Angel "Java" Lopez en Blog

Septiembre del 2012


Publicado el 30 de Septiembre, 2012, 11:39

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En el tercer post de esta serie Espacios Topológicos vimos los axiomas/propiedades que esperamos de una topología. También apareció entorno:

llamamos entorno E de x a todo conjunto que contenga  A UN conjunto abierto que contenga a x

Quiero definir ahora: sistema de entornos de un punto x como el conjunto de todos los entornos de ese punto. Recordemos que llamamos punto a los elementos del conjunto X, que es el espacio base de nuestra topología. Conjunto abierto es todo elemento de T, la topología que estemos considerando sobre X. Es claro que dada una topología T y un elemento x de X, conocemos el sistema de entornos de x. Vemos hoy alguna propiedad que tiene el sistema de entornos.

Hay una que lo asemeja a la topología T. Lo enuncio como teorema

GT02: Toda intersección finita de elementos del sistema de entornos de x, pertenece a ese sistema de entornos

Veamos de demostrarlo. Sean U, V dos elementos del sistema de entornos de x. Esto es, son entornos que contienen a x. Como tales, cada contiene a un conjuntos abierto que contiene a x, digamos que son A y B, y su intersección sea C. Sea la intersección de U y V el conjunto W, que también contendrá a la intersección de A y B = C, que es un abierto, por ser la intersección de dos abiertos de la topología. C también contiene a x. Entonces, queda:

- Intersección de A y B es abierto = C
- C contiene a x
- Intersección de U y V = W
- W contiene al abierto C que contiene a x

entonces, W cumple con lo que se pide a un entorno de x. Esto demuestra el teorema para dos entornos U y V de x. Se puede completar la demostración usando inducción sobre la cantidad de entornos a intersectar. Escribo Ent(x) para designar al sistema de entornos de x (dada un espacio X y su topología T). Lo que nos dice el teorema, es que los elementos de Ent(x) se parecen a una topología: el conjunto es cerrado ante la operación de intersección finita. Es fácil ver también que:

GT03: Todo conjunto que contenga a un conjunto que pertenece a Ent(x) también pertenece a Ent(x)

Pues si U contiene a E, elemento de Ent(x), también contiene a x, y a un abierto que contiene a x. Entonces, U es entorno de x. Esto nos habilita a ver que toda unión de una familia arbitraria de Ent(x) también es elemento de Ent(x).  Si tomamos Y = Unión de todos los Ent(x), casi tenemos el espacio topológico (Y, Ent(x)). Notablemente, TODOS los conjuntos abiertos tienen al elemento x. Es en eso donde falla que sea un espacio topológico: el conjunto vacío no es un abierto.

Pero es interesante igual ver esa casi-topología: en muchos casos, nos dirá mucho sobre las propiedades de T en general. Un tema a estudiar: casos de propiedades locales a x (referentes a un x en particular) versus propiedades de todos los puntos x del espacio X. Podemos llamar a éstas propiedades globales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Septiembre, 2012, 16:20

Las matemáticas son mi tema preferido, y casi no pasa un día donde lea, estudie, trabaje sobre algún tema matemático. En este siglo, he vuelto ha interesarme en varias ramas de las matemáticas, y también me ha llevado a ellas el estudio de la historia, tanto de las matemáticas como de la física. En los últimos años, mi reencuentro con muchos de esos temas se debe a la lectura de "el Penrose" y a la reconsolidación de mis libros. El estudio de la física cuántica y sus fundamentos ha sido otro motivador para aprender y profundizar en todos estos fascinantes temas.

La actividad matemática es una actividad humana, y una donde ha habido todo tipo de personas, matemáticos, en la historia y en la geografía. Algunos destacan más que otros en la historia, pero no hay que olvidar que todo lo que hemos avanzado es, al fin, un logro colectivo. Ya escribí que pienso que la actividad matemática debería ser promovida por toda la sociedad (leer post Los matemáticos). Y en estos últimos años, donde la comunicación es más fluida, hay una efervescencia en la producción matemática, que constrasta con lo que pasaba hasta hace unos siglos: la actividad en solitario (recordemos a Fermat).

Sin embargo, hay matemáticos que se destacan en la historia moderna. Uno de ellos, es Gauss. Me lo encuentro cuando empiezo a trabajar en teoría de números, o investigar sobre el teorema fundamental del álgebra, o cuando comienzo a estudiar electromagnetismo, o cuando para estudiar tensores no cartesianos, me remonto a curvas y superficies, o cuando veo funciones de variable compleja, o estudio integrales. En todos esos puntos, me tropiezo, tarde o temprano, con Gauss. Es tiempo de comenzar una serie de posts sobre su trabajo, su vida y obra. No será una serie ordenada, solamente visitaré, en el orden que me parezca, temas biográficos o matemáticos.

Ya escribí sobre Gauss en mis posts:

Gauss y la importancia de los números complejos
Congruencias módulo m
Números Primos (4) Factorización Unica
Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell
Gauss y la Congruencia, por E.T.Bell

Hace unas semanas, comencé a leer sus Disquisitiones Arithmaticae, que encontré en el volumen sobre Gauss de la colección Grandes Pensadores, ed. Planeta-DeAgostini. Ese volumen tiene además una parte dedicada a la vida de Gauss, y otra a su obra. Leo ahí a Henry John Spencer Smith (1826-1885), matemático inglés:

Si exceptuamos el gran nombre de Newton (y Gauss mismo hubiera estado encantado de hacer esa excepción) es probable que ningún matemático de ninguna época ni país haya sobrepasado a Gauss en la combinación de una abundante fertilidad de invención con un rigo absoluto en las demostraciones que los mismos griegos antiguos deberían haber enviado.

Pienso que Euler fue más prolífico, pero Gauss fue más perfeccionista. Eso fue un obstáculo, muchas veces, a que publicara muchas de sus ideas y descubrimientos, por que se ponía altos estándares para darlos a conocer.

Es necesario admitirlo, sin menosprecio de la eminencia de grandes matemáticos como Euler y Cauchy, que se sintieron tan abrumados por la riqueza exuberante de sus propias creaciones y tan fascinados por el interés de los resultados a los que habían llegado, que no dedicaron demasiado tiempo a ordenar sus ideas en un orden estrictamente lógico o, incluso, en establecer con pruebas irrefutables lo que habían intuido y cuya verdad habían llegado a atisbar. Con Gauss el caso fue muy otro. Podría aparecer paradójico, pero, sin embargo, es probablemente cierto que precisamente el esfuerzo de la perfección lógica de la forma habría podido exponer los textos de Gauss a la carga de la oscuridad y la dificultad innecesarias. El hecho es que, a medida que los leemos en el espíritu sumiso de un escolar inteligente que se pone a leer a Euclides, no encontramos ni oscuridad ni dificultad en sus escritos.

Igual, ante esta claridad, leamos que escribe Smith a continuación:

Cualquier aseveración formulada se prueba completamente. Las proposiciones se suceden en perfecto orden analógico; no hay nada de lo que podamos quejarnos. Pero cuando hemos terminado la lectura, rápidamente empezamos a sentir que nuestro trabajo no ha hecho más que empezar, que nos encontramos justo a la entrada del templo y que hay un secreto tras el velo y que se nos está ocultando... ningún vestigio se manifiesta en el proceso por el que el resultado mismo se obtiene, quizá ni una traza de las consideraciones que sugirieron los pasos de la demostración. Gauss dice más de una vez que, por brevedad, da sólo una síntesis y que suprime los análisis de sus proposiciones. Pauca, sed matura ["poco, pero maduro"] fueron palabras con que se deleitó en describir el carácter que trató de imprimir a sus escritos matemáticos... Si, por otro lado, nos volvemos nuevamente hacia Euler, apreciamos una especie de elegancia libre y exuberante que nos habla del placer tranquilo que debió haber experimentado a cada paso en su trabajo; pero somos conscientes de que, sin embargo, nos hallamos a una distancia enorme de la severa grandeza de diseño, característica de cada uno de los enormes esfuerzos de Gauss. La crítica precedente, aunque justa, no debe parecer completamente trivial; por ser pensamiento, es bastante cierto que, en cualquier trabajo matemático, la sustancia es inconmensurablemente más importante que la forma, así que no puede dudarse que muchas memorias matemáticas de nuestro tiempo adolecen enormemente (si podemos atrevernos a decirlo) de cierta chapucería en los modos de presentación; y que (sea cual sea el valor de su contenido) se caracterizan por cierta ligereza y perdurabilidad, que contrastan fuertemente con la diamantina solidez y el claro modelado que (podemos estar seguros) mantendrán a los escritos de Gauss alejados del olvido, mucho tiempo después de que sus resultados y métodos más importantes hayan sido incorporados en tratados más fácilmente legibles y hayan entrado a formar parte del patrimonio común de todos los matemáticos. Y no debemos olvidar nunca que lo esencial de la ciencia matemática no sólo es descubrir nuevas verdades y nuevos métodos, sino también demostrarlos, a costa de tiempo y esfuerzo, sobre la base de un razonamiento irrefutable.

Interesante descripción del estilo Gauss. Muchos matemáticos, antes y después de Gauss, fueron menos exigentes a la hora de publicar sus hallazgos, y tal vez, como Euler, se deleitaron más en el descubrimiento que en la fundamentación adecuada de todo lo que escribían.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Septiembre, 2012, 11:14

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En el primer cuarto del siglo XX, los físicos comenzaron a explicar fenómenos apelando a un nuevo tipo de modelo. En lugar de seguir la física clásica (de Newton, llevada a nuevos niveles por matemáticos físicos como Laplace, Lagrange y Hamilton entre otros), tuvieron que apelar a nuevas relaciones para explicar los fenómenos. Planck, por ejemplo, para explicar el espectro de cuerpo negro, tuvo que incluir una constante nueva, la famosa h (constante de Planck). Einstein luego la reaprovecha, en 1905, para explicar fenómenos fotoeléctricos que no tenían explicación desde el punto de vista clásico. En la segunda década del siglo, Bohr propone y desarrolla su modelo atómico, donde trata de explicar lo extraño del espectro atómico: la presencia de rayas espectrales bien definidas: toda la física clásica (tanto newtoniana como el electromagnetismo clásico) iba en "contra" de su explicación, basada en imponer nuevas relaciones en las órbitas de los electrones. Finalmente, en 1923, de Broglie propone que no sólo la luz tiene ondas, sino también la materia, dando nacimiento a décadas de discusión sobre el significado físico, ontológico de esas ondas. De Broglie no pudo exhibir evidencia experimental, pero Einstein reconoció la importancia de sus ideas, y con el tiempo, éstas fueron confirmadas experimentalmente de forma dramática. Escribí algo de todo este desarrollo en mi post Hacia la física cuántica: notas de su historia.

Ese es el panorama que tenía enfrente Erwin Schrödinger cuando en 1925 comenzó a trabajar en su famosa ecuación. ¿Qué es lo que buscaba Schrödinger? Movido por de Broglie y la reacción de Einstein, se propone encontrar una función que explique el espectro atómico, generalizando lo que se conocía hasta entonces. Un objetivo similar se había ido alcanzando siguiendo las ideas de Heisenberg, y su mecánica matricial. Pero Schrödinger tenía otras ideas: vió una analogía entre la óptica y la mecánica, y se preguntó si, así como la óptica geométrica podía considerarse como el límite de la óptica ondulatoria, también la mecánica clásica podría ser el límite de una nueva mecánica ondulatoria. Gracias a esa intuición, Schrödinger llegó a desarrollar su ecuación. Inicialmente, trabajó varios meses tratando de encontrar una solución que fuera compatible con la relatividad, pero no consiguió progreso. Cuando relajó sus exigencias, pudo dar con una ecuación que explicaba lo que se conocía del átomo de hidrógeno, así como ejemplos más sencillos.

Pero ¿qué es buscar una ecuación? Schrödinger estaba en una posición similar a Newton, cuando buscaba una ecuación como:

Buscaba una ecuación diferencial, como la de Newton. Una ecuación diferencial da como resultado, no un valor, sino una función. En el caso de Newton, conseguimos una función que explique el movimiento de una partícula o sistema de partículas materiales, pudiendo dar sus posiciones y velocidades en función del tiempo. El tiempo era la única variable. De hecho, Newton considera muchas veces sólo derivadas en el tiempo: hasta su notación para derivada no especifica cuál es la variable independiente, sólo coloca un punto arriba de la función que se deriva (el dt de arriba es de la notación de Leibnitz). Pero para Schrödinger estaba claro que lo que necesitaba, como solución, era una ecuación de onda, que diera un valor que no depende de una sola variable: es una onda que "se esparce" en el espacio. La función dependerá entonces de la posición y el tiempo:

Como son varias variables independientes (r puede tomarse como un vector, y como variables independientes x, y, z), la ecuación buscada, una ecuación diferencial, tendrá derivadas, pero no como la de Newton que sólo tenía derivadas totales respecto de la variable t, sino que ahora habrá derivadas parciales, según la posición y según el tiempo. Las ecuaciones de onda no eran nuevas en física: ya se las conocía en física clásica, para explicar oscilaciones y cuerdas, y habían obtenido un nuevo impulso e importancia con su aplicación en la teoría del electromagnetismo, brillantemente formulada por Maxwell (basada, por supuesto, en el trabajo de otros, como Gauss, Ampere, y el gran físico intuitivo Faraday).
Recuerdo ahora a Dirac en mi post Erwin Schrödinger creando su ecuación, por P.A.M.Dirac

Las ideas de De Broglie se aplicaban solamente a electrones libres y Schrödinger se encontraba con el problema de modificar la ecuación de De Broglie para hacerla aplicable a un electrón moviéndose en un campo, en particular para aplicarla a electrones en átomos….

… Luego de trabajar en ese tema por un tiempo, Schrödinger pudo arribar a una ecuación, a una muy pura y bella ecuación, que parecía ser correcta desde un punto de vista general…

Pero no todo encajaba:

…Por supuesto, era necesario aplicarla para ver si funcionaría en la práctica. Schrödinger la aplicó al problema del electrón en el átomo de hidrógeno y pudo calcular el espectro del hidrógeno. Pero el resultado que obtuvo no estaba de acuerdo con el experimento. Esto fue decepcionante para Schrödinger.... Abandonó el tema por unos meses, según me dijo. Y entonces, después de todo, cuando él se repuso de esa decepción, retornó a su trabajo y notó que si él aplicaba sus ideas con menos precisión, no tomando en cuenta efectos debidos al movimiento relativístico del electrón, con esta menor precisión, su teoría coincidía con la observación.

Ahora bien, para obtener esta ecuación, podríamos seguir el mismo razonamiento que Schrödinger en su tiempo, pero su argumento es algo largo y oscuro. Hoy sabemos más, y podemos dar con la misma ecuación siguiendo un camino más directo. Pero una aclaración: ni Schrödinger ni nosotros ni nadie, puede DEDUCIR la ecuación, sino solamente dar una formulación con algún argumento de plausibilidad, y LUEGO, comprobarla con la realidad, mediante lo conocido, lo observado y lo experimentado.

Recuerdo a Richard Feynman de mi post Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman

... el gran momento histórico que marcó el nacimiento de la descripción cuántica de la materia fue cuando Schrödinger propuso su ecuación en 1926. Durante muchos años la estructura atómica interna de la materia había sido un gran misterio. Nadie había podido comprender qué era lo que mantenía unida la materia, por qué había ligadura química y especialmente cómo podía ser que los átomos pudieran ser estables…

… Aunque Bohr había podida dar una descripción de los movimientos internos de un electrón en un átomo de hidrógeno, la cual parecía explicar el espectro observado de la luz emitida por este átomo, la razón de que los electrones se movieran de este modo, seguía siendo un misterio. El descubrimiento que hizo Schrödinger de las ecuaciones del movimiento apropiado para los electrones en escala atómica suministró una teoría a partir de la cual se podía calcular cuantitavamente, en forma precisa y en detalle, los fenómenos atómicos. En principio, la ecuación de Schrödinger es capaz de explicar todos los fenómenos atómicos excepto aquellos en que interviene el magnetismo y la relatividad….

…Explica los niveles de energía de un átomo y todo lo referente a la ligadura química. Sin embargo, esto es verdad sólo en principio -muy pronto la matemática se hace demasiado complicada como para resolver exactamente algo más que los problemas más simples-. Unicamente los átomos de hidrógeno y de helio han sido calculados con gran precisión. Sin embargo, con diversas aproximaciones, algunas bastante burdas, se pueden comprender muchos aspectos referentes a los átomos más complicados y a la ligadura química...

Pero Feynman también escribe en la sección 16-1:

Cuando Schrödinger la escribió [la ecuación] por primera vez, dio una especia de deducción basada en algunos argumentos heurísticos y en algunas conjeturas intuitivas brillantes. Algunos de los argumentos que usó hasta eran falsos, pero no importa; lo único importante es que la ecuación fundamental da una descripción correcta de la naturaleza.

En la sección 16-5, luego de presentar la fórmula de una partícula que se mueve libremente, escribe:

¿De dónde lo obtenemos? De ninguna parte. No es posible deducirlo de nada que conozcan. Emergió de la mente de Schrödinger en su lucha por conseguir una comprensión de las observaciones experimentales del mundo real.

Tengo los "papers" originales de Schrödinger, en sus "Collected papers on wave mechanics", y puede que alguna vez los comente, pero no será el camino que seguiremos ahora. Esta serie de posts se basa en la exposición de Eisberg y Resnick, en su excelente libro: Física cuántica, átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas, que ya mencioné en mi post Estudiando Física Cuántica (1)

Otro libro que mencioné ahí, muy bueno también es "Fundamentos de mecánica cuántica" de Sidney Borowitz. El autor toma el camino de Schrödinger y es muy bueno para comenzar a entender su pensamiento, y el sentido de sus "papers" originales.

Como mencioné más arriba, Schrödinger recibe gran influencia de las ideas de de Broglie. Pero tengo algunas notas históricas sin completar. En el libro de Eisberg y Resnick, se recuerda un comentario de Debye, físico compañero de Schrödinger:

Entonces de Broglie publicó su artículo. En ese tiempo Schrödinger era mi sucesor en la Universidad de Zurich y yo estaba en la Universidad Técnica, que es un instituto federal, y tuvimos un coloquio juntos. Estuvimos hablando acerca de la teoría de de Broglie, coincidiendo en que no la entendíamos y que deberíamos pensar realmente sobre sus formulaciones y lo que significan. Invité a Schrödinger a que nos diera un coloquio sobre el tema y la preparación que realmente él hubiera obtenido. Existieron solamente unos cuantos meses entre su plática y sus publicaciones

Hubo un paso intermedio antes de comenzar a formular su ecuación. Schrödinger usó las ideas de de Broglie y de Einstein en un "paper" de 1926, sobre la teoría de los gases de Einstein. Leo en el excelente "Conceptual Developments of 20th Century Field Theories" de Cao, Sección 6.3 The birth of wave mechanics:

According to Schrödinger, the essential point of Einstein's new theory of a gas was that the so-called Bose-Einstein statistics was to be applied to the motion of gas molecules. In view of the fact that, in addition to Bose's derivation of Planck's law, there was also Debye's derivation, by applying `natural' statistics to the field oscillators or the degrees of freedom of radiation, Einstein's theory of a gas can also be obtained by applying the natural statistics to the oscillators of a wave field representing molecules. Schrodinger then asserted that `this means nothing else but taking seriously the de Broglie-Einstein wave theory of moving particles'

Como mencioné, esta serie se basará principalmente en el desarrollo que encuentro en el libro de Eisberg y Resnick. Pero no quiero olvidar de mencionar también a "Fórmulas elegantes", editado por Graham Farmelo (@grahamfarmelo en Twitter), donde hay un capítulo dedicado a la ecuación de Schrödinger, así como dos más dedicados a Planck, y a Dirac. En cambio, el "Sources of Quantum Mechanics" colección de "papers" editado por van der Waerden está más orientado a la rama matricial de Heisenberg. Un excelente libro que de alguna forma expone la síntesis de estas dos formulaciones es el "Principles of Quantum Mechanics" del propio Dirac.

En el próximo post, comenzaremos a dar una derivación de la ecuación, dando un argumento de plausibilidad de su forma.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Septiembre, 2012, 7:00

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Hay un libro de Aristóteles, la "Física", que junto con "Sobre el cielo", expone gran parte del pensamiento de este filósofo sobre la realidad física. En el libro segundo de ese libro, la primera sección se titula "La naturaleza y lo natural". Leo:

Algunas cosas son por naturaleza, otras por otras causas . Por naturaleza, los animales y sus partes, las plantas y los cuerpos simples como la tierra, el fuego, el aire y el agua —pues decimos que éstas y otras cosas semejantes son por naturaleza. Todas estas cosas parecen diferenciarse de las que no están constituidas por naturaleza, porque cada una de ellas tiene en sí misma un principio de movimiento y de reposo, sea con respecto al lugar o al aumento o a la disminución o a la alteración. Por el contrario, una cama, una prenda de vestir o cualquier otra cosa de género semejante, en cuanto que las significamos en cada caso por su nombre y en tanto que son productos del arte, no tienen en sí mismas ninguna tendencia natural al cambio; pero en cuanto que, accidentalmente, están hechas de piedra o de tierra o de una mezcla de ellas, y sólo bajo este respecto, la tienen. Porque la naturaleza es un principio y causa del movimiento o del reposo en la cosa a la que pertenece primariamente y por sí misma, no por accidente.

