Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Agosto, 2012, 8:10

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En el anterior post, vimos que Dirac estaba buscando una ecuación para electrón, pero que contemplara a la relatividad. Debe haber estado buscando una ecuación que fuera invariante a una transformación de Lorenzt. La ecuación de Schrodinger no la cumplía: trataba de forma diferente al tiempo de las coordenadas espaciales.

Por el tiempo de la conferencia Solvay de 1927, un ecuación de onda relativística ya era conocida: la ecuación de onda escalar, encontrada independientemente por al menos seis autores, entre ellos Klein y Schrödinger. Sin embargo, uno no podría, al parecer, asociar una densidad de probabilidad definida positiva con esa ecuación. Lo que a Dirac no le gustaba para nada, desde que la existencia de dicha densidad era (y es) central a su teoría de la transformación. 'La teoría de la transformación se había convertido en mi preferida ["my darling"]. No estaba interesado en considerar ninguna teoría que no fuera compatible con ella... Yo no podía aceptar abandonar la teoría de la transformación'. Es por eso, como dije [en el anterior post] que Dirac no estaba de acuerdo con Bohr [que afirmaba que el problema ya estaba resuelto]. Es por eso que Dirac comenzó su propia búsqueda de una ecuación de onda relativista que tuviera asociada una densidad de probabilidad positiva. No solamente la encontró, sino que en el curso de su trabajo, también descubrió el tratamiento mecánico-cuántico relativista del spin.

Por "ecuación de onda escalar" se menciona a una ecuación como la de Schrödinger, de un solo componente, no un vector de varias funciones de onda, sino una sola. Ya Pauli había llegado a poner matrices y vectores en una ecuación:

Esa fue una novedad mayúscula. En mayo de 1927, Pauli había propuesto que el electrón satisfacía un ecuación de onda de dos componentes conteniendo el spin del electrón, explícitamente acoplado con el movimiento orbital angular del electrón. Nada determinaba la fuerza de ese acoplamiento, el llamado 'factor de Thomas' [que recuerde, en el caso del electrón era 2], el que tenía que ser insertado a mano 'sin mayor justificación'. Esta falla, según notó Pauli, era debido al hecho de que su ecuación no satisfacía los requerimientos de la relatividad. La teoría era, en sus propias palabras, provisional y aproximada. En su ecuación, Pauli describía el spin usando matrices 2 x 2, desde entonces llamadas las matrices de Pauli. Parece que Dirac las había descubierto, independientemente: 'Yo creo que encontré estas (matrices) independientemente de Pauli, y posiblemente Pauli también las encontró independientemente de mí'. Siempre en la búsqueda de una ecuación de onda relativística con densidad de probabilidad positiva, Dirac continuó jugando con matrices. 'Me tomó un tiempo... hasta que de repente me dí cuenta de que no había necesidad de usar solamente cantidades.... con solamente dos filas y columnas. ¿Por qué no ir por cuatro filas y columnas?'. Fueron solamente unas semanas. Hacia el final de su vida, Dirac recordaba: 'En retrospectiva, parece extraño que uno pudiera sacar tanto de un punto tan elemental (!)'.

Sí, parece simple ahora: pasar de 2 a 4 componentes. Pero fue un gran paso.

Entonces, a comienzos de 1928, nació la ecuación de Dirac, con la densidad de probabilidad positiva que su autor tan fervientemente deseaba. Para su sorpresa, él había tropezado con algo más.

Y notable. Debería escribir sobre la historia del spin, cuya investigación hizo adelantar mucho a la física cuántica, un tema clave en su desarrollo. Decía Dirac:

Había encontrado que su ecuación daba el spin de una partícula de la mitad de un cuanto. Y también daba su momento magnético. Daba justo las propiedades que se necesitaban para un electrón. Eso era un no esperado premio, completamente inesperado.

