsky

Olimpiada Matemática "THALES": 2º ESO y 6º Primaria

Axel Thue

Mis Enlaces

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 21 de Agosto, 2012, 6:50

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Quisiera repasar algunos puntos de lo que escribí en el anterior post, para destacar alguna característica de lo que presenté en el post anterior. Hasta ahora, consideré partículas materiales, no cuerpos rígidos. Y  sólo me detuve en un usar y describir una sola partícula. La principal fórmula presentada fue:

F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula en consideración, y p es su vector momento lineal (que tiene posición, "longitud" y dirección en el espacio). Es una ecuación diferencial en el tiempo. ¿Qué significa esto? Que dado algunos datos, en este caso las fuerzas existentes y el estado ACTUAL de la partícula, podemos ir conociendo qué pasa, cómo evoluciona esa partícula en el tiempo futuro (y notablemente, en el pasado también) SIEMPRE que conozcamos las fuerzas en cada instante t. De la partícula SOLAMENTE necesitas ese vector p.

En esa ecuación no aparece m, la masa. Puse en algún momento

para reflejar una de las definiciones de Newton: a mayor masa, igual velocidad, tenemos mayor momento lineal. Si dos partículas a y b tienen la misma velocidad, en intensidad y dirección, pero b tiene el doble de masa de a, entonces decimos que b tiene el doble de momento lineal.  Por ahora todo esto es claro, pero quisiera advertir: el concepto que parece más fundamental es el momento lineal, porque la masa, aún contra lo que seguramente pensaba Newton, varía cuando llegamos a velocidades relativísticas, velocidades que no son ínfimas con relación a la velocidad de la luz. Así que no debemos olvidar eso: p es lo fundamental, ahora en mecánica clásica, y también cuando consideremos mecánica relativista.
Entonces, ¿qué es la masa? Podemos verla como una constante de proporcionalidad, entre la fuerza existente, y el cambio en la velocidad resultante (lo llamamos aceleración). Ante la misma fuerza, la partícula B al tener el doble de masa que la partícula A, verá alterada su aceleración en la mitad de la aceleración ganada por A. Si quieren verlo, la masa es una medida de la resistencia al cambio de velocidad que tiene la partícula, ante las fuerzas que puedan ejercerse sobre ella. Ante la misma fuerza, A y B cambian su momento DE LA MISMA forma, sólo que al tener distinta masa, tendrán distinta aceleración.

Veamos de aplicar esa ecuación de movimiento a un caso simple: una partícula en un espacio unidimensional. Entonces:

Si conocemos la fuerza que se ejerce sobre la partícula, hay que resolver una ecuación diferencial de segundo orden: hay una derivada segunda de x respecto del tiempo. Tenemos que resolver:

Si pasamos la masa a la izquierda, tenemos lo que llamamos aceleración:

Integrando una vez en dt:

Como pasa al integrar, el resultado tiene una constante nueva, b, no determinada aún. Integramos de nuevo:

Así conseguimos expresar x en función del tiempo. Las dos constantes que aparecen se pueden asociar a las condiciones iniciales, en el tiempo 0 inicial. La constante c es la posición inicial de la partícula, y la constante b es su velocidad inicial. Todo esto lo conseguimos gracias a la segunda ley de Newton. Conocidas a (aceleración = fuerza constante / masa constante), b (velocidad inicial = dt/dx), c (posición inicial), podemos conocer la historia futura (y hasta pasada) de la partícula. Ese es el poder de la propuesta newtoniana. Si tuviéramos que trabajar en dos o tres dimensiones, sería similar. En vez de partir de px (la componente del momento lineal sobre el eje x), partiríamos del vector momento p, y tendríamos 3 ecuaciones diferenciales (o una ecuación diferencial vectorial):

Acá aparece algo nuevo, que ya Galileo mostró: la fuerza ejercida en el sentido x, es independiente de la fuerza ejercida en el sentido y, y lo mismo con el sentido z. Pero ésta división se hace cuando tenemos un sistema de coordenadas fijado al marco de referencia. No hay que olvidar que esa elección no es necesaria: la ley de Newton se expresa y es válida en forma vectorial, independientemente del sistema de coordenadas. Lo que importa es que se cumpla en el marco de referencia. Luego, en ese marco de referencia (nuestro laboratorio, por ejemplo), podemos elegir el sistema de coordenadas que queramos.
Tenemos que estudiar qué pasa cuando hay más de una partícula (cómo "funciona" un sistema de partículas), y encontrar otros ejemplos más complicados, donde las fuerzas ejercidas varían en el tiempo y en el espacio. Hay que ver qué hizo Galileo para tener marcos de referencia equivalentes. Para los que conocen algo de relatividad especial, se ve en las fórmulas de arriba que hay algo asimétrico: el tiempo se maneja de manera diferente a las demás coordenadas. Desde Newton, se ha tomado al tiempo como la variable independiente, la que "domina" la evolución del movimiento, siendo las variables espaciales una "consecuencia" del paso del tiempo. Pasaron algunos siglos e hizo falta el genio de Einstein para reconocer que la naturaleza no es tan sencilla, aunque ya en tiempos de Newton, el concepto de espacio y tiempo absoluto tuvo sus críticos, como el obispo Berkeley y Leibniz.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Agosto, 2012, 7:04

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Veamos otros ejemplos de espacios vectoriales. Ya definí lo que es un espacio vectorial en el primer post de esta serie. Es una estructura matemática que ha tenido una gran historia en relación con la física, pero también tiene interés propio, por su amplia aplicación en ámbitos abstractos. Si bien en física nos acostumbrabos a ver vectores en el plano o en el espacio, ya vimos en el anterior post que los espacios vectoriales pueden "ir más allá" de esas dimensiones. En breve llegaremos a la definición de dimensión de espacio vectorial, pero puedo adelantar que hay algunos que tienen dimensión infinita, como el K[x] de los polinomios formales con coeficientes en el cuerpo conmutativo K con indeterminada x.

Sea E un conjunto no vacío, y sean las funciones f que van de E al cuerpo conmutativo K. Es un espacio vectorial, si podemos definir la suma de dos de esas funciones, la multiplicación por un escalar k, y las reglas que pedimos en el primer post. Dadas f y g, definamos la suma (f+g) como la función que dado x elemento de K nos da (escribiré de ahora en más a f y g con negrita, para resaltar que los consideramos vectores):

(f+g)(x) = f(x) + g(x) para todo x de E

Y dado un elemento k del cuerpo K, definimos kf como la función:

(kf)(x) = kf(x) para todo x de E

No es difícil ver que las funciones son los vectores de este nuevo ejemplo de espacio vectorial. Por ejemplo, el vector 0 es la función que a todo elemento de E le asigna el 0 de K:

0(x) = 0k

Dado el vector/función f su inverso es -f tal que

(-f)(x) = -f(x)

donde el segundo - (menos) es el menos de K.

Se cumple la distribución con elementos k,l de K:

((k+l)f)(x) = (k+l)f(x) = kf(x) + lf(x) = (kf)(x) + (lf)(x)

Y la distribución de un escalar con funciones f, g:

(k(f+g))(x) = k((f+x)(x)) = k(f(x) + g(x)) = kf(x) + kg(x) = (kf + kg)(x)

En estos pasos, enunciados rápidamente, se sigue la estrategia: expandir lo definido por su definición, pasando a operar con elementos de K, y dado que en el cuerpo existe la distributividad de suma y producto, se puede seguir hasta llegar a la conclusión. Es un caso interesante: tenemos la suma definida para funciones f, g, pero en su definición PASAMOS a usar la suma definida para elementos de K. Se nota la importancia de que las funciones tengan como destino K, siendo E prácticamente cualquier conjunto. Esto permite reflejar, si puedo decir, gran parte de la estructura de K en las funciones E->K, convirtiéndolas en vectores de un espacio vectorial.

Este espacio vectorial se llama EK.

Si tomamos E = {1,2,3,....,m} las f son las aplicaciones de los primeros m números naturales a algún k. Tenemos el espacio vectorial que en el anterior post llamé Kn.

Si tomamos E = N = {1, 2, 3, .... } todos los números naturales, tenemos las series infinitas de elementos de K, que también entonces son vectores. Las llamamos KN.

Si tomamos E = todos los pares (i,j) con 1 <= i <= n,  1 <= j <= m, tenemos las matrices Knxm. Y con lo mostrado arriba, resultan que también son vectores de ese espacio vectorial.

Agrego un ejemplo más. Sea E el conjunto de números reales [0,1] (el intervalo cerrado que va desde 0 al 1). Sea K los números complejos C. En vez de tomar todas las funciones [0,1] -> C, tomamos sólo las continuas. Es también un espacio vectorial. Lo puedo llamar C([0,1]). Podría extender esto a conjuntos compactos en espacios topológicos en vez de simplemente el intervalor cerrado [0,1]. Pero queda para más adelante, como así también la definición de continuidad de esas funciones generales.

En resumen, tenemos vectores más allá de la noción intuitiva de segmento orientado en el plano o en el espacio comunes. Los matemáticos (y los físicos) han hallado fructífero esta ampliación del concepto de vector, viendo que las propiedades/axiomas de espacio vectorial son las importantes para caracterizar mucho de lo que se quiere usar de un espacio vectorial. Dos cosas que quedaron fuera: no tenemos una noción de longitud de vector, ni tampoco de "ángulo" entre vectores, como en los vectores geométricos. Ya llegaremos a esos temas. Pero antes, en el próximo post, encararemos el tema de ver si dentro de un espacio vectorial hay otros espacios vectoriales. Es otra estrategia de los matemáticos: tratar de encontrar subestructuras en las estructuras que consideran, para poder caracterizar más a éstas. Vimos un ejemplo cuando vimos grupos y subgrupos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 19 de Agosto, 2012, 12:01

Un año antes de su muerte, Einstein envía una carta a Eric B. Gutkind, fechada el 3 de Enero de 1954. Gutkind le había enviado su libro "Choose Life: The Biblical Call to Revolt" a Einstein. En la carta, Einstein le comenta:

... He leído en detalle su libro en los últimos días, y quiero agradecerle por habérmelo enviado. Lo que especialmente me impresionó es ésto. Con respecto a la actitud factual ante la vida y a la comunidad humana tenemos mucho en común...

... La palabra "Dios" es para mí nada más que una expresión y un producto de la debilidad humana, siendo la Biblia una colección de honorables pero primitivas leyendas que son simplemente infantiles. Ninguna interpretación, no importa lo sutil que fuera, me hará cambiar en esto. Esas sutiles interpretaciones son ampliamente variables según su naturaleza y tienen poco o nada que ver con el texto original. Para mí la religión judía y otras religiones son la encarnación de las más infantiles supersticiones. Y el pueblo judío al que pertenezco y con el cual tengo una profunda afinidad, no tiene ninguna cualidad que los diferencie de otros pueblos y gentes. Según mi experiencia, no son mejores que otros grupos humanos, aunque están protegidos del mayor de los cánceres al carecer de poder. De ninguna manera puedo ver algo "elegido" para ellos.

En general encuentro doloroso que Ud. clame por una posición privilegiada y trate de defenderla con dos paredes de orgullo, una como hombre y otra como judío. Como hombre defiende una dispensación de la causalidad, en otros ámbitos aceptada, como judío defiende el privilegio del monoteísmo. Pero una causalidad limitada no es más causalidad, como nuestro Spinoza reconoció con incisión, probablemente fue el primero que lo hizo. Y las interpretaciones animistas de las religiones de la naturaleza son en principio no anuladas por monopolización. Con tales paredes uno solo puede conseguir un cierto auto-engaño, pero nuestros esfuerzos morales no son promovidos por ellas. Al contrario.

Ahora que he abiertamente declarado nuestras diferencias en convicciones intelectuales está claro para mí que seguimos concordando en cosas esenciales, por ejemplo, en nuestras evaluaciones de conducta humana. Lo que nos separa son solamente 'racionalizaciones' intelectuales, en el lenguaje de Freud. Entonces pienso que nos podríamos entender uno al otro bastante bien si hablamos de cosas concretas.

Encuentro el texto en inglés citado en el post de la fundación Richard Dawkins. Habrá que revisar la autenticidad de la carta, que se dice ahí que se puso en subasta hace unos años. Pero lo principal a rescatar es el pensamiento de Einstein sobre la palabra "Dios" como algo muy humano, así como las religiones. O por lo menos, notar que no siempre se puede leer a Einstein cuando menciona a "God" como si fuera un místico religioso, o aún sólo un místico. Como pone ese post:

Religious apologists cannot entirely be blamed for claiming Albert Einstein as one of their own. He was fond of quoting "God" as a poetic metaphor, in rather irresponsible fashion although, to be fair in turn to Einstein, he couldn't have anticipated the extent of today's dishonest quote-mining.

Muchas veces, al citar a alguien, uno trata de "traer agua para su molino". No quisiera yo también caer en eso, pero me interesó compartir y traducir estos fragmentos en este blog.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Agosto, 2012, 11:42

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Hace más de un año que escribí el anterior post, el primero de esta serie. Quería continuarla hoy, presentando el "mejor" libro que tengo, medido por:

- Su influencia en mi vida
- El mundo que me muestra/descubre
- El disfrute de su lectura

Y tardé tanto en continuar, porque me resistía a volver a revisar el que considero el "mejor" de mi biblioteca, aplicando esos tres puntos como métrica. Es que volver a leerlo es un viaje de ida. Es el notable "Elementos de historia de las matemática" de Nicolás Bourbaki, que tengo en la edición en español de Alianza.

No es un libro escrito como tal, sino la colección de notas históricas que acompañan a la obra monumental de Bourbaki (matemático inventado por un grupo de matemáticos), su serie de libros sobre la moderna matemática. Yo comencé a leer este libro en los ochenta, no recuerdo el año exacto. Para mí significó el toque que me faltaba para sumergirme en el mundo matemático. Cuando lo leí por primera vez, apenas si entendía algo de lo que mencionaba. Poco a poco, en estas décadas, ya fui adquiriendo una cultura matemática de aficionado, pero amplia y clásica. Y fue este libro de Bourbaki el que me mostró por primera vez la profunda historia de este fruto de la actividad humana, tal vez el más destacado y recordable (a veces pienso que si contactáramos a otra civilización inteligente, nos respetará no por nuestros logros sociales, científicos, artísticos o técnicos, sino por nuestras matemáticas).

Bourbaki me hizo conocer el trabajo de Euclides, Arquímedes, Eudoxio, Leibniz, Aristóteles (en lógica), Boole, Russell, Frege, Lie, Legendre, Euler, Gauss, Lagrange, Hilbert, Grassman, Cayley, Klein, Abel, Galois, Cauchy, Dedekind, Bolzano, Godel, Rienmann, Eisenstein, Cartan y decenas y decenas más. Me hizo ver que lo que conocía de matemáticas apenas era un fragmento pequeñísimo, y que aún ese fragmento tenía una historia profunda, tan o más interesante que el propio conocimiento actual del tema. Fue una de las primeras veces que ví más allá de libros de divulgación o de texto, descubriendo la trama de la historia, los trabajos acumulados, las idas y vueltas, las ideas olvidadas y las triunfantes, los meandros en el camino de un desarrollo. Por ejemplo, me hizo ver el desarrollo de la lógica en matemáticas, y enterarme de pequeños datos, como que Leibniz jugó a representar proposiciones con números primos y a combinarlas por multiplicación, siglos antes que Godel. Descubrí cómo los matemáticos que trabajaron en un tema, trabajaron en varios otros, y que un resultado es fruto de ese entrelazamiento, red de intereses. Cómo un tema como espacios vectoriales, nace de Grassman de una forma que hoy no se trata mucho, y vuelvo a redescubrir en este siglo con "el Penrose". O cómo Frege trató de formalizar las matemáticas pero fue "superado" por la escuela de Peano, al parecer por tener éste una más entendible y manejable notación. En este libro de Bourbaki encontré por primera vez la fascinante historia (repartida en varios capítulos) de la teoría de grupos. Y así podría seguir con más temas. Cada capítulo de este libro merece una serie de posts en este blog.

Tal vez no sea el "mejor" libro para todos, ni siquiera para muchos. Pero para mí, fue un punto de inflexión. Viniendo de estudiar matemáticas "sencillas", sin tener sentido de su profundidad e historia, este volumen de Bourbaki fue iluminador. Y aún hoy, cuando vuelvo a leerlo luego de casi una década sin animarme a volver a él, sigo encontrando el placer de su lectura.

Investigando para este post, encontré para leer, ambos de Jesús Hernandez, de la Universidad Autónoma de Madrid:

La matemática y sus elementos: de Euclides a Bourbaki
Las estructuras matemáticas y Nicolás Bourbaki

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 17 de Agosto, 2012, 7:47

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Sigamos con la historia de la ecuación de Dirac: ya explicó el spin del electrón, pero la ecuación opera sobre un vector de cuatro componentes. Dos corresponderían a los dos estados del electrón: spin arriba y spin abajo. Pero ¿y las otras dos?

A comienzos de 1929, tanto Dirac como Heisenberg hicieron su primer viaje a Estados Unidos, Dirac dando conferencias en la Universidad de Wisconsin, y Heisenberg en la de Chicago. En agosto de ese año, los dos hombre abordaron juntos el barco a vapor Shinyo Maru en San Francisco, pararon en Hawaii, y desde ahí fueron a Japón, donde ambos dieron conferencias en Tokio y en Kioto. Yo quería saber si habían discutido los problemas de la ecuación de Dirac durante el viaje, así que le pregunté e Dirac. Su respuesta:

En 1929, Heisenberg y yo cruzamos el Pacífico y pasamos algún tiempo en Japón juntos. Pero no mantuvimos ninguna discusión técnica. Ambos queríamos unas vacaciones y nos alejamos de la física. No tuvimos discusiones sobre física, excepto cuando dimos conferencias en Japón y cada uno atendió a las conferencias del otro. No recuerdo que fue dicho en esas ocasiones, pero creo que esencialmente estábamos de acuerdo.

Heisenberg contó una historia de ese viaje que nos da una raro acercamiento a las actitudes de Dirac hacia el sexo opuesto:

Estábamos en el barco de América a Japón, y me gustaba formar parte de la vida social del barco, por ejemplo, participar de los bailes danzas a la caída de la tarde. A Paul, de alguna manera, no le gustaba mucho pero se sentaba en una silla y miraba el baile. Una vez volví de bailar y tomé la silla detrás de él, y me preguntó: 'Heisenberg ¿por qué bailas?' Yo dije, 'Bueno, porque hay buenas chicas ('nice girls') con las que es un placer danzar'. El pensó un largo rato sobre eso, y después de cinco minutos me dijo, 'Heisenberg, ¿cómo sabes de antemano que las chicas son buenas?'

Volvamos a la ecuación de Dirac, con cuatro componentes, dos que no se sabía si descartar o cómo tomarlas en el esquema que iba surgiendo.

En ese tiempo, Weyl hizo una nueva sugerencia sobre las dos componentes extras: 'Es plausible anticipar que, de los dos pares de componentes de la cantidad de Dirac, una corresponde al electrón y la otra al protón'. En diciembre de 1929, Dirac (de vuelta en Cambridge) disentía: 'Uno no puedo simplemente afirmar que el electrón de energía negativa es un protón, desde que esto violaría la conservación de carga si un electrón saltara desde un estado de energía positiva a uno de negativa'. Mas bien, 'asumamos... que todos los estados de energía negativa están ocupados, excepto quizás, por unos pocos de baja velocidad', esta ocupación admitiendo sólo un electrón por estado, como el principio de exclusión demandaba. Imaginemos que uno de esos electrones de energía negativa es removido, dejando un agujero en la distribución inicial. El resultado es un alza en la energía y un cambio de una unidad en la carga. Este agujero, según Dirac, actúa como una partícula con energía positiva y carga positiva. 'Estamos... siendo llevados a considerar que los agujeros en la distribución de energía negativa eran los protones'. La identificación de los agujeros como partículas está bien, pero ¿por qué protones? Dirac comentaría más tarde: 'En ese tiempo... todo el mundo se sentía seguro en ver que los electrones y los protones eran las únicas partículas elementales de la Naturaleza' (Recordemos que, en 1929, aún se creía que el núcleo atómico sólo se componía por protones y electrones! [no se había descubierto aún al neutrón])

Antes de enviar este "paper" [en 1929], Dirac escribió una carta a Bohr en la que mostraba que él conocía bien que, en ausencia de interacciones, estos agujeros tendrían la misma masa que los electrones mismos. Era su esperanza (una ociosa) que esta igualdad pudiera ser violada por las interacciones electromagnéticas:

Tan pronto como no tomamos en cuanta la interacción, uno tiene simetría completa entre electrones y protones; uno podría tomar los protones como las partículas reales y los electrones como agujeros en la distribución de protones de energía negativa. Sin embargo, cuando la interacción entre los electrones es tomada en cuenta, esta simetría se arruina. No he todavía trabajado matemáticamente en las consecuencias de la interacción... Uno puede esperar, sin embargo, que una teoría apropiada de esto nos permitirá calcular la razón de las masas de los protones y electrones.

Décadas después, todavía no tenemos una explicación de la razón de masas.

Actualmente la 'completa simetría' de la que Dirac escribía, la invariancia de la conjugación de carga, se extiende también a la interacción electromagnética. Al querer un mejor procedimiento, Dirac brevemente consideró la masa m en su ecuación como el promedio de las masas del protón y el electrón.

La teoría de los agujeros estaba en este estado informe cuando Dirac informó de él en una reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, en Bristol. De acuerdo al New York Times, él desconcertó a su audiencia, como era de esperar: 'Luego el Doctor Dirac fue invitado a discutir su teoría pero negó con su cabeza, diciendo que él no podría expresar su sentido en un lenguaje simple sin caer en la inexactitud.'

Típico de Dirac, como vimos en anteriores posts: Dirac estaba acostumbrado a hablar claramente.

La confusión siguió por todo el 1930, cuando primero Oppenheimer, e independientemente Tamm, notaron que la proposición del protón haría a los átomos inestables debido al proceso: protón + electrón --> fotones. En noviembre de 1930, Weyl tomó una nueva postura con respecto a los protones:

Aún con todo lo atractiva que esta idea pueda parecer al principio, es ciertamente imposible de mantener sin introducir otras profundas modificaciones... aún más, según (la teoría de los agujeros), la masa del protón debería ser la misma que la masa del electrón; aún más... esta hipótesis nos lleva a la esencial equivalencia de la electricidad positiva y negativa bajo todas las circunstancias... la disímil conducta de estas dos clases de electricidad parece entonces un secreto de la Naturaleza que afecta más profundamente que la diferencia entre pasado y futuro... Me temo que las nubes que se ciercen sobre parte de este tema se juntarán para formar una nueva crisis en la física cuántica.

Entonces, en mayo de 1931, Dirac finalmente 'mordió la bala' [bit the bullet] (o, en sus propias palabras, dió 'un pequeño paso hacia adelante'): 'Un agujero, si hay alguno, sería una nueva clase de partícula, desconocida para la física experimental, teniendo la misma masa del electrón y carga opuesta'. Dirac eventualmente llamaría a esa nueva partícula anti-electrón. Justo antes de finalizar ese año, Carl Anderson hizo su primer anuncio de evidencia experimental del anti-electrón. El nombre positrón apareció por primera vez en uno de sus posteriores "papers". La predicción y el subsecuente descubrimiento del positrón se encuentran entre los grandes triunfos de la física moderna.

Esto, sin embargo, no fue obvio.

Notable que pasaron unos años para que Dirac diera con la predicción de positrón. En muchos libros de divulgación, al exponer el caso con brevedad, queda como que el primer "paper" y el anti-electrón vinieron al mismo tiempo. Pero vean los caminos de la ciencia: Dirac propone un modelo matemático, que explica algunos fenómenos (como el spín), aunque no era su objetivo, sino más bien eliminar las energías negativas que veía en las formulaciones de ecuaciones relativísticas. Y si bien el spin fue un regalo inmediatamente aceptado, las dos componentes adicionales no se sabía a qué parte de la Naturaleza correspondían, si es que lo hacían. Es notable que, Pauli primero con dos componentes, y Dirac con dos y luego cuatro, cambiaran las ecuaciones de dar un escalar, a dar un vector. Cuando escriba sobre la ecuación de Dirac, veremos que es una ecuación matricial, algo que muchas veces se evita mencionar en las divulgaciones del tema.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 15 de Agosto, 2012, 8:10

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En el anterior post, vimos que Dirac estaba buscando una ecuación para electrón, pero que contemplara a la relatividad. Debe haber estado buscando una ecuación que fuera invariante a una transformación de Lorenzt. La ecuación de Schrodinger no la cumplía: trataba de forma diferente al tiempo de las coordenadas espaciales.

Por el tiempo de la conferencia Solvay de 1927, un ecuación de onda relativística ya era conocida: la ecuación de onda escalar, encontrada independientemente por al menos seis autores, entre ellos Klein y Schrödinger. Sin embargo, uno no podría, al parecer, asociar una densidad de probabilidad definida positiva con esa ecuación. Lo que a Dirac no le gustaba para nada, desde que la existencia de dicha densidad era (y es) central a su teoría de la transformación. 'La teoría de la transformación se había convertido en mi preferida ["my darling"]. No estaba interesado en considerar ninguna teoría que no fuera compatible con ella... Yo no podía aceptar abandonar la teoría de la transformación'. Es por eso, como dije [en el anterior post] que Dirac no estaba de acuerdo con Bohr [que afirmaba que el problema ya estaba resuelto]. Es por eso que Dirac comenzó su propia búsqueda de una ecuación de onda relativista que tuviera asociada una densidad de probabilidad positiva. No solamente la encontró, sino que en el curso de su trabajo, también descubrió el tratamiento mecánico-cuántico relativista del spin.

Por "ecuación de onda escalar" se menciona a una ecuación como la de Schrödinger, de un solo componente, no un vector de varias funciones de onda, sino una sola. Ya Pauli había llegado a poner matrices y vectores en una ecuación:

Esa fue una novedad mayúscula. En mayo de 1927, Pauli había propuesto que el electrón satisfacía un ecuación de onda de dos componentes conteniendo el spin del electrón, explícitamente acoplado con el movimiento orbital angular del electrón. Nada determinaba la fuerza de ese acoplamiento, el llamado 'factor de Thomas' [que recuerde, en el caso del electrón era 2], el que tenía que ser insertado a mano 'sin mayor justificación'. Esta falla, según notó Pauli, era debido al hecho de que su ecuación no satisfacía los requerimientos de la relatividad. La teoría era, en sus propias palabras, provisional y aproximada. En su ecuación, Pauli describía el spin usando matrices 2 x 2, desde entonces llamadas las matrices de Pauli. Parece que Dirac las había descubierto, independientemente: 'Yo creo que encontré estas (matrices) independientemente de Pauli, y posiblemente Pauli también las encontró independientemente de mí'. Siempre en la búsqueda de una ecuación de onda relativística con densidad de probabilidad positiva, Dirac continuó jugando con matrices. 'Me tomó un tiempo... hasta que de repente me dí cuenta de que no había necesidad de usar solamente cantidades.... con solamente dos filas y columnas. ¿Por qué no ir por cuatro filas y columnas?'. Fueron solamente unas semanas. Hacia el final de su vida, Dirac recordaba: 'En retrospectiva, parece extraño que uno pudiera sacar tanto de un punto tan elemental (!)'.

Sí, parece simple ahora: pasar de 2 a 4 componentes. Pero fue un gran paso.

Entonces, a comienzos de 1928, nació la ecuación de Dirac, con la densidad de probabilidad positiva que su autor tan fervientemente deseaba. Para su sorpresa, él había tropezado con algo más.

Y notable. Debería escribir sobre la historia del spin, cuya investigación hizo adelantar mucho a la física cuántica, un tema clave en su desarrollo. Decía Dirac:

Había encontrado que su ecuación daba el spin de una partícula de la mitad de un cuanto. Y también daba su momento magnético. Daba justo las propiedades que se necesitaban para un electrón. Eso era un no esperado premio, completamente inesperado.

Continúa Pais:

El spin era una consecuencia necesaria, el momento magnético y la estructura fina de la fórmula de Sommerfeld [que había extendido el modelo de Bohr, contemplando correcciones por cambio de masa relativística, para calcular esa característica del espectro de hidrógeno], el factor de Thomas aparecía automáticamente [tengo que revisar si era 2, y si tiene relación con el 1/2 del spin), y para energía cinéticas eran pequeñas comparadas con masas por velocidad de la luz al cuadrado, todos los resultados de la teoría no relativística de Schrödinger se podían abarcar con la nueva ecuación. Dirac había jugado duro y había jugado bien. Su descubrimiento ('una vez que se encuentra el buen camino se te aparece la solución sin mayor esfuerzo') se encuentra entre los máximos logros de la ciencia del siglo XX, y es más destacable desde que fue hecho al perseguir lo que eventualmente se vió que era un problema lateral, las densidades positivas.

Pero ¿qué hacer con las dos componentes nuevas?

Así como tuvo un éxito espectacular, la ecuación de Dirac fue, por algunos años, también fuente de gran preocupación. Las funciones de Pauli tenía dos componentes, correspondiendo a las opciones de spin arriba y spin abajo. Pero las ecuaciones de Dirac tenía cuatro componentes. La pregunta ¿por qué cuatro? llevó a una gran confusión sobre la cual, en los sesenta, Heisenberg recordaba: 'Hasta ese tiempo [1928], yo tenía la impresión de que, en teoría cuántica, habíamos vuelto a la bahía, al puerto. El "paper" de Dirac nos arrojó de nuevo al mar'.

Desde el comienzo, Dirac había correctamente diagnosticado la causa de esta duplicación en el número de componentes. Había dos con energía positiva, pero dos con energía negativa, cada par con spin arriba/abajo. ¿Que hacer con las soluciones de energía negativa? Uno resuelve la dificultad en la teoría clásica arbitrariamente excluyendo esas soluciones que dan energía negativa. No puede hacerse eso en la teoría cuántica, desde que, en general, una perturbación causará transiciones desde los estados con E positiva a estados con E negativa.

Dirac comenzó a especular que las soluciones con energía negativa podrían estar asociadas con partículas cuya carga era opuesta a la del electrón. En este punto, Dirac no sabía tan claramente que él estaba hablando sobre algo que él conocería mucho mejor un año y medio después. Esta idea sin desarrollar lo guió a tomar el problema ligeramente al principio: 'La mitad de las soluciones deben ser rechazadas al referirse a la carga +e del electrón'. En una charla dada en Leipzig, en junio de 1928, ya no habló de ese rechazo. Las transiciones a las energías negativas no podían ser ignoradas. 'Consecuentemente, en el presente estado la teoría es una aproximación'.

El tema del rechazo fue presentado en el "paper" original (tengo que comprobarlo). Pero la evolución en el tiempo de ese vector de cuatro componentes implica que no se pueden ignorar: las componentes adicionales juegan un papel que no se puede ignorar.

Mientras estuvo en Leipzip, Dirac, por supuesto, visitó a Heisenberg (que se había trasladado recientemente ahí), quien debía haber estado bien informado de estas dificultades. En mayo, Heisenberg le había escrito a Pauli: 'Para no estar por siempre irritado con Dirac, he hecho algo distinto, para tener un cambio'. Ese algo fue su teoría cuántica del ferromagnetismo. Dirac y Heisenberg discutieron varios aspectos de la nueva teoría. Poco despues, Heisenberg le escribe a Pauli de nuevo: "El capítulo más triste de la física moderna es y sigue siendo la teoría de Dirac", mencionando algo de su propio trabajo, que demostraba las dificultades, y agregando que el electrón magnético había puesto a Jordan trübsinnig ('melancólico'). Por ese tiempo, Dirac, que tampoco estaba satisfecho, escribió a Oskar Klein: 'No he encontrado ningún éxito en mis intentos de solucionar la dificultad +-e. Heisenberg (al que encontré en Leipzip) piensa que el problema no será resuelto hasta que tengamos una teoría del protón y del electrón, juntos".

Seguiré en el próximo post compartiendo cómo se solucionó el tema, con un nuevo regalo que nos dió la notable ecuación de Dirac.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 14 de Agosto, 2012, 13:44

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Esta es la última parte de mi traducción (y breve comentario) de la primera sección del libro de Dirac.

At this stage it becomes important to remember that science is concerned only with observable things and that we can observe an object only by letting it interact with some outside influence. An act of observation is thus necessarily accompanied by some disturbance of the object observed. We may define an object to be big when the disturbance accompanying our observation of it may be neglected, and small when the disturbance cannot be neglected. This definition is in close agreement with the common meanings of big and small.

En esta etapa se vuelve importante recordad que la ciencia se ocupa solamente de las cosas observables y que nosotros podemos observar un objeto solamente dejándolo interactuar con alguna influencia externa. Un acto de observación es entonces necesariamente acompañado de alguna perturbación del objeto observado, Podemos definir un objeto como grande cuando la perturbación que acompaña nuestra observación puede ser dejada de lado, y como pequeño cuando la perturbación no puede ignorarse. Esta definición está en cercano acuerdo con los sentidos que comúnmente le damos a grande y pequeño.

Habría que preguntarse a qué llama Dirac "cosa observable". Alguien podría decir: las cosas no son observables, sólo los fenómenos. No creo que sea el sentido que le quiere dar Dirac. Es interesante que con lo que acá está comentando sobre "grande y pequeño" consigue quitar lo relativo de esos términos en física. Si no hubiera una escala última en física, bien podría ser que todo elemento/"partícula" sea compuesto, que no hubiera "átomos", elementos indivisibles al final. La física cuántica nos dice: llega un momento, una escala, en la que no podemos ir más allá en esas divisiones. Aún hoy se discute si llegamos a esa barrera o no.

It is usually assumed that, by being careful, we may cut down the disturbance accompanying our observation to any desired extent. The concepts of big and small are then purely relative and refer to the gentleness of our means of observation as well as to the object being described. In order to give an absolute meaning to size, such as is required for any theory of the ultimate structure of matter, we have to assume that there is a limit to the fineness of our powers of observation and the smallness of the dccompanying disturbance—a limit which is inherent in the nature of things and can never be surpassed by improved technique or increased skill on the part of the observer. If the object under observation is such that the unavoidable limiting disturbance is negligible, then the object is big in the absolute sense and we may apply classical mechanics to it. If, on the other hand, the limiting disturbance is not negligible, then the object is small in the absolute sense and we require a new theory for dealing with it.

Usualmente se asume que, siendo cuidadoso, podríamos siempre disminuir la perturbación que acompaña a nuestra observación, hasta hacer tan pequeña como querramos. Los conceptos de pequeño y grande son entonces relativos y se refieren a nuestras medidas de observación tanto como al objeto que está siendo descripto. Para dar un significado absoluto al tamaño, como es requerido por cualquier teoría sobre la estructura última de la materia, nosotros tenemos que asumir que hay un límite a la fineza de nuestros poderes de observación y a la pequeñez de la perturbación que la acompaña -un límite que es inherente a la naturaleza de las cosas y que nunca puede ser sobrepasado ni por mejoras técnicas o por mayores habilidades de parte del observador. Si el objeto en observación es de tal forma que la inevitable perturbación es despreciable, entonces el objeto es grande en el sentido absoluto y requerimos una nueva teoría para manejarlos.

Y ahora, Dirac va por la causalidad:

A consequence of the preceding discussion is that we must revise our ideas of causality. Causality applies only to a system which is left undisturbed. If a system is small, we cannot observe it without producing a serious disturbance and hence we cannot expect to find any causal connexion between the results of our observations. Causality will still be assumed to apply to undisturbed systems and the equations which will be set up to describe an undisturbed system will be differential equations expressing a causal connexion between conditions at one time and conditions at a later time. These equations will be in close correspondence with the equations of classical mechanics, but they will be connected only indirectly with the results of observations. There is an unavoidable indeterminacy in the calculation of observational results, the theory enabling us to calculate in general only the probability of our obtaining a particular result when we make an observation.

Una consecuencia de la discusión anterior es que debemos revisar nuestras ideas de causalidad. La causalidad se aplica solamente a sistemas que no son perturbados. Si un sistema es pequeño, nosotros no podemos observarlo sin producir una serie perturbación y entonces no podemos esperar encontrar ninguna conexión causal entre los resultados de nuestras observaciones. La causalidad será aún asumida para aplicarla a los sistemas que no son perturbados y las ecuaciones que describan un sistema no perturbado serán ecuaciones diferenciales que expresen la conexión causal entre las condiciones de un tiempo dado con las condiciones en un tiempo posterior. Estas ecuaciones estarán en cercana correspondencia con las ecuaciones de la mecánica clásica, pero se conectarán solo indirectamente con los resultados de las observaciones. Hay una indeteminación inevitable en el cálculo de resultados observados, y la teoría sólo nos permite en general calcular la probabilidad de obtener un resultado particular cuando hacemos una observación.

Dirac no define "causalidad", así que supongo que se refiere a: a las mismas causas, estados iniciales, le suceden los mismos efectos. Eso es algo que la mecánica cuántica nos obliga a abandonar: ante el mismo estado inicial, el estado final se decide probabilísticamente, hay un "azar esencial" jugándose en la evolución del estado físico. Las fórmulas de la mecánica cuántica nos dicen cómo evoluciona un sistema en el tiempo, pero en algún momento la naturaleza (por emplear una palabra) da un salto en el estado de un sistema, sin que haya una ley determinística que nos diga cuál es el resultado, sólo tenemos leyes probabilísticas. Por otro lado, yo usaría el término "causalidad" para decir: todo cambio tiene su causa, lo que pasa es que no tenemos causa-efecto determinístico (a misma causa, mismo efecto), sino causa-efecto probabilístico (a misma causa/estado inicial, los efectos se distribuyen con una probabilidad de la que tenemos modelos matemáticos, no es "puro azar").

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 13 de Agosto, 2012, 5:45

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En el anterior post, dejamos a Dirac en Gotinga, 1927. Prosigamos de la mano de Pais:

Retorno al año 1927, cuando dejé a Dirac en Gotinga. Desde ahí él fue a Leiden y concluyó sus viajes de ese año atendiend a la conferencia Solvay en Bruselas (en octubre), donde él se encontró con Einstein por primera vez. De charlas con Dirac, yo sé que él admiraba a Einstein. El respeto era mutuo ('... a Dirac le debemos, en mi opinión, la más lógica y perfecta de la mecánica cuántica'). Sin embargo, el contacto entre los dos hombres se mantuvo en lo mínimo, en gran parte, pienso, porque no estaba en la personalidad de Dirac buscar figuras paternales.

Llegamos al famoso Solvay del 27, donde quedaron para la historia las discusiones de Bohr y Einstein sobre la mecánica cuántica de entonces, mejor dicho, sobre su interpretación. Curiosamente, fueron simples discusiones, fuera de programa, en los pasillos, en el desayuno, entre conferencias. Ya escribí post sobre El origen de las Conferencias Solvay. Un encuentro de Dirac en esa conferencia en Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión. Otro encuentro en una Solvay en Dirac y Feynman, por Abdul Salam.

Esa conferencia Solvay de 1927 marcó el comienzo del bien conocido debate entre Bohr y Einstein sobre la interpretación de la mecánica cuántica. Cincuenta años después Dirac diría: ' Este problema de tener una interpretación ha probado ser más difícil que conseguir las ecuaciones'. Al pasar el tiempo él expresó algunas reservas no sólo sobre la física cuántica de campos, sino también, aunque de forma más leve, en relación a la mecánica cuántica común, pero nunca más claro que en 1979 cuando él y yo estábamos en Jerusalem atendiendo a la celebración por el centenario de Einstein:

Yo no intervine mucho en esa discusión en la conferencia Solvay [de 1927] entre Einstein y Bohr. Escuché sus argumentos, pero no participé, esencialmente porque no estaba muy interesando. Estaba más interesada en obtener las ecuaciones correctas. Me parecía que el fundamento del trabajo de un físico-matemático es obtener las ecuaciones correctas, que la interpretación de esas ecuaciones era sólo de importancia secundaria... Parece claro que la presente mecánica cuántica no está en su forma final... Pienso que es bastante probable y posible, que con el tiempo se verá que Einstein estaba en lo correcto, a pesar de que por el momento los físicos tienen que aceptar la interpretación probabilística de Bohr, especialmente si tienen exámenes frente a ellos.

Más adelante, volveré a comentar sobre la posición de Dirac.

Dirac ha recordado una conversación con Bohr durante la conferencia Solvay de 1927. Bohr: "¿En qué está trabajando?" Dirac: "Estoy tratando de obtener una teoría relativística del electron". Bohr: "Pero Klein ya ha resuelto el problema". Dirac expresó su desacuerdo.

Dirac estaba a punto de obtener su famosa ecuación. Yo pensaba que para ese entonces ya la tenía (1927, octubre), pero parece que tuvo que trabajar un tiempo, para llegar a ella ese mismo año. En el próximo post veremos el estado de la teoría de ese tema (relatividad y electrón, 1927), explicado por Pais. Mientras, dos enlaces sobre esta ecuación:

The Dirac Equation
The Dirac equation

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Agosto, 2012, 7:05

Hace ya casi treinta años que leo a Stephen Jay Gould, paleontólogo, especialista en evolución biológica y muy conocido escritor de ciencia. Los primeros artículos que leí de él fueron los de su libro recopilación "El pulgar del panda". Y me fascinaron: temas bien expuestos, desplegando tanto hechos como el argumento que Gould quería mostrar. En mi biblioteca hoy tengo varios libros de este autor, y trato de no sumergirme mucho en ellos, porque son absorventes: un delicia, tanto por su estilo de escritura, como por lo que da para pensar. He escrito sobre algunas posturas suyas, en este blog (enlaces al final de este post), pero no mucho, justamente por eso: leerlo es un viaje de ida, tan fascinantes e interesantes temas tratados por un maestro de su profesión y de la divulgación científica.

Pero ayer, caí en la tentación, y una de mis lecturas de la tarde fue su excelente libro "La vida maravillosa" (Wonderful life), que debió ser uno de sus libros preferidos. Gould se toma el tiempo de escribir y mostrarnos la historia de Burguess Shale, un sitio de Canadá donde se encontraron fósiles de animales blandos (cosa al parecer rara) de hace 550 millones de años. ¿Cuál es la importancia de ese lugar? Necesitaría toda la habilidad de Gould para transmitirles el tema, pero un resumen es: al analizarse a principios del siglo XX los fósiles descubiertos (en gran parte fragmentos, y muchos aplastados) se los interpretó como partes de animales primitivos pero que pertenecían a las ramas actuales o posteriores conocidas y desaparecidas. Luego de décadas, se volvió a interpretar esos fósiles, pero ahora con formas que pertenecen a ramas que nunca sobrevivieron luego de aquella época, conocida como la "explosión cámbrica" por su exhuberancia en formas de vida nuevas. Entonces, Gould muestra que la primera interpretación se vió influida por la idea que tenían los paleontólogos sobre una evolución "progresiva": no se consideraba que pudiera haber tanta diversidad en un lugar y que no se pudiera "alinear" con las ramas animales que vinieron después. El tema de los fósiles de Burgess Shale es todavía tema de debate, lo que siempre es bueno en ciencia. Pero la historia que muestra Gould nos enseña cómo los modelos que proponemos (en este caso, dado unos fósiles, partes separadas dar el modelo del animal original) se ven influídos por nuestro contexto. Otro punto de Gould (uno de sus preferidos): mostrar que la aparición del hombre no se debe tomar como "el punto culminante" de la evolución, y que hubo tantos hechos fortuitos en la historia natural que bien podría no haber aparecido.

Pero no le hago justicia al libro. Vayan y leánlo: cualquier resumen mío es incompleto y posiblemente erróneo. Gould es más sutil y detallado. De hecho, éste debe ser uno de sus libros populares más "densos": el detalle que despliega en su explicación para que toda su postura quede expuesta y entendible, es notable. Es por esos que es prácticamente imposible resumir ESTE libro de Gould. Es como tratar de resumir una fuga de Bach: cada parte tiene su relación con el resto, y cualquier quita arruina el resultado total.

Lo mío es un apostolado, así que les dejo un fragmento corto del prefacio:

... veinte años de meticulosa descripción anatómica por parte de tres paleontólogos de Inglaterra e Irlanda, que iniciaron su trabajo sin atisbo alguno de su potencial fundamental, no sólo dieron la vuelta a la interpretación de Walcott [en su trabajo de 1909] de estos fósiles particulares, sino que también han confrontado nuestra visión tradicional acerca del profreso y la predecibilidad en la historia de la vida con el desafío de la contingencia, propio del historiador: el "espectáculo" de la evolución sería una serie de acontecimientos, asombrosamente improbable, suficientemente perceptible cuando es observado en retrospectiva, y sujeto a explicación rigurosa, pero absolutamente impredecible y relativamente irrepetible. Hagamos retroceder la cinta magnetofónica de la vida hasta los primeros días de Burguess Shale; hagámosla sonar de nuevo desde un punto de partida idéntico, y tendremos una posibilidad tan reducida que es casi inexistente de que algo parecido a la inteligencia humana adorne la melodía que se escuchará.

Llego ahora al motivo de este post: compartir este fragmento, donde Gould nos explica cómo escribe este tipo de libros:

He mantenido a rajatabla una regla personal en todos mis escritos que podrían denominarse "populares". (La palabra es admirable en su sentido literal pero se ha devaluado hasta significar simplificado o adulterado para una fácil comprensión que no requiere esfuerzo a cambio.) Creo -al igual que creía Galileo cuando escribió sus dos obras cumbres como diálogos en italiano y no como tratadas didácticos en latín, como creía Thomas Henry Huxley cuando compuso su prosa maestra libre de jerga, como creía Darwin cuando publicó todos sus libros para audiencias amplias- que todavía podemos tener un género de libros científicos adecuados y accesibles a la vez para el profesional y para el profano. Los conceptos de la ciencia, en toda su riquiza y ambigüedad, pueden presentarse sin ningún compromiso, sin ninguna simplificación que suponga distorsión, en lenguaje accesible a cualquier persona inteligente. Las palabras, desde luego, deben ser variadas, aunque sólo sea para eliminar una jerga y una fraseología que confundiría a cualquiera que fuera ajeno al sacerdocio, pero la profundidad conceptual no debe variar en absoluto entre la publicación profesional y la exposición general. Espero que este libro pueda leerse con provecho tanto en seminarios para estudiantes postgraduados como -si la película es mala y usted olvidó sus píldoras para dormir- en la clase especial de negocios del vuelo a Tokio.

Ese es el estilo Gould. Con ese estilo escribió 300 artículos consecutivos de la revista especializada Natural History, desde 1974 a 2001.

Si quieren leer un libro de él, por primera vez, tal vez les recomendaría alguno de recopilación de artículos, como el que fue mi primero, "El pulgar del panda". Y luego, libros "largos", como "La flecha del tiempo", "La falsa medida del hombre", y éste "La vida maravillosa".

Post comentando a Stephen Jay Gould

Stephen Jay Gould y la tercera cultura
Ciencia y Religión (2) Stephen Jay Gould
Ciencia y Religión (4) La separación de magisterios de Stephen Jay Gould

Sitio no oficial:

Temas relacionados con la divulgación de ciencia:

Divulgación de la Física: un comentario
Divulgación de la Ciencia, por Ernesto Sábato

Un comentario sobre Gould:

Famed for both brilliance and arrogance, Dr. Gould was the object of admiration and jealousy, both revered and reviled by colleagues.

Outside of academia, Dr. Gould was almost universally adored by those familiar with his work. In his column in Natural History magazine, he wrote in a voice that combined a learned Harvard professor and a baseball-loving everyman.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 11 de Agosto, 2012, 15:01

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Veamos los años de Dirac desde 1927.

En Gotinga Dirac se encontró con Robert Oppenheimer (1904-67), quien vivía en la misma pensión; se convirtieron en amigos cercanos. A Dirac le fue difícil entender los intereses católicos de Oppenheimer, que leía al Dante en su versión original. Se dice que una vez Dirac le preguntó: '¿Cómo puedes entender a la vez la física y la poesía? En física nosotros tratamos de explicar en términos simples lo que nadie antes conocía. En poesía es exactamente lo contrario'.

En el año 1927, del que estoy hablando, Dirac fue elegido "fellow" del St John's College en Cambridge y comenzó a dar conferencias sobre mecánica cuántica. En 1929 fue nominado "Praelector" en matemáticas y física, un puesto con obligaciones solo nominales. En 1930 fue elegido "Fellow" de la Royal Society. El 30 de septiembre de 1932 fue elegido profesor Lucasiano, un puesto que tuvo hasta 1969. De sus conferencias con los alumnos surgió su libro de mecánica cuántica, cuya primera edición apareció en 1930. Puedo mencionar aquí que había publicado cerca de doscientos "papers".

Dirac dedicó sólo una pequeña parte de su tiempo a enseñar y prácticamente nada a la administración. Prefirió trabajar solo y no creó ninguna escuela. Se ha escrito sobre él que era una de los pocos científicos que podrían trabajar en una isla desierta. Aunque no estaba en su naturaleza buscar estudiantes de investigación, igual se las arregló para tener un número interesante de doctorandos.

Algo a destacar en Dirac: su búsqueda de la claridad.

Cuando Dirac escribía un artículo o daba una conferencia, consideraba innecesario cambiar sus frases, cuidadosamente escogidas. Cuando alguien en la audiencia le preguntaba sobre un punto que no había entendido, Dirac repetía exactamente las mismas palabras que ya había dicho. De todas maneras, su estilo de conferencias era admirable, como he tenido el privilegio de confirmar frecuentemente. Alguno de sus estudiantes escribió:

Lo que entregaba era siempre excepcionalmente claro y uno era llevado al desarrollo de un argumento que parecía majestuoso e inevitable, como una fuga de Bach.

Sin embargo, tiendo a estar de acuerdo con Sir Nevill Mott (1905-96), que dijo:

Pienso que tengo que decir que su influencia como profesor no fue muy grande... Nunca aconsejó a un estudiante a examinar la evidencia experimenta y ver qué significaba... El nunca se dedicaría, entre uno y otro de sus grandes discubrimientos, a algún problema sencillo ("bread-and-butter problem"). No le interesaba en absoluto.

Era, de alguna forma, un solitario, pero respetado por sus colegas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Agosto, 2012, 13:49

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Sigo con mis enlaces. Hay varios temas a investigar, como el entrelazamiento, la localidad, el experimento de los neutrinos (en próximos enlaces ya aparece desmentido), el modelo estándard y Higgs, etc... Tantos temas, una sola vida :-)

Quest for quirky quantum particles may have struck gold
Evidence for elusive Majorana fermions raises possibilities for quantum computers.

Faster than light neutrinos? More like faulty wiring
You can shelf your designs for a warp drive engine (for now) and put the DeLorean back in the garage; it turns out neutrinos may not have broken any cosmic speed limits after all.

World"s best measurement of W boson mass tests Standard Model, Higgs boson limits

February 2012 issue of symmetry available

Faster-than-light neutrinos explained?

Whoops! Faster-than-light neutrinos don"t exist after all

History of quantum mechanics

Fermilab Set to Reveal "Interesting" Higgs Boson Results

Tweeting live #Higgs boson updates from #CERN

Julian Seymour Schwinger

Mathematical Foundations of Quantum Field Theory

An Introduction to Group Therapy for Particle Physics

The Langlands Program and Quantum Field Theory

Latest from the LHC

How To Think About Quantum Field Theory

Preparation for YETS another physics run

Spinning dancers around poles

Explaining electron spin and Pauli exclusion principle to children

Implications of LHC searches for Higgs--portal dark matter
The search for the a Standard Model Higgs boson at the LHC is reaching a critical stage as the possible mass range for the particle has become extremely narrow and some signal at a mass of about 125 GeV is starting to emerge. We study the implications of these LHC Higgs searches for Higgs portal models of dark matter in a rather model independent way.

Quantum physicists shed new light on relation between entanglement and nonlocality

CdSe Quantum Dots synthesis

(1/2) What's going on in Quantum Mechanical Systems?

(2/2) What's going on in Quantum Mechanical Systems?

First quantum jiggles detected in solid object

Mis Enlaces

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Agosto, 2012, 14:10

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Heisenberg se centra en la imagen de la Naturaleza DESDE la ciencia física. Es decir, mucho queda afuera de su "naturaleza", por ejemplo, el fenómeno de la vida. El se centra en lo que en los tiempos de Newton se llamaba "filosofía natural". En el anterior post, vimos cómo Kepler busca la armonía en una naturaleza donde hay un creador.

Pero ya en la vida de Kepler, la actitud comienza a cambiar. Galileo va viendo que puede estudiar procesos y fenómenos, aislándolos de las circunstancias que los rodean. Y va colocando descripciones matemáticas, algo que yo podría relacionar con un antigua pitagorismo revivido. Dudo igual que fuera la intención de Galileo. Pero él ve que el mundo de la naturaleza (física) está escrito en un lenguaje matemático.

Pero ese estudio de fenómenos aislados pone de manifiesto el cambio de actitud que mencionaba: en Kepler, estudiar la naturaleza es estudiarla en todo, en su armonía total: la órbita de un planeta está en acuerdo, en bella relación con el resto de las órbitas. Hasta afirma que la disposición de las estrellas fijas se debe a alguna relación que no se atreve a encarar.

Galileo comienza a cambiar eso: le basta con estudiar el péndulo, el movimiento en un plano inclinado, para ir descubriendo las leyes del movimiento. Para explicar la inercia usa experimentos terrenales. Luego de Galileo, vemos en Newton una noción de la infinitud de la tarea propuesta. Escribe Heisenberg:

... Ya para Newton, el mundo no era sencillamente la obra de Dios, que sólo puede ser comprendida en su conjunto. Su actitud ante la Naturaleza no puede describirse mejor quemediante su conocida frase en la que se compara a un niño que juega en la playa y se alegra cuando encuentra un guijarro más pulido o una concha más hermosa que de ordinario, mientras el gran océano de la verdad se extiende ante él, inexplorador. Tal vez nos ayude a comprender este cambio en la actitud del científico ante la Naturaleza la observación de que en aquella época el pensamiento cristiano había llegado a separar tanto a Dios de la tierra, situándole en un tan alto cielo, que recíprocamente no parecía ya absurdo considerar a la tierra prescindiendo de Dios.

Bueno, lo que veo es que Newton también llevó "a los cielos" sus teorías. Fue la primer gran unificación de la física, al explicar que la gravedad que actúa sobre los cuerpos terrestres también explica la órbita de la luna, los movimientos planetarios y hastas las leyes de Kepler. Con la aparición del telescopio y su mejoramiento, también se pudo aplicar las leyes newtonianas a cuerpos lejanos (no fue en aquel entonces, pero pasado algunos siglos, se pudo explicar la órbita de estrellas binarias). Recuerdo a Laplace, explicando el sistema solar y su estabilidad, y ante la pregunta de Napoleón sobre dónde está Dios, Laplace responde: "No tuve necesidad de esa hipótesis, sire".

Sigue Heisenberg:

Hasta cierto punto, pues, es justificado pensar con Kamlah que la moderna ciencia de la Naturaleza revela una forma de ateísmo específicamente cristiana; con ello se comprende que en otros ámbitos culturales no haya tenido lugar una evolución semejante. No puede tampoco ser fortuito el hecho de que precisamente en la misma época las artes figurativas comiencen a tomar a la Naturaleza como objeto de representación, prescindiendo de los temas religiosos. Idéntica tendencia se manifiesta en el dominio científico cuando se considera a la Natura como independiente, no sólo de Dios, sino también del hombre, constituyéndose el ideal de una descripción o una explicación "objetiva" de la Naturaleza.

Acá Heisenberg comienza a mostrar sus "garras" ;-) Veremos en próximos post hacia donde se dirige, y lo que acepto y no acepto de su argumento.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

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