Me recuerda a la exposición de Monod sobre lo natural y lo artificial, al comienzo de su libro "Azar y necesidad". En ese texto, Monod ve que al examinar un martillo no encontramos ninguna causa interna de que sea martillo, sino las marcas en el metal y en la madera, provocadas desde afuera, que lo hicieron martillo. Es interesante ver que Aristóteles ve todo lo natural con algo de movimiento por sí mismo. Hoy vemos que el cambio está presente en todo lo material (ver Cosas y objetos), lo que no cambia no es material.

Digo «no por accidente» porque alguno, siendo médico, podría curarse a sí mismo ; pero no posee el arte de la medicina por curarse a sí mismo, sino que en este caso son por accidente un mismo hombre el que cura y el que es curado, y por eso en otras ocasiones pueden ser distintos. Ocurre lo mismo con cada una de las otras cosas producidas accidentalmente: ninguna tiene en sí el principio de su producción, sino que unas lo tienen fuera, en otras cosas, como la casa y cada uno de los demás productos manuales, y otras lo tienen en sí mismas, pero no por sí mismas, como son todas las que pueden llegar a ser accidentalmente causa para sí mismas.

De nuevo, aparecen los artefactos (casa, productos manuales) como no naturales.

Naturaleza es, pues, lo que se ha dicho. Y las cosas que tienen tal principio se dice que «tienen naturaleza». Cada una de estas cosas es una substancia, pues es un substrato y la naturaleza está siempre en un substrato . Y se dice que son «conforme a naturaleza» todas esas cosas y cuanto les pertenece por sí mismas, como al fuego el desplazarse hacia arriba; pues este desplazamiento no es «naturaleza», ni «tiene naturaleza», pero es «por naturaleza» y «conforme a 1a naturaleza».

Vemos que Aristóteles le asigna al fuego un movimiento hacia arriba, QUE ES PARTE de su naturaleza. Es en esta asignación de movimientos donde Aristóteles se detiene mucho, pero sin llegar a preguntarse por su causa, ya el movimiento es "por naturaleza". Tal vez acá vemos un nacimiento interrumpido de la moderna física y mecánica.

Ahora bien, hay cosas naturales para Aristóteles, y propiedades de esas cosas que son "por naturaleza". Es uno de los primeros en distinguir entre cosa y propiedad. En Metafísica (1015?) dice: "La naturaleza, en su sentido primario y fundamental, es la sustancia de los entes que tienen el principio del mo­vimiento en sí mismos en cuanto tales; pues la materia no toma el nombre de naturaleza sino porque es susceptible de recibir tal principio". La distinción entre cosa y propiedad le permite no hacer "de lo blanco" un existente, algo que existe, como en el mundo platónico.

Dice Aristóteles que "el desplazamiento" del fuego, entonces, no es "naturaleza", porque el movimiento no es un sustancia (yo traduzco hoy sustancia por cosa, no hay que ver en Aristóteles sustancia como "madera" o "metal" sino que un perro, un árbol, CADA UNO es una substancia; lamentablemente esa palabra tiene hoy otro significado que nos remite más a "de qué está hecho" algo). Pero ese movimiento es connatural con el fuego, es "por naturaleza", "conforme a la naturaleza". Aristóteles no puede imaginar a un fuego sin ese movimiento, es parte de lo que lo hace fuego.

Leo en la Stanford Encyclopaedia of Philosophy:

2.2. Aristotle's account of substance

donde aparece:

Aristotle's account in Categories can, with some oversimplification, be expressed as follows. The primary substances are individual objects, and they can be contrasted with everything else—secondary substances and all other predicables—because they are not predicable of or attributable to anything else. Thus, Fido is a primary substance, and dog—the secondary substance—can be predicated of him. Fat, brown, and taller than Rover are also predicable of him, but in a rather different way from that in which dog is. Aristotle distinguishes between two kinds of predicables, namely those which are "said of" objects and those which are "in" objects. The interpretation of these expression is, as usually with Aristotelian cruxes, very controversial, but a useful way of looking at it is as follows. Dog is said of Fido because it characterizes him as a whole. Fat and the others are described as being in because they pick out a constituent feature that could be said to be, in a logical though not a physical sense, part of, or in him. Fido the individual is not attributable to any further thing at all.

This account is intuitive, but perhaps it cannot be treated as a formally adequate definition of the notion of primary substance or individual. ...

y más abajo, está la otra aproximación a substancia:

The Categories sets out important logical distinctions between different kinds of attribute, but it does not enter into a metaphysical analysis of substance itself. This takes place mainly in Metaphysics, Book Z. In the latter, the analysis of substances in terms of form and matter is developed, whereas these notions have no place in Categories. The distinction has led some commentators to talk of Aristotle's "two systems", containing two radically different conceptions of substance. (Graham 1987) In the earlier, Categories, substances are simply individuals; in the later work they are complexes of form and matter. Whether this represents a change of view, or whether the purposes of the Categories simply did not require reference to the metaphysical analysis of substance is a moot point. It seems unlikely, however, given Aristotle's Platonic background, that his early thought was oblivious to the role of form in substance. Whichever interpretation of the development of Aristotle's thought is correct, the introduction of substantial form is what gives the fully developed Aristotelian account of substance.

Aristotle analyses substance in terms of form and matter. The form is what kind of thing the object is, and the matter is what it is made of....

Sigo leyendo a Aristóteles:

Queda dicho, entonces, qué es la naturaleza y qué es ser «por naturaleza» y «conforme a naturaleza». Que la naturaleza existe, sería ridículo intentar demostrarlo; pues es claro que hay cosas que son así, y demostrar lo que es claro por lo que es oscuro es propio de quienes son incapaces de distinguir lo que es cognoscible por sí mismo de lo que no lo es. Aunque es evidente que se puede experimentar tal confusión, pues un ciego de nacimiento podría ponerse a discurrir sobre los colores. Pero los que así proceden sólo discuten sobre palabras, sin pensar lo que dicen.

Acá afirma bastante. Pone "naturaleza" (la substancia, la cosa, lo que existe y sobre lo que se predica) y lo "por naturaleza" (las propiedades naturales de la substancia, la cosa), y los da por existentes. Es toda la afirmación del realismo. Ahora aparece el tema de la "materia primera":

Algunos piensan que la naturaleza o la substancia de las cosas que son por naturaleza es el constituyente primero en cada una de ellas, algo informe en sí mismo; así, la naturaleza de una cama sería la madera, y la de una estatua el bronce. (Signo de ello, dice Antifonte,  es el hecho de que si se plantase una cama y la madera en putrefacción  cobrase fuerza hasta echar un brote, no se generaría una cama, sino madera, lo que muestra que la disposición de las partes según las reglas y el arte sólo le pertenece accidentalmente, mientras que la substancia es aquello que permanece aunque esté afectado continuamente por esa disposición.) Y si la materia de cada una de estas cosas se encuentra asimismo en relación con otra (como el bronce o el oro con el agua, los huesos o la madera con la tierra, e igualmente cualquiera de las demás cosas), éstas sería su naturaleza y su substancia.

Acá aparece "substancia" más como la entedemos nosotros, como "materia constituyente". Algunos se atreven a poner una "materia primera" de todo:

Por eso algunos dicen  que la naturaleza de las cosas es el fuego; otros, que la tierra; otros, que el aire; otros, que el agua; otros, que varios de estos elementos; otros, que todos ellos. Porque de aquello que suponen que es la naturaleza de las cosas, sea uno o más, dicen que es, o que son, la totalidad de la substancia, y que todo lo demás son afecciones, estados y disposiciones suyas. Y afirman también que tal o tales substancias son eternas, pues en ellas no puede haber cambio desde sí mismas a otra cosa, mientras que todo lo demás nace y perece indefinidamente.

Aristóteles discute en otros lugares las posturas de los "físicos", como Tales y Anaximandro, que proponen estas soluciones a la realidad. También conocía a Demócrito. Hoy, la ciencia física sigue persiguiendo la descripción de la realidad en partes constituyentes, en "ladrillos básicos", donde todo lo demás surge de "afecciones, estados y disposiciones suyas".

De nuevo, aparece "materia primera" y "forma":

Así, en un sentido se llama naturaleza a la materia primera que subyace en cada cosa que tenga en sí misma un principio del movimiento y del cambio. Pero, en otro sentido, es la forma o la especie según la definición. Porque, así como se llama «arte» lo que es conforme al arte y a lo artificial, así también se llama «naturaleza» lo que es conforme a la naturaleza y a lo natural. Y así como no diríamos de algo que es conforme al arte, o que es arte, si sólo fuera una cama en potencia y no tuviese todavía la forma específica de la cama, tampoco lo diríamos de lo constituido por naturaleza , pues lo que es carne o hueso en potencia, ni tiene todavía su propia «naturaleza» antes de tomar la forma específica según la definición, determinando la cual decimos que es carne o hueso, ni es «por naturaleza». Así, en este otro sentido, la naturaleza de lo que tiene en sí mismo el principio del movimiento sería la forma o la especie, la cual sólo conceptualmente es separable de la cosa. En cuanto a lo que está compuesto de materia y forma, por ejemplo un hombre, eso no es naturaleza, sino «por naturaleza».

Es en toda esta exposición donde veo que Aristóteles no llega a ser totalmente claro, y se enreda. Hay que entender que trata de ver que cada cosa en la que se detiene, tiene forma y materia. Pero eso lo sabemos de otros escritos. No siempre un texto aislado tiene la fuerza y la claridad para exponer eso. Pero también todo esto es discutible: mucho de lo que se interpreta de Aristóteles depende de leer y basarse en obras diferentes, como hace más arriba el texto en inglés que presenté. También hay que tener en cuenta que algunas expresiones en griego no tienen una traducción evidente en un idioma moderno, y que las palabras que usamos (como en el caso que mencioné de "substancia") hoy en nuestro contexto tienen un significado distinto. Ahora Aristóteles aclara un poco su posición:

La forma es más naturaleza que la materia, porque decimos que una cosa es lo que es cuando existe actualmente más que cuando existe en potencia.

Tal vez convendría mejor decir: la forma y materia es más naturaleza que materia, porque en cada cosa están la dos: la carne del perro, y la forma del perro. Hoy lo que vemos es que cada cosa está compuesta de otras, y lo que es el perro Fido es un sistema de cosas, no sólo materia "carne" y forma "perro" puestos en una cosa particular. El afán clasificador de Aristóteles lo lleva a las categorías forma y materia.

Sigue aclarando:

Además, un hombre nace de un hombre, pero una cama no nace de una cama; por eso se dice que la naturaleza de una cama no es la configuración, sino la madera, porque si germinase no brotaría una cama, sino madera. Pero aunque la madera sea su naturaleza, también la forma es naturaleza, porque el hombre nace del hombre.

Pone en cada cosa forma y materia, esta vez agregando "hombre nace de un hombre", en contraste de cama como fruto de una actividad humana, como artefacto. Aristóteles es un gran biólogo, como hijo de médico que era. Acá expresa, de alguna manera, que la "forma" de un hombre se la da otro hombre. La "forma" de un martillo no se lo da otro martillo. En los ejemplos biológicos como éste, Aristóteles prefigura su idea de "en potencia" y "en acto", como cuando menciona semilla como árbol en potencia. Aparece otra fuente de sus ideas sobre el cambio.

Sigue sobre el tema de la generación, terminando esta sección:

Además, la naturaleza entendida como generación es un proceso hacia la naturaleza <como forma> . Porque la naturaleza como proceso no es como la acción de medicar, la cual se dirige a la salud, no al arte de la medicina (pues la medicación, que proviene necesariamente del arte de medicar, no se dirige hacia él); pero la naturaleza como proceso . no está referida a la naturaleza <como forma> de la misma manera, pues lo que está creciendo, en tanto que está creciendo, va de algo hacia algo. ¿Hacia qué está creciendo? No hacia aquello de donde proviene, sino hacia aquello a lo cual va. Luego la forma es naturaleza.

Pero como la forma y la naturaleza se dicen en dos sentidos, y la privación es de alguna manera forma, habrá que examinar más adelante  si la privación es un contrario en la generación absoluta o no lo es.

Hay que interpretar a Aristóteles. Pero lo veo como "naturaleza como generación", en el caso de la semilla, como un "proceso hacia la naturaleza <como forma>", como árbol. Pero yo hubiera intentado ser más claro ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 20 de Septiembre, 2012, 15:19

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Ahora viene una parte interesante, por los detalles personales sobre la vida de Dirac, que cuenta Pais: su matrimonio, su recuerdos de infancia, su relación con su padre y su madre, sus hijos:

Ahora iré a un resumen de los trabajos siguientes de Dirac, pero primero haré algunos comentarios sobre su vida personal en los años treinta.

En 1933, Dirac recibió el Premio Nobel 'por su descubrimiento de nuevas y fértiles formas de la teoría atómica y sus aplicaciones' compartiendo el premio con Schrodinger. Al principio él estaba inclinado a rechazar el premio porque no le gustaba la publicidad, pero entonces Rutherford le dijo: "Un rechazo te dará más publicidad", y entonces Dirac aceptó. En ese tiempo él había cesado todo contacto con su padre, así que sólo fue con su madre a Estocolmo, donde dió su conferencia Nobel.

Para su costernación, el Premio Nobel hizo de Dirac una persona pública. Un periódico de Londres lo caracterizó como 'tan tímido como una gacela, y tan modesto como una mucama victoriana', y lo llamó 'el genio que teme a todas las mujeres'.

Bueno, no a todas.

Como mencioné antes, Dirac estuvo en Priceton durante el año académico de 1934-5. Ese otoño, Eugene Wigner (1902-95), profesor de física en la Universidad de Princeton, recibió la visita de su hermana, Margit Wigner Balasz (Manci para sus amigos), que vivía en su Budapest nativa. Manci y Paul se encontraron. 'El me hablaba de su difícil, yo diría muy difícil, infancia. Le conté sobre la mía que también me había dejado memorias tristes sobre mi infeliz matrimonio'. En el verano de 1935 Paul visitó a Manci en Budapest. Manci ha escrito una amorosa y tierna descripción de su noviazgo. Se casaron el 2 de enero de 1937. 'Así que comenzamos un matrimonio victoriano a la antigua'. Paul dejó sus cuartos de solter en el St.John's College. La pareja se mudó a una casa sobre la Avenida Cavendish, que fue donde los encontré por primera vez. Estaban acompañados por los dos hijos de Manci de su anterior matrimonio, Judith y Gabriel (1925-94) - quien llegó a ser un distinguido matemático - quienes adoptaron el nombre Dirac. Paul y Manci tuvieron dos hijas, Mónica (nacida en 1940), y Florence (nacida en 1942). 'Paul, aunque no era un padre dominante, se mantenia a distancia de sus hijos'. Luego de la muerte del padre de Dirac en 1936, Paul escribió a Manci: 'Me siento más libre ahora'. Su madre se convirtió en frecuente visitante de la casa de Avenida Cavendish. Fue ahí donde ella murió, en 1941.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 18 de Septiembre, 2012, 9:54

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Quiero demostrar algunos resultados básicos de dividir números en factores primos. En todo el post, p designará a un número primo. Sin perder generalidad, me limitaré a trabajar con números enteros positivos. Algo ya mostré en Factorización Unica en el Anillo de Enteros, pero hoy sigo un camino diferente.

Primero, veamos que si a, b son naturales, distintos de cero, menores que p, entonces p no divide al producto ab.

Sea a > 0 un número como el descripto, a < p. Sea B el conjunto de los b > 0, b < p tales que ab sea divisible por p. O bien B es vacío, con lo que demostramos el teorema, o bien B tiene elementos, y tomamos el menor (éste es el resultado previo en el que me baso: todo conjunto de enteros positivos tiene un elemento que es menor que todos los demás elementos del conjunto). Llamémosle b.

Supongamos ab es divisible por p, es decir, existe k tal que kp = ab. k no puede ser 1, porque entonces a y b dividirían a p primo, contradicción. Como b < p, tomemos el conjunto de todos los números p - bn (n entero cualquiera). Habrá enteros positivos en ese conjunto, y habrá el menor, llamémosle r. Ese número cumple para algún m

p - bm = r

siendo

r < b

pues si r >= b, sería

p - b(m+1) = r-b = r'

otro número positivo, elemento del conjunto {p - bn} que sería menor que r, contra lo supuesto (tomé a r como el menor positivo de ese conjunto). Esto es una demostración rápida del teorema del resto, basado en esa propiedad fundamental de los naturales: tener un mínimo en cualquier conjunto no vacío.

Bueno, tengo entonces r, b, m tales que:

p - bm = r

Multiplico ambos términos por el a dado de antes:

ap - abm = ar

Pero supuse que ab es múltiplo de p, es decir, existe k tal que

ab = kp

Sustituyendo ab por kp en el anterior resultado, me queda:

ap - kpm = ar
(a-km)p = ar > 0 (por ser a > 0, r > 0)

Es decir, ar es múltiplo de p, con 0 > r < p,  r < b. Pero había supuesto que b era el menor número tal que ab era múltiplo de p. Llego a contradicción. Entonces, para los 0 < a < p, 0 < b < p, nunca se da que ab sea múltiplo de p. Este resultado ya lo demostró Euclides, y es el puntapié para seguir avanzando con las propiedades de dividir por primos. Vean que la clave se basó en encontrar contradicción, al asumir que existen b, tomar el menor, y llegar a obtener otro menor que él que cumplía con las mismas propiedades. Encuentro una demostración así en las Disquisitiones Arithmaticae de Gauss, al principio de la segunda sección.

Extendamos el resultado, a números que no necesariamente son menores que p. Pues ahora, sean a, b enteros positivos cualesquiera, no divisibles por p. Entonces, p no divide al producto ab. Pues entonces:

a = mp + r    0 < r < p
b = m'p + r'   0 < r' < p

por el teorema del resto. Queda:

ab = (mp + r) (m'p + r') = (mm'p +mr' + m'r)p + rr'

Pero por el teorema anterior, rr' nunca es múltiplo de p, entonces ab tampoco es múltiplo de p. Esta vez, la demostración se basó en llevar el problema general (a, b cualesquiera) al problema menos general (r, r' menores que b). Es mapear el resultado sobre los restos mínimos (0 < r < p), a los demás números. De alguna manera, al demostrar el resultado anterior sobre restos mínimos, ahora estamos viendo que el resultado se aplica "automáticamente" a todos los demás números que tienen resto mínimo distinto de 0.

Como corolario queda que si p no divide al número a, y p divide al producto ab, entonces p divide a b. Pues si no dividiera a b, llegaríamos, por lo anterior, a que no divide al produco ab, contra lo supuesto.

Vean todo lo que podemos obtener del primer resultado. Con un poco más de trabajo llegamos que todo número se factoriza de una manera única (salvo reordenamientos) de factores primos. Primero, siempre podemos descomponer en factores primos a cualquier número n. Pues si no es múltiplo de ninguno, n es primo. Si es múltiplo de a, podemos poner n = aN, y descomponer al número a y al número N en más factores. Sólo nos detenemos si llegamos a primos. Ahora hay que demostrar que la factorización obtenida es única. Pues si

n = pN = qM    siendo p, q primos

entonces p divide a n, p no divide a q, quedando que p divide a M. Proseguimos la factorización de M, de la misma forma, buscando siempre en partirlo en dos factores, y uno por lo menos, debe ser divisible por p. Seguimos la factorización, y tenemos que llegar a un final, p dividiendo a un solo factor indivisible m. Ese m tiene que ser p (esta es una demostración rápida; otro camino más riguroso es apelar a la inducción completada, basada en la cantidad de factores primos de M). Conclusión, si n tiene dos factorizaciones pN, qM, ambas tienen un factor p, que podemos retirar. Luego proseguimos de la misma forma, con cada factor primo que nos quede. Las factorizaciones obtenidas van decreciendo en factores, y queda que todas comparten los mismos primos. Pues si una de las factorizaciones en primos fuera más larga que la otra, y como en cada paso del algoritmo mostrado estamos retirando UN SOLO factor primo de cada una, llegaríamos a algo como:

1 = M'

con M' teniendo varios factores primos remanentes, lo cual es imposible.

Fue, entonces, una demostración rápida de:

- n es siempre factorizable en factores primos
- dos factorizaciones primas cualesquiera de n tienen la misma cantidad de factores primos
- dos factorizaciones primas cualesquiera de n comparten todos sus factores

Vean que hay que tener cuidado en la demostración, de no olvidar demostrar TODOS estos puntos. Un matemático en general, juega a las matemáticas (y a los números primos) sin tener tanto cuidado en cada paso. Sólo al escribir y desarrollar la demostración hay que empezar a ser detallista. Puede que en otros posts me dedique más a jugar, a enunciar rápidamente, que a detenerme en todos los detalles de una demostración. Me sirve este post como entrenamiento en el detalle.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Septiembre, 2012, 6:01

Ya varias veces escribí sobre Albert Einstein, ver:

Albert Einstein por Roger Penrose
Einstein y la Academia Olimpia
Einstein: Matemáticas y Realidad
Einstein y la Religión
Einstein y Planck, Primer Contacto
Einstein: Física Teórica, Leyes y Principios
Einstein vs Bohr, Heisenberg y otros, por Mario Bunge
El Gran Misterio, por Einstein e Infeld
Einstein, el "ruso"
Einstein buscando trabajo
Física y Matemáticas, según Einstein
La espera de Einstein
Einstein y su artículo sobre inercia y energía
Einstein: Ciencia más allá de la guerra

En estos últimos meses he estado estudiando bastante física y su historia, topándome con temas de mecánica clásica, relatividad y cuántica. Y en muchos de esas exploraciones y lecturas, me he topado con el trabajo de Einstein, su vida, obra y pensamiento. Es tiempo de comenzar a escribir sobre ellos, aunque de forma no ordenada. Si meditara cuál es el mejor orden para presentarlos, tardaría más que en escribirlos. Así que hoy comienzo una serie sobre esos temas: pensamiento, obra, vida de Einstein. Probablemente una presentación de la teoría de la relatividad, en detalle, amerite una serie de posts aparte. Pero por ahora, comencemos por el científico y el hombre.

Esta semana, he vuelvo a leer el libro "El significado de la relatividad", que no parece haber sido inicialmente un libro, sino una serie de conferencias. Yo tengo una edición en español de Planeta-Agostini, serie "Obras Maestras del Pensamiento Contemporáneo", pero hay también una edición de Austral. Lean una revisión del libro en:

El significado de la relatividad (Albert Einstein)

Leo ahí:

ahora tengo incluso dos ediciones de este magnífico texto de Einstein que comprendo perfectamente. Lo que no es ninguna hazaña ya que los textos de este genial físico son una delicia. En este caso se trata de unas conferencias de introducción a las teorías especial y general de la relatividad, con algunos añadidos interesantes del trabajo de Einstein en el campo unificado o de la resolución del problema cosmológico. Como digo da gusto leer a Einstein por su claridad, precisión, el manejo que hace de los argumentos heurísticos y la profundidad de sus razonamientos en la interpretación física de la teoría.

Coincido. Es un gusto leer ese libro, al que también tardé un tiempo en comprender. Ahora, que ya manejo mejor tensores, puedo leer directamente al propio Einstein, explicando claramente sus ideas y teoría.

Quiero compartir un párrafo, del primer capítulo, que expone el pensamiento de Einstein:

La única justificación de nuestros conceptos y sistema de conceptos reside en el hecho de que son útiles para representar el complejo de nuestras experiencias; pero fuera de ello no poseen otro título de legitimidad. Estoy convencido de que ha sido perjudicial la consecuencia que ha tenido en el progreso del pensamiento científico, el empeño de los filósofos de sacar fuera del dominio del empirismo ciertos conceptos fundamentales, trasladándolos así de este dominio, que está bajo nuestro control, a las alturas intangibles de lo apriorístico. Admitiendo que el universo de ideas no puede ser deducido de la experiencia por un método lógico sino que, por el contrario, es una creación de la mente humana, sin la cual no es posible la Ciencia, aun así resulta que este universo de ideas es tan dependiente de la naturaleza de nuestras experiencias como la forma de los vestidos que usamos es dependiente de la forma de nuestros cuerpos. Eso es particularmente aplicable a nuestros conceptos de tiempo y espacio, a los cuales los físicos se han visto obligados, por los hechos, a hacerles descender del Olimpo de lo a priori, con el objeto de modificarlos de modo que puedan prestar servicios útiles.

Gran parte de ese trabajo de "hacer descender del Olimpo" a conceptos como espacio y tiempo "absolutos", dados "a priori", ha sido fruto de la obra de Einstein. No tenemos que confundir nuestras capacidades mentales, que están armadas, "cableadas" para manejarnos de una forma, con lo que es la realidad. Es la ciencia la que nos ha permitido avanzar en ese modelado de la realidad, proponiendo modelos y poniéndolos a prueba. Pero siempre hay que recordar que los modelos son modelos humanos. Me gusta la imagen del vestido: el cuerpo es la realidad, y el vestido son nuestras ideas, que cuando seguimos el camino científico, se van adecuando, más o menos, a lo que encontramos en la realidad. Veo en el párrafo de arriba una crítica a Kant, pero para aliviarla, se puede reinterpretar las categorías de este filósofo como categorías de nuestra mente, adaptadas a algo que existe en la realidad. Otro objetivo del párrafo de Einstein es Newton. Menciona en este libro la postura de Mach, también crítica de espacio y tiempo absolutos.

Alguien que también se "pelea" con Kant, es Gauss. Tanto Gauss como Einstein pusieron a las geometrías no euclidianas como posibles modelos de la realidad física.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Septiembre, 2012, 8:03

Hace un tiempo escribí sobre la biografía de Einstein escrita por Abraham Pais en Albert Einstein por Roger Penrose, donde comenté el prefacio de Roger Penrose (al que debería volver en algún post futuro). Pais fue un físico activo que también tuvo talento para la biografía científica. Entre sus libros hay una biografía de Niels Bohr, que no he leido. Pais escribe en la introducción de su biografía de Einstein, esta descripción de sus propios primeros años en física:

Nací en 1918 en Amsterdam. En 1941 recibí mi doctorado [PhD] con León Rosenfeld en Utrecht. Algún tiempo después me escondí en Amsterdam [en tiempos de la segunda guerra mundial]. Eventualmente fui capturado y enviado a la prisión de la Gestapo. Aquellos que no fueron ejecutados fueron liberados luego del día VE [VE Day, Victory in Europe Day]

Vean cómo en pocas frases, porque no es el tema del libro, describe todo un tiempo de persecución y terror. Y acá llega el encuentro con Bohr:

Inmediatamente después de la guerra apliqué para una beca de post-doctorado en el instituto Niels Bohr de Copenhague y en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton donde esperaba trabajar con Pauli. Fui aceptado en ambos lugares y primero fui un año a Copenhague. Pronto después de eso trabajé con Bohr varios meses.

Inserta aquí lo que escribió sobre esos tiempos en su libro "Niels Bohr":

Debo admitir que durante las etapas tempranas de mi colaboración, gran parte del tiempo no seguía la línea de pensamiento de Bohr, y muchas veces me encontraba desconcertado. Yo fallaba en ver la relevancia de sus comentarios como el que describía que Schrodinger estaba sorprendido ['shocked'] en 1927 cuando se le describió la interpretación probabilística de la mecánica cuántica, o aquel que refería a alguna objeción de Einstein de 1928, todos comentarios que al parecer no tenía ninguna relación con el tema que estábamos tratando. Pero no pasó mucho tiempo para que la niebla se fuera disipando. Comencé a captar no sólo el hilo de argumentación de Bohr sino también su propósito. Así como en muchos deportes el jugador hace ejercicios de precalentamiento antes de entrar en juego, así Bohr revivía las luchas que tuvieron lugar antes de que el contenido de la mecánica cuántica fuera comprendido y aceptado.

Destaco lo que escribe a continuación:

Yo puedo decir que en la mente de Bohr esa lucha recomenzaba en cada nuevo día. Esto era, estoy convencido, la fuente inextinguible de la identidad de Bohr. Einstein aparecía siempre como su compañero espiritual - aún después de su muerte, él seguía argumentando con Einstein como si estuviera vivo.

Ya habían pasado años desde esas luchas, y Bohr seguía atacando y defiendo su postura y sus ideas. Notable.

Posts relacionados: estoy traduciendo un artículo de Pais, ver Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham  Pais. Alguna vez tendré que comentar mi primer encuentro con un trabajo de Pais, en las Lectures de Feynman.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 14 de Septiembre, 2012, 13:02

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Bueno, lo prometido es deuda. Estos son mis enlaces más actuales sobre el tema, con la conjetura ABC como "tema caliente". Les recomiendo el segundo enlace de abajo, el "paper" de Barry Mazur explicando y poniendo en contexto esa conjetura, que tanta historia y alcance tiene en la teoría de números (hasta se relaciona con el último teorema de Fermat)

The Ax-Grothendieck Theorem According to Category Theory
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/the_axgrothendieck_theorem_acc.html

Questions about Number
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf
Barry Mazur

Philosophy behind Mochizuki"s work on the ABC conjecture
http://mathoverflow.net/questions/106560/what-is-the-underlying-vision-that-mochizuki-pursued-when-trying-to-prove-the-abc/106658#106658

Mochizuki on ABC
http://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/

Proof of the abc Conjecture?
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5104
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561

Posible demostración de la veracidad de la conjetura ABC
http://gaussianos.com/posible-demostracion-de-la-veracidad-de-la-conjetura-abc/

Math/Maths 111: A Domino Computer on a Penrose Tiling
http://pulse-project.org/node/449

abc conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture

Mathematician Claims Proof of Connection between Prime Numbers
http://news.yahoo.com/mathematician-claims-proof-connection-between-prime-numbers-131737044.html

Limerick primes
http://www.johndcook.com/blog/2011/03/08/limerick-primes/

Egor Ivanovich Zolotarev
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Zolotarev.html

A look at a few Tripos questions VI
http://gowers.wordpress.com/2012/05/11/a-look-at-a-few-tripos-questions-vi/

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html

Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 4: Enteros positivos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-espanola-2012-problema-4-enteros-positivos/

On the Infinitude of the Prime
Numbers — Euler"s Proof
http://www.mathcelebration.com/PDF/InfPrimesScreen.pdf

Axel Thue
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Thue.html

Diophantine Equations
http://www.h2g2.com/approved_entry/A964956

The Number of the Beast
http://www.cadaeic.net/666.htm

Rationality of the zeta function mod p
http://sbseminar.wordpress.com/2011/12/12/rationality-of-the-zeta-function-mod-p/

Why isn"t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
http://gowers.wordpress.com/2011/11/13/why-isnt-the-fundamental-theorem-of-arithmetic-obvious/

Fermat Pseudoprime
http://mathworld.wolfram.com/FermatPseudoprime.html

John Leech
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leech.html

Mis enlaces
http://delicious.com/ajlopez/numbertheory

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Septiembre, 2012, 5:40

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En estos días estoy leyendo algunos trabajos de Gauss, al que llegué ahora por mi resolución de estudiar teorías gauge. Y una de sus obras, la primera y muy importante, es su Disquisitiones Arithmeticae, donde aborda temas de lo que llama "Aritmética Superior" y lo llamamos teoría de números. Hoy quiero compartir estos enlaces, sobre el tema. En unos días publicaré una segunda tanda, donde incluyo un tema "caliente" en estos días que es la conjetura ABC. Tengo que seguir escribiendo mi serie sobre números primos y completar mi discusión sobre la factorización en factores primos (sólo trabajé con el anillo de enteros). Y alguna vez, quisiera escribir una serie sobre el teorema de Fermat. Tantos temas, una sola vida ;-)

http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory

Number theory (or arithmetic[note 1]) is a branch of pure mathematics devoted primarily to the study of the integers. Number theorists study prime numbers as well as the properties of objects made out of integers (e.g., rational numbers) or defined as generalizations of the integers (e.g., algebraic integers).

Integers can be considered either in themselves or as solutions to equations (diophantine geometry). Questions in number theory are often best understood through the study ofanalytical objects (e.g., the Riemann zeta function) that encode properties of the integers, primes or other number-theoretic objects in some fashion (analytic number theory). One may also study real numbers in relation to rational numbers, e.g., as approximated by the latter (diophantine approximation).

Disquisitiones arithmeticae
http://books.google.com/books/about/Disquisitiones_arithmeticae.html?id=8LcK_CwzMpQC
http://en.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae

Short Sharp Science: Deceptive puzzle may be solved after 74 years
http://www.newscientist.com/blogs/shortsharpscience/2011/06/simple-number-puzzle-possibly.html

Posible demostración de la conjetura de Collatz
http://gaussianos.com/posible-demostracion-de-la-conjetura-de-collatz/

I used Collatz sequence as a simple example
http://ajlopez.wordpress.com/2010/12/13/azure-multithreads-in-worker-role-an-example/
http://ajlopez.wordpress.com/2010/02/18/agents-in-ajsharp-part-2/

Proizvolov's Identity
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/ProizvolovGame.shtml

Números y algo mas...: 719 - Los números brasileños
http://simplementenumeros.blogspot.com/2011/06/719-los-numeros-brasilenos.html

Números y algo mas...
http://simplementenumeros.blogspot.com/

Fürstenberg's proof of the infinitude of primes
http://en.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCrstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes

Elon Lindenstrauss and Israel"s Successes in Math
http://www.tabletmag.com/news-and-politics/72840/number-theory/

Counting the number of solutions to the Erdös-Straus equation on unit fractions
http://terrytao.wordpress.com/2011/07/31/counting-the-number-of-solutions-to-the-erdos-straus-equation-on-unit-fractions/

Fermat's Last Th, n=3 -- Euler's (wrong) proof of Fermat's Last Theorem for n=3
http://2000clicks.com/mathhelp/NumberFermatsLastThCubesEuler.aspx

E241 -- Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E241.html
I found a demostration of this theorem in my last sabbatical week!!!!!! ;-)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/05/21/cinco-al-hilo.html

E98 -- Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E098.html

Euler's four-square identity
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity

Sum of Squares Function
http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Fermat's theorem on sums of two squares
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

How Euler Did It 26 factors of forms.pdf
http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2026%20factors%20of%20forms.pdf

Euler's factorization method
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_factorization_method

Brahmagupta–Fibonacci identity
http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity

Quadratic reciprocity
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity
Ever decade I come back to this topic

Beal's conjecture
http://www.bealconjecture.com/

Gauß, Eisenstein, and the ``third'' proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel
http://isis.nmsu.edu/~history/schauspiel/schauspiel.html

The Historical Development of the Law of Quadratic Reciprocity
http://www.duke.edu/~hdp2/MathHistory2.pdf

Ideal class group
http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_class_group

¿Quién no tiene una demostración de la conjetura de Goldbach?
http://gaussianos.com/%c2%bfquien-no-tiene-una-demostracion-de-la-conjetura-de-goldbach/

El final de la historia sobre la naturaleza de M67
http://gaussianos.com/el-final-de-la-historia-sobre-la-naturaleza-de-m67/

Dedekind domain
http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_domain

Sphenic number
http://en.wikipedia.org/wiki/Sphenic_number

New math theories reveal the nature of numbers
http://www.physorg.com/news/2011-01-math-theories-reveal-nature.html

El Teorema de Roth
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/posgrado/masterruiz.pdf

New math theories reveal the nature of numbers
http://www.physorg.com/news/2011-01-math-theories-reveal-nature.html

How many numbers are squares mod m
http://www.johndcook.com/blog/2008/11/19/how-many-numbers-are-squares-mod-m/

What is the knot associated to a prime?
http://www.neverendingbooks.org/index.php/what-is-the-knot-associated-to-a-prime.html
Knots, another topic from my last sabbatical week. I should write a post! ;-)

Pell's equation
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Pell.html

Solvin the Pell Equation
http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf

Pell's equation
http://www.ieeta.pt/~tos/pell.html

Amazon.com: Combinatorics, Automata and Number Theory (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) Valérie Berthé, Michel Rigo: Books
http://www.amazon.com/Combinatorics-Automata-Encyclopedia-Mathematics-Applications/dp/0521515971

Algunas fracciones continuas interesantes | Gaussianos
http://gaussianos.com/algunas-fracciones-continuas-interesantes/?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+gaussianos+%28Gaussianos%29

The Ulam Spiral
https://bitbucket.org/ctkrohn/ulam/wiki/Home

Fracción continua, o cuál es la mejor aproximación
http://gaussianos.com/fraccion-continua-o-cual-es-la-mejor-aproximacion/

La cuadratura del rectangulo
http://gaussianos.com/la-cuadratura-del-rectangulo/

Deterministic methods to find primes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2010/09/21/a-deterministic-way-to-find-primes/

Perfect number
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number
This topic was one of my first encounter with mathematics

No odd perfect number found yet, but:
Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos
http://gaussianos.com/un-numero-perfecto-impar-debe-tener-al-menos-tres-factores-primos/

Ecuación en enteros
http://gaussianos.com/ecuacion-en-enteros/

El número plateado
http://gaussianos.com/el-numero-plateado/

196 and Other Lychrel Numbers
http://www.p196.org/

Lychrel number
http://en.wikipedia.org/wiki/Lychrel_number

Fundamental groups and Diophantine geometry
http://www.ucl.ac.uk/~ucahmki/leeds.pdf
Group theory, another fascinating topic

Kim on Fundamental Groups in Number Theory | The n-Category Cafe
http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/03/kim_on_fundamental_groups_in_n.html

The music of primes
http://www.musicoftheprimes.com/index.htm

Euler's Totient Function
http://uva.onlinejudge.org/external/110/11073.html

Grytczuk, Wójtowicz: On a Lehmer problem concerning Euler's totient function
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1116443716

Totient Function
http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

Mis post sobre la función indicatriz de Euler ("totient function")
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/06/30/la-funcion-indicatriz-de-Euler-primero.html
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/07/19/una-propiedad-de-la-indicatriz-de-Eule.html

A remark on partial sums involving the Möbius function
http://terrytao.wordpress.com/2009/08/30/an-elementary-inequality-involving-the-mobius-function/

The Surprises Never Eend: The Ulam Spiral of Primes : Good Math, Bad Math
http://scienceblogs.com/goodmath/2010/06/the_surprises_never_eend_the_u.php

Lattices and their invariants « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/

Marker lecture III: "Small gaps between primes"
http://terrytao.wordpress.com/2008/11/19/marker-lecture-iii-small-gaps-between-primes/

Finding primes - Polymath1Wiki
http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

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Publicado el 10 de Septiembre, 2012, 6:27

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En el último siglo (y algo más) los matemáticos han comenzado a dar importancia a las estructuras, y tratan de generalizar los resultados que obtienen en ámbitos más restringidos. Lo que estamos viendo como espacio vectorial es producto de este afán generalizador. Hemos visto en los anteriores posts que hay muchos ejemplos de espacio vectorial, algunos sin mucha relación entre sí. Pero lo importante es que el haber destilado las propiedades que tiene que tener un espacio vectorial, esta definición de estructura ha resultado fructífera. En general, el definir y estudiar una estructura genérica, es bueno si su definición es lo bastante adecuada para englobar los casos más interesantes de los que deriva. Y el tener una estructura abstracta, basada en sus axiomas (propiedades iniciales que tiene que cumplir), permite separar la paja del trigo, e ir descubriendo qué es lo que importa de esa estructura, qué es lo que la hace especial, interesante e importante.

En el caso de los espacios vectoriales, lo importante es que permiten manejar casos más allá de los simples números (reales, complejos), y manejar vectores abstractos, generalización de los vectores en el plano y en el espacio. No dejan de "mezclarse" con los sistemas de números (cuerpos conmutativos para ser más precisos), pero dan una "nueva entidad" a manejar, que en el caso geométrico tiene dirección y norma.

Una de los juegos preferidos de los matemáticas es ver si una estructura tiene subestructuras, estructuras que "viven adentro" de una estructura. Ya escribí de ejemplos de subgrupos en grupos en Simetrías del Cuadrado (Parte 3). Algo parecido (y distinto, porque la subestructura no tiene las mismas propiedades que la estructura que la contiene) viemos en Ideales en Anillos. Veamos qué podemos obtener en espacios vectoriales.

Primero, me gustaría encontrar esa substructura, dado un espacio vectorial V. Se me ocurre que lo más fácil es comenzar con un vector v, distinto del 0. Claramente no es una "subestructura" interesante: no es ni subgrupo de la suma de vectores, y menos es espacio vectorial. Pero no quiero perder el manejar escalares, entonces, me fijo en el conjunto:

{ w / w = av }

para algún elemento a del cuerpo K del espacio vectorial en consideración. Es decir, tomo todos los "múltiplos" del vector original v. Vemos que es esos vectores forman espacio vectorial, usando el cuerpo K original. Por ejemplo, debería poder demostrar que el vector 0 está en ese conjunto. Bien, me basta demostrar:

0v = 0

es decir, que multiplicar al vector v por el escalar 0 (cero) del cuerpo K nos da un vector que es el vector nulo. Eso no lo demostré nunca en esta serie. Veamos:

0+1 = 1 en el cuerpo K

(0+1)v = 0v + 1v por distribución con la suma de K

pero por lo primero (0+1=1) queda

(0+1)v = 1v

Se sigue que son iguales

(0+1)v = 1 = 0v + 1v

Me quedo con la igualdad de la derecha

1v = 0v + 1v

que es

v = 0v + v

Sumo el inverso -v a ambos lados:

v - v = 0v + v - v

Sabemos que sumar un vector con su inverso da el vector nulo:

0 = 0v + 0

y que sumar 0 a 0v da el mismo 0v:

0 = 0v

La demostración detallada es larga, pero simple. En otros momentos voy simplemente a decir cosas como "se ve fácilmente que" 0v = 0.

Bien, ya tenemos que el vector nulo pertenece a nuestro candidato a espacio vectorial. Se ve que av y bv pertenecen a este conjunto de vectores, y también (av + bv) = (a+b)v. Es cerrado para la suma, es decir, si sumamos dos vectores cualquiera del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto. Lo mismo pasa si a cualquiera de sus vectores lo multiplicamos por un escalar cualquiera del cuerpo K. Las propiedades distributivas las hereda, porque las operaciones de suma de vectores y de escalares son las mismas que antes. Solamente tuvimos que demostrar la "cerradura" de esas operaciones: que fueran cerradas, que dieran siempre resultados que no queden "afuera" del conjunto que estamos considerando.

Con pocos detalles más, todo esto muestra que el conjunto de TODOS los múltiplos de v es un espacio vectorial. Puede que abarque a todo V o que sea un subconjunto propio del conjunto de los vectores de V. De todas maneras, podemos ver que es lo que vamos a llamar un subespacio de V: un espacio vectorial incluido en el espacio original. Es claro que el conjunto { 0 } (con las operaciones originales) y V son subespacios de V.

Ahora, en vez de un solo vector, quiero tomar dos vectores, digamos v y w. Y tomamos todos los vectores que resultan de

av + bw

con a, b escalares del cuerpo K cualesquiera. Igual que antes, con un poco más de trabajo, se puede ver que forman un subespacio vectorial: un conjunto de vectores que con las operaciones original cumplen con las propiedades iniciales que se esperan de un espacio vectorial. Y así podemos formar un subespacio con 3, 4 o más vectores iniciales. Es decir, combinando todos los múltiplos escalares de un conjunto finito de vectores de V, formamos un subespacio vectorial W. Decimos que el conjunto inicial es el conjunto de generadores de W. Bien puede ser que ese subespacio abarque TODO el espacio original V. Entonces decimos que el conjunto genera V. Muchos de los ejemplos que vimos en los anteriores dos posts son espacios vectoriales que se pueden generar finitamente. Pero hay otros que sólo pueden generarse con una cantidad infinita de vectores iniciales (hasta puede que una cantidad infinita no numerable). Un ejemplo con generadores infinitos (pero numerables) es el espacio de polinomios formales.

Podría usar la notación:

Lin({v1, v2, v3, ...., vn })

para referirme al espacio vectorial generado por todas las combinaciones lineales (por ser resultado de sumas de vectores, y multiplicaciones por escalares) de los vectores de un conjunto. Si el conjunto de partida es infinito, tomaríamos sólo las combinaciones lineales de una cantidad finita de vectores, cada vez. Nunca podemos sumar una cantidad infinita de vectores, no por lo menos con lo que sabemos de un espacio vectorial cualquiera.

Todo esto es elemental en espacios vectoriales. Pero es importante darse cuenta de estos dos "viejos trucos" matemáticos: el encontrar una subestructura dentro de una estructura, y el conseguir que un conjunto (posiblemente finito) genere un conjunto (posiblemente infinito) que nos interesa. Son dos estrategias que permiten ver que algo puede "descomponerse" en "partes" más simples. Los matemáticos adoran eso: les permite estudiar lo complejo o compuesto, desde algo más simple.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 9 de Septiembre, 2012, 14:08

No es un libro que visite frecuentemente, pero cada tanto vuelvo a "La Conquista de la Felicidad" de Bertrand Russell. Está dividido en dos partes: causas de la infelicidad, causas de la felicidad. Ya saben que para mí, la felicidad está sobrevaluada, muchas veces está centrada en el "yo", como escribía en otro post:

En estos tiempos modernos, está tan difundido el tema del "yo", "yo mejoro", "yo busco la felicidad", "yo vivo cada día plenamente", que nos olvidamos del "nosotros". Una vida centrada en el "yo" es una vida sin traza, un neutrino que atravesó el universo, sin afectar a nada.

Encuentro ayer, en mis lecturas de fin de semana, este párrafo de Russell, en ese libro, que quiero hoy destacar:

... Yo no nací. De niño, mi himno favorito era "Harto del mundo y agobiado por el peso de mis pecados". A los cinco años se me ocurrió pensar que, si vivía hasta los setenta, hasta entonces solo había soportado una catorceava parte de mi vida, y los largos años de aburrimiento que aún tenía por delante me parecieron casi insoportables...

Recordemos que Russell tenía una familia de posición holgada, sólo un caballero inglés de su posición podría tener "aburriemiento" en su vida.

... En la adolescencia, odiaba la vida y estaba continuamente al borde del suicidio, aunque me salvó el deseo de aprender más matemáticas. Ahora, por el contrario, disfruto de la vida; casi podría decir que cada año que pasa la disfruto más...

El libro fue publicado a sus cincuenta y ocho años.

... En parte, esto se debe a que he descubierto cuáles eran las cosas que más deseaba y, poco a poco, he ido adquiriendo muchas de esas cosas. En parte se debe a que he logrado prescindir de ciertos objetos de deseo - como la adquisición de conocimientos indudables sobre esto o lo otro -  que son absolutamente inalcanzables.

Russell se vuelva de joven hacia las matemáticas, por esa búsqueda personal de alguna verdad indiscutible. Y aquí viene el giro importante:

Pero principalmente se debe a que me preocupo menos por mí mismo. Como otros que han tenido una educación puritana, yo tenía la costumbre de meditar sobre mis pecados, mis fallos, mis defectos. Me consideraba a mí mismo - y seguro con razón - un ser miserable. Poco a poco aprendí a ser indiferente a mí mismo y a mis deficiencias; aprendí a centrar la atención, cada vez más, en objetos externos: el estado del mundo, diversas ramas del conocimiento, individuos por los que sentía afecto. Es cierto que los intereses externos acarrean siempre sus propias posibilidades de dolor: el mundo puede entrar en guerra, ciertos conocimientos pueden ser difíciles de adquirir, los amigos pueden morir. Pero los dolores de este tipo no destruyen la cualidad esencial de la vida, como hacen los que nacen del disgusto por uno mismo. Y todo interés externo inspira alguna actividad que, mientras el interés se mantenga vivo, es un preventivo completo del "ennui" [tedio]. En cambio, el interés por uno mismo no conduce a ninguna actividad de tipo progresivo. Puede impulsar a escribir un diario, a acudir a un psicoanalista, o tal vez a hacerse monje. Pero el monje no será feliz hasta que la rutina del monasterio le haga olvidar su propia alma. La felicidad que él atribuye a la religión podría haberla conseguido haciéndose barrendero, siempre que se viera oblicado a serlo para toda la vida. La disciplina externa es el único camino a la felicada para aquellos desdichados cuya absorción en sí mismos es tan profunda que no se puede curar de ningún otro modo.

Sostengo que hay que salir del "yo" y vivir teniendo en cuenta el "nosotros". Lo de arriba está en el primer capítulo. En el segundo leo:

... Se han dado en el mundo, en diversas épocas, varias filosofías de la soledad, algunas muy nobles y otras menos. Los estoicos y los primeros cristianos creían que el hombre podía experimentar el bien supremo que se puede experimentar en la vida humana mediante el simple ejercicio de su propia voluntad o, en cualquier caso, sin ayuda humana; otros han tenido como único objetivo de su vida el poder, y otros el mero placer personal. Todos estos son filósofos solitarios, en el sentido de suponer que el bien es algo realizable en cada persona por separado y no solo en una sociedad de personas más grande o más pequeña.

Este es un punto importante: vivimos con otras personas, formamos parte de sistemas sociales. La búsqueda de una felicidad personal se diluye y pierde sentido si no recordamos eso.

En mi opinión, todos estos puntos de vista son falsos, y no sólo en teoría ética, sino como expresiones de la mejor parte de nuestros instintos. El hombre depende de la cooperación, y la naturaleza le ha dotado, es cierto que no del todo bien, con el aparato instintivo del que puede surgir a cordialidad necesaria para la cooperación.

Les dejo pensando en estos textos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 8 de Septiembre, 2012, 16:00

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Escribí sobre Berkeley en:

La filosofía según Berkeley
Berkeley y las palabras

Su obra más conocida es A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge (Tratado sobre los Principios del Conocimiento Humano), que en estos días vuelvo a encontrar y leer. Quiero comenzar a comentar en esta serie de post. Es un filósofo que quiero leer en detalle, por ser uno de los más reconocidos e insistentes opositores del materialismo (tomado en el sentido de una ontología que sostiene que lo existente es la materia; no tomar "materialismo" en el sentido "social moderno" que refiere a "lo que nos importa es lo material", para nada es ése el sentido que se declara en filosofía). Hoy leo su prefacio al libro mencionado:

El contenido de este pequeño libro que ahora publico me ha parecido, después de un serio y prolongado estudio, ser de una evidencia clarísima y de no menor utilidad, particularmente para aquellos que sienten el vértigo y la seducción del escepticismo, o necesitan una demostración de la existencia e inmaterialidad de Dios y de la inmortalidad del alma.

No hay que olvidar que Berkeley escribe este libro siendo un cristiano protestante convencido. Muchas de sus críticas a otras posturas nacen de ver en ellas un ataque a la religión, o por lo menos, un sustento al escepticismo dirigido a las ideas religiosas. Recuerdo ahora su obra, El Analista, donde critica a Newton y su escuela. Ahí se asombra de que algunas personas aceptan más fácilmente a los "infinitésimos" que a las ideas religiosas. Ese es el tono que tienen sus obras: un Berkeley que se alza contra los que no aceptan su religión. Igualmente, esto no quita que tengamos que pararnos ante él examinando, ponderando, aceptando y rechazando SUS ARGUMENTOS, no sus motivaciones.

El lector juzgará imparcialmente: sólo me cabe la satisfacción de ofrecerle mi obra para que pueda apreciarla, ya que estoy persuadido de que su éxito dependerá únicamente de su exacta conformidad con la verdad real.

Durante años, su obra fue ignorada, y cuando no lo fue, la recepción no fue buena. Se lo llegó a ridiculizar bastante en vida. Le costó años a Berkeley conseguir reconocimiento por esta primera obra (seguida por otras que tratan de aclarar algunos puntos que quedaron oscuros). Podría pensar que Berkeley podría haber pasado sin ser muy conocido en la historia de la filosofía si no fuera por la influencia tardía que consiguió, ya entrado en años (este libro que estoy leyendo lo escribió y publicó teniendo poco más de veinte años).

Y en nada obsta este criterio para que, sea quien sea el lector, le recomiende yo suspenda su juicio hasta que haya leído por lo menos una vez toda la obra, con la atención y reflexión que la materia requiere. Pues se encontrarán pasajes que, tomados aisladamente, se prestarán con toda seguridad a falsas interpretaciones y a deducir consecuencias erróneas, lo que no ocurrirá ciertamente después de una lectura cabal de la obra.

Y aun leído todo el libro, si sólo se pasó de ligero y sin la atención debida, es muy probable que se desvirtúe el sentido de lo que escribo, que, sin embargo, para un lector acordado y reflexivo, resultará evidentísimo con claridad meridiana.

Bueno, acepto que hay que leerlo con cuidado. Pero han pasado los siglos, y Berkeley sigue sin convencer (a muchos). Recuerdo a Borges, que en su Tlön, Uqbar, Orbis Tertius menciona de paso a Hume declarando "que los argumentos de Berkeley no admitían la menor réplica y no causaban la menor convicción." (desconozco si Hume escribió esa frase, o fue una adaptación/invención de Borges).  Esa debe haber sido la primer lectura que me mencionó a Berkeley, y luego, con las décadas, me lo he reencontrado varias veces. Quiero en esta serie de post, ir pasando en limpio qué parte no me convence, y que me parece más débil en su exposición. Con respecto a la relación de Borges con Berkeley, ver también La cercanía de Borges y Berkeley, Borges and his Parallel Universes, Jorge Luis Borges, Berkeley, Hume and Other Influences, Jorge Luis Borges Interview, Borges, the Apologist for Idealism.

Alguien podrá tachar de novedad o singularidad algunos de los conceptos que aquí expongo: considero innecesario insistir sobre este punto, pues todos juzgarán de escaso talento y muy poco familiarizado con las ciencias al que se atreva a rechazar una verdad demostrable, por el simple hecho de ser nueva, esto es, recientemente adquirida, o por ser contraria a prejuicios inveterados.

He creído necesario hacer estas advertencias a fin de evitar en lo posible la precipitada censura por parte de cierta clase de personas, que siempre están dispuestas a condenar una opinión que no es suya, aun antes de haberla comprendido bien.

Buena recomendación del obispo Berkeley. Hay que comprender bien una posición, para poder apreciarla, para recharzarla o adoptarla, en parte o en todo. Lo bueno que tiene Berkeley es que se esfuerza en ser claro, y en general lo logra. Solamente me parece que en algún momento se extralimitia, y afirma más de lo que puede, impulsado tal vez por su celo de justificar a un dios, como un Descartes irlandés.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 7 de Septiembre, 2012, 14:21

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Ya vieron que ando escribiendo bastante sobre Dirac. Tendría mucho para comentar sobre su influencia en la física del último siglo, y me llevaría varias decenas de posts. Su influencia se nota en prácticamente todo lo que hoy se estudia e investiga en física cuántica, siendo el fundador reconocido del tratamiento moderno de campos. Hoy, cuando se busca Higgs y su campo, hay que remontarnos a ecuaciones planteadas inicialmente por Dirac. Van hoy algunos enlaces que he visitado sobre su obra.

http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac

Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS[2] (play /dɪˈræk/ di-rak; 8 August 1902 – 20 October 1984) was an English theoretical physicist who made fundamental contributions to the early development of both quantum mechanics and quantum electrodynamics. He held the Lucasian Chair of Mathematics at the University of Cambridge, was a member of the Center for Theoretical Studies, University of Miami, and spent the last decade of his life at Florida State University.

Among other discoveries, he formulated the Dirac equation, which describes the behaviour of fermions, and predicted the existence of antimatter.

Dirac shared the Nobel Prize in Physics for 1933 with Erwin Schrödinger, "for the discovery of new productive forms of atomic theory

Paul Dirac: One of the greatest British minds of the 20th century
http://www.telegraph.co.uk/technology/4436537/Paul-Dirac-One-of-the-greatest-British-minds-of-the-20th-century.html

P.A.M.Dirac
http://www.lucasianchair.org/20/dirac.html
"Of course the most famous geniuses of theoretical physics in the twentieth century were Niels Bohr, Albert Einstein, and P. A. M. Dirac. They went far beyond conceiving models or explaining some experimental facts. Einstein revolutionized our concepts of space, time and gravity. Bohr created the most important concepts necessary for dealing with atomic reality. Dirac succeeded in unifying relativity theory with quantum mechanics, leading both to the concept of antimatter and to quantum field theory, a consistent way of dealing with the interaction of matter with electromagnetic and other fields." Victor Weisskopf

Quantum Physics: Paul Dirac
http://www.spaceandmotion.com/physics-paul-dirac.htm
The inception of quantum field theory (QFT) is usually dated 1927 with Dirac's famous paper on 'The quantum theory of the emission and absorption of radiation.' Here Dirac coined the name quantum electrodynamics (QED) which is the part of QFT that has been developed first. Dirac supplied a systematic procedure for transferring the characteristic quantum phenomenon of discreteness of physical quantities from the quantum mechanical treatment of particles to a corresponding treatment of fields. Employing the quantum mechanical theory of the harmonic oscillator, Dirac gave a theoretical description of how photons appear in the quantization of the electromagnetic radiation field.

Quantum Field Theory
http://plato.stanford.edu/entries/quantum-field-theory/

Hidden behind Bohr and Einstein: Time Separation
http://www.ysfine.com/einstein/einbohr.html
Dirac's papers are poems, but have you seen figures there. I seem to enjoy translating his poems into cartoons.

The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation
http://www.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Dirac_QED_1927.pdf
The birth of Quantum Electrodynamics

Harmonic Oscillators as Bridges between Theories: Einstein, Dirac, and Feynman
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0411017
Both Paul A. M. Dirac and Richard P. Feynman were fond of harmonic oscillators, while they used different approaches to physical problems. Both were also keenly interested in making quantum mechanics compatible with special relativity. It is shown that the coupled harmonic oscillators can bridge these two different approaches to physics.

Einstein, Dirac, and Feynman
http://www.ysfine.com/maga/dirfey.html
We love Dirac and Feynman. What did they do for us?

Plate trick
http://en.wikipedia.org/wiki/Plate_trick
In mathematics and physics, the plate trick, also known as Feynman's plate trick, Dirac's belt trick, spinor spanner or quaternionic handshake is any of several particular physical demonstrations of the mathematical theorem that SU(2) double-covers SO(3), or sometimes this fact itself. The usual demonstration, as indicated by the name, is to hold a plate on one's flat palm, then perform two subsequent rotations of the arm holding the plate which results in the original position.

Dirac Lagrangian
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian#Dirac_Lagrangian

Dirac"s Lagrangian formalism
http://www.toequest.com/forum/quantum-physics/742-dirac-s-lagrangian-formalism.html

Bra-ket notation
http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notation
Bra-ket notation is a standard notation for describing quantum states in the theory of quantum mechanics composed of angle brackets and vertical bars.
The notation was introduced in 1930 by Paul Dirac,[1] and is also known as Dirac notation.

Poisson bracket
http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket

Dirac bracket
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket
The Dirac bracket is a generalization of the Poisson bracket developed by Paul Dirac to correctly treat systems with second class constraints in Hamiltonian mechanics and canonical quantization. It is an important part of Dirac's development of Hamiltonian mechanics to handle more general Lagrangians.

When A times B isn't B times A
http://www.guardian.co.uk/science/life-and-physics/2011/jan/29/1?CMP=twt_gu
Paul Dirac: The Matrix has you.

Dirac: Mathematical Details
http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/21/DiracNotes.html

Dirac Belt Trick
http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/21/21.html

The Strangest Man
http://www.facebook.com/pages/The-Strangest-Man/105128831946
By @GrahamFarmelo

The Dirac Equation
http://www.mathpages.com/home/kmath654/kmath654.htm

The Dirac Equation
http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm

Dirac Equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

Heisenberg"s Matrix Mechanics and Dirac"s Re-creation of it
http://www.worldscibooks.com/etextbook/7271/7271_chap02.pdf 

Science Quotes by Paul A. M. Dirac
http://www.todayinsci.com/D/Dirac_Paul/DiracPaul-Quotations.htm
A great deal of my work is just playing with equations and seeing what they give.

Algunos de mis posts:

El problema de explicar spin y estadística
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/01/11/el-problema-de-explicar-spin-y-estadis.html

Dirac y la cosmología
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2007/08/27/dirac-y-las-cosmologia.html

Heisenberg, presentado por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2007/08/22/heisenberg-presentado-por-Dirac.html

Dirac y las amplitudes de probabilidad en física cuántica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/03/17/dirac-y-las-amplitudes-de-probabilidad.html

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/03/15/dirac-revisando-el-trabajo-de-Heisenbe.html

Erwin Schrödinger creando su ecuación, por P.A.M.Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/03/12/erwin-Schrdinger-creando-su-ecuacion-p.html

Grupos y Física, por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/01/22/grupos-y-Fisica-por-Dirac.html

P.A.M. Dirac, por Abdus Salam
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/08/19/pam-Dirac-por-Abdus-Salam.html

Dirac y Feynman, por Abdul Salam
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/08/24/dirac-y-Feynman-por-Abdul-Salam.html

Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/10/02/entrevista-a-Pamdirac-por-Abdus-Salam.html

Física cuántica (Parte 6) Bra y Kets
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/03/26/fisica-cuantica-Parte-6-Bra-y-Kets.html

Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2010/07/04/pauli-Dirac-Heisenberg-y-la-religion.html

Dirac según Gamow
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/03/20/dirac-segun-Gamow.html 

La necesidad de una teoría cuántica, por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2012/07/24/la-necesidad-de-una-teoria-cuantica-po.html

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2012/07/22/paul-Adrien-Maurice-Dirac-por-Abraham-.html

Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2012/07/15/paul-Adrien-Maurice-Dirac-por-Stephen-.html

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Publicado el 4 de Septiembre, 2012, 13:22

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En estos días estoy comentando una entrevista a Edward Witten, tal vez el más conocido de los teóricos de cuerdas. Recuerdo mi primer encuentro con la teoría de cuerdas, a fines de los setenta y comienzos de los ochenta: las trayectorias de Regge, Veneziano, en artículos de la Scientific American.

Como otras teorías físicas, la teoría de cuerdas trata de evitar el infinito:

Horror al infinito
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2007/01/28/el-horror-al-infinito.html
Lo que para mí, una clave para entender y modelar la naturaleza física

Leo en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/String_theory

String theory is an active research framework in particle physics that attempts to reconcilequantum mechanics and general relativity. It is a contender for a theory of everything (TOE), a self-contained mathematical model that describes all fundamental forces and forms ofmatter. String theory posits that the elementary particles (ie. electrons and quarks) within anatom are not 0-dimensional objects, but rather 1-dimensional oscillating lines ("strings").

Mis primeros enlaces sobre el tema:

In the world of physics, strings no small thing
http://host.madison.com/wsj/news/local/education/university/article_1c7d45de-f2ce-5f82-bf07-e9c2df249dae.html

How a Holographic Universe Emerged From Fight With Stephen Hawking
http://www.wired.com/wiredscience/2011/08/hawking-holographic-universe/

String theory may hold answers about quark-gluon plasma
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2011/06/15/string-theory-may-hold-answers-about-quark-gluon-plasma/

A Categorified Supergroup for String Theory
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/a_categorified_supergroup_for.html

Mathematical Physicist Edward Witten Interview - 1 of 2
http://www.youtube.com/watch?v=iLZKqGbNfck

Edward Witten on string theory I
http://www.youtube.com/watch?v=fnzLpyDsn3M&feature=related

Edward Witten Lecture - Dimensional Gravity Revisited (1/6)-GzY
http://www.youtube.com/watch?v=yxShoqJScB4

Between the lines - physicsworld.com
http://physicsworld.com/cws/article/indepth/44683

Another year of searching for magnetic monopoles
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/12/15/another-year-of-searching-for-magnetic-monopoles/

Atoms of Space and Time: Scientific American
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=atoms-of-space-and-time

String Theory
http://adamthinks.com/wp-content/uploads/2010/08/string_theory.gif

Tying string theory together: A new book attempts to explain string theory to the masses
http://www.physorg.com/news203961728.html

Modular form
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_form

Division Algebras and Supersymmetry II
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/division_algebras_and_supersym.html

2-Branes and Supergravity Theories
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/2branes_and_supergravity_theor.html

Physical reality of string theory demonstrated
http://www.physorg.com/news166097923.html

Life in a landscape of possibilities - physicsworld.com
http://physicsworld.com/cws/article/print/23676
The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design
Leonard Susskind

The Cosmic Landscape
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=307

Physics 3: String Theory
http://www.shaviro.com/Blog/?p=324

Mis enlaces
http://delicious.com/ajlopez/stringtheory

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Publicado el 2 de Septiembre, 2012, 13:10

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Veