Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Agosto, 2012, 6:50

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Quisiera repasar algunos puntos de lo que escribí en el anterior post, para destacar alguna característica de lo que presenté en el post anterior. Hasta ahora, consideré partículas materiales, no cuerpos rígidos. Y  sólo me detuve en un usar y describir una sola partícula. La principal fórmula presentada fue:

F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula en consideración, y p es su vector momento lineal (que tiene posición, "longitud" y dirección en el espacio). Es una ecuación diferencial en el tiempo. ¿Qué significa esto? Que dado algunos datos, en este caso las fuerzas existentes y el estado ACTUAL de la partícula, podemos ir conociendo qué pasa, cómo evoluciona esa partícula en el tiempo futuro (y notablemente, en el pasado también) SIEMPRE que conozcamos las fuerzas en cada instante t. De la partícula SOLAMENTE necesitas ese vector p.

En esa ecuación no aparece m, la masa. Puse en algún momento

para reflejar una de las definiciones de Newton: a mayor masa, igual velocidad, tenemos mayor momento lineal. Si dos partículas a y b tienen la misma velocidad, en intensidad y dirección, pero b tiene el doble de masa de a, entonces decimos que b tiene el doble de momento lineal.  Por ahora todo esto es claro, pero quisiera advertir: el concepto que parece más fundamental es el momento lineal, porque la masa, aún contra lo que seguramente pensaba Newton, varía cuando llegamos a velocidades relativísticas, velocidades que no son ínfimas con relación a la velocidad de la luz. Así que no debemos olvidar eso: p es lo fundamental, ahora en mecánica clásica, y también cuando consideremos mecánica relativista.
Entonces, ¿qué es la masa? Podemos verla como una constante de proporcionalidad, entre la fuerza existente, y el cambio en la velocidad resultante (lo llamamos aceleración). Ante la misma fuerza, la partícula B al tener el doble de masa que la partícula A, verá alterada su aceleración en la mitad de la aceleración ganada por A. Si quieren verlo, la masa es una medida de la resistencia al cambio de velocidad que tiene la partícula, ante las fuerzas que puedan ejercerse sobre ella. Ante la misma fuerza, A y B cambian su momento DE LA MISMA forma, sólo que al tener distinta masa, tendrán distinta aceleración.

Veamos de aplicar esa ecuación de movimiento a un caso simple: una partícula en un espacio unidimensional. Entonces:

Si conocemos la fuerza que se ejerce sobre la partícula, hay que resolver una ecuación diferencial de segundo orden: hay una derivada segunda de x respecto del tiempo. Tenemos que resolver:

Si pasamos la masa a la izquierda, tenemos lo que llamamos aceleración:

Integrando una vez en dt:

Como pasa al integrar, el resultado tiene una constante nueva, b, no determinada aún. Integramos de nuevo:

Así conseguimos expresar x en función del tiempo. Las dos constantes que aparecen se pueden asociar a las condiciones iniciales, en el tiempo 0 inicial. La constante c es la posición inicial de la partícula, y la constante b es su velocidad inicial. Todo esto lo conseguimos gracias a la segunda ley de Newton. Conocidas a (aceleración = fuerza constante / masa constante), b (velocidad inicial = dt/dx), c (posición inicial), podemos conocer la historia futura (y hasta pasada) de la partícula. Ese es el poder de la propuesta newtoniana. Si tuviéramos que trabajar en dos o tres dimensiones, sería similar. En vez de partir de px (la componente del momento lineal sobre el eje x), partiríamos del vector momento p, y tendríamos 3 ecuaciones diferenciales (o una ecuación diferencial vectorial):

Acá aparece algo nuevo, que ya Galileo mostró: la fuerza ejercida en el sentido x, es independiente de la fuerza ejercida en el sentido y, y lo mismo con el sentido z. Pero ésta división se hace cuando tenemos un sistema de coordenadas fijado al marco de referencia. No hay que olvidar que esa elección no es necesaria: la ley de Newton se expresa y es válida en forma vectorial, independientemente del sistema de coordenadas. Lo que importa es que se cumpla en el marco de referencia. Luego, en ese marco de referencia (nuestro laboratorio, por ejemplo), podemos elegir el sistema de coordenadas que queramos.
Tenemos que estudiar qué pasa cuando hay más de una partícula (cómo "funciona" un sistema de partículas), y encontrar otros ejemplos más complicados, donde las fuerzas ejercidas varían en el tiempo y en el espacio. Hay que ver qué hizo Galileo para tener marcos de referencia equivalentes. Para los que conocen algo de relatividad especial, se ve en las fórmulas de arriba que hay algo asimétrico: el tiempo se maneja de manera diferente a las demás coordenadas. Desde Newton, se ha tomado al tiempo como la variable independiente, la que "domina" la evolución del movimiento, siendo las variables espaciales una "consecuencia" del paso del tiempo. Pasaron algunos siglos e hizo falta el genio de Einstein para reconocer que la naturaleza no es tan sencilla, aunque ya en tiempos de Newton, el concepto de espacio y tiempo absoluto tuvo sus críticos, como el obispo Berkeley y Leibniz.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia