Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Agosto, 2012, 7:04

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Veamos otros ejemplos de espacios vectoriales. Ya definí lo que es un espacio vectorial en el primer post de esta serie. Es una estructura matemática que ha tenido una gran historia en relación con la física, pero también tiene interés propio, por su amplia aplicación en ámbitos abstractos. Si bien en física nos acostumbrabos a ver vectores en el plano o en el espacio, ya vimos en el anterior post que los espacios vectoriales pueden "ir más allá" de esas dimensiones. En breve llegaremos a la definición de dimensión de espacio vectorial, pero puedo adelantar que hay algunos que tienen dimensión infinita, como el K[x] de los polinomios formales con coeficientes en el cuerpo conmutativo K con indeterminada x.

Sea E un conjunto no vacío, y sean las funciones f que van de E al cuerpo conmutativo K. Es un espacio vectorial, si podemos definir la suma de dos de esas funciones, la multiplicación por un escalar k, y las reglas que pedimos en el primer post. Dadas f y g, definamos la suma (f+g) como la función que dado x elemento de K nos da (escribiré de ahora en más a f y g con negrita, para resaltar que los consideramos vectores):

(f+g)(x) = f(x) + g(x) para todo x de E

Y dado un elemento k del cuerpo K, definimos kf como la función:

(kf)(x) = kf(x) para todo x de E

No es difícil ver que las funciones son los vectores de este nuevo ejemplo de espacio vectorial. Por ejemplo, el vector 0 es la función que a todo elemento de E le asigna el 0 de K:

0(x) = 0k

Dado el vector/función f su inverso es -f tal que

(-f)(x) = -f(x)

donde el segundo - (menos) es el menos de K.

Se cumple la distribución con elementos k,l de K:

((k+l)f)(x) = (k+l)f(x) = kf(x) + lf(x) = (kf)(x) + (lf)(x)

Y la distribución de un escalar con funciones f, g:

(k(f+g))(x) = k((f+x)(x)) = k(f(x) + g(x)) = kf(x) + kg(x) = (kf + kg)(x)

En estos pasos, enunciados rápidamente, se sigue la estrategia: expandir lo definido por su definición, pasando a operar con elementos de K, y dado que en el cuerpo existe la distributividad de suma y producto, se puede seguir hasta llegar a la conclusión. Es un caso interesante: tenemos la suma definida para funciones f, g, pero en su definición PASAMOS a usar la suma definida para elementos de K. Se nota la importancia de que las funciones tengan como destino K, siendo E prácticamente cualquier conjunto. Esto permite reflejar, si puedo decir, gran parte de la estructura de K en las funciones E->K, convirtiéndolas en vectores de un espacio vectorial.

Este espacio vectorial se llama EK.

Si tomamos E = {1,2,3,....,m} las f son las aplicaciones de los primeros m números naturales a algún k. Tenemos el espacio vectorial que en el anterior post llamé Kn.

Si tomamos E = N = {1, 2, 3, .... } todos los números naturales, tenemos las series infinitas de elementos de K, que también entonces son vectores. Las llamamos KN.

Si tomamos E = todos los pares (i,j) con 1 <= i <= n,  1 <= j <= m, tenemos las matrices Knxm. Y con lo mostrado arriba, resultan que también son vectores de ese espacio vectorial.

Agrego un ejemplo más. Sea E el conjunto de números reales [0,1] (el intervalo cerrado que va desde 0 al 1). Sea K los números complejos C. En vez de tomar todas las funciones [0,1] -> C, tomamos sólo las continuas. Es también un espacio vectorial. Lo puedo llamar C([0,1]). Podría extender esto a conjuntos compactos en espacios topológicos en vez de simplemente el intervalor cerrado [0,1]. Pero queda para más adelante, como así también la definición de continuidad de esas funciones generales.

En resumen, tenemos vectores más allá de la noción intuitiva de segmento orientado en el plano o en el espacio comunes. Los matemáticos (y los físicos) han hallado fructífero esta ampliación del concepto de vector, viendo que las propiedades/axiomas de espacio vectorial son las importantes para caracterizar mucho de lo que se quiere usar de un espacio vectorial. Dos cosas que quedaron fuera: no tenemos una noción de longitud de vector, ni tampoco de "ángulo" entre vectores, como en los vectores geométricos. Ya llegaremos a esos temas. Pero antes, en el próximo post, encararemos el tema de ver si dentro de un espacio vectorial hay otros espacios vectoriales. Es otra estrategia de los matemáticos: tratar de encontrar subestructuras en las estructuras que consideran, para poder caracterizar más a éstas. Vimos un ejemplo cuando vimos grupos y subgrupos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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