Continúa Pais:

El spin era una consecuencia necesaria, el momento magnético y la estructura fina de la fórmula de Sommerfeld [que había extendido el modelo de Bohr, contemplando correcciones por cambio de masa relativística, para calcular esa característica del espectro de hidrógeno], el factor de Thomas aparecía automáticamente [tengo que revisar si era 2, y si tiene relación con el 1/2 del spin), y para energía cinéticas eran pequeñas comparadas con masas por velocidad de la luz al cuadrado, todos los resultados de la teoría no relativística de Schrödinger se podían abarcar con la nueva ecuación. Dirac había jugado duro y había jugado bien. Su descubrimiento ('una vez que se encuentra el buen camino se te aparece la solución sin mayor esfuerzo') se encuentra entre los máximos logros de la ciencia del siglo XX, y es más destacable desde que fue hecho al perseguir lo que eventualmente se vió que era un problema lateral, las densidades positivas.

Pero ¿qué hacer con las dos componentes nuevas?

Así como tuvo un éxito espectacular, la ecuación de Dirac fue, por algunos años, también fuente de gran preocupación. Las funciones de Pauli tenía dos componentes, correspondiendo a las opciones de spin arriba y spin abajo. Pero las ecuaciones de Dirac tenía cuatro componentes. La pregunta ¿por qué cuatro? llevó a una gran confusión sobre la cual, en los sesenta, Heisenberg recordaba: 'Hasta ese tiempo [1928], yo tenía la impresión de que, en teoría cuántica, habíamos vuelto a la bahía, al puerto. El "paper" de Dirac nos arrojó de nuevo al mar'.

Desde el comienzo, Dirac había correctamente diagnosticado la causa de esta duplicación en el número de componentes. Había dos con energía positiva, pero dos con energía negativa, cada par con spin arriba/abajo. ¿Que hacer con las soluciones de energía negativa? Uno resuelve la dificultad en la teoría clásica arbitrariamente excluyendo esas soluciones que dan energía negativa. No puede hacerse eso en la teoría cuántica, desde que, en general, una perturbación causará transiciones desde los estados con E positiva a estados con E negativa.

Dirac comenzó a especular que las soluciones con energía negativa podrían estar asociadas con partículas cuya carga era opuesta a la del electrón. En este punto, Dirac no sabía tan claramente que él estaba hablando sobre algo que él conocería mucho mejor un año y medio después. Esta idea sin desarrollar lo guió a tomar el problema ligeramente al principio: 'La mitad de las soluciones deben ser rechazadas al referirse a la carga +e del electrón'. En una charla dada en Leipzig, en junio de 1928, ya no habló de ese rechazo. Las transiciones a las energías negativas no podían ser ignoradas. 'Consecuentemente, en el presente estado la teoría es una aproximación'.

El tema del rechazo fue presentado en el "paper" original (tengo que comprobarlo). Pero la evolución en el tiempo de ese vector de cuatro componentes implica que no se pueden ignorar: las componentes adicionales juegan un papel que no se puede ignorar.

Mientras estuvo en Leipzip, Dirac, por supuesto, visitó a Heisenberg (que se había trasladado recientemente ahí), quien debía haber estado bien informado de estas dificultades. En mayo, Heisenberg le había escrito a Pauli: 'Para no estar por siempre irritado con Dirac, he hecho algo distinto, para tener un cambio'. Ese algo fue su teoría cuántica del ferromagnetismo. Dirac y Heisenberg discutieron varios aspectos de la nueva teoría. Poco despues, Heisenberg le escribe a Pauli de nuevo: "El capítulo más triste de la física moderna es y sigue siendo la teoría de Dirac", mencionando algo de su propio trabajo, que demostraba las dificultades, y agregando que el electrón magnético había puesto a Jordan trübsinnig ('melancólico'). Por ese tiempo, Dirac, que tampoco estaba satisfecho, escribió a Oskar Klein: 'No he encontrado ningún éxito en mis intentos de solucionar la dificultad +-e. Heisenberg (al que encontré en Leipzip) piensa que el problema no será resuelto hasta que tengamos una teoría del protón y del electrón, juntos".

Seguiré en el próximo post compartiendo cómo se solucionó el tema, con un nuevo regalo que nos dió la notable ecuación de Dirac.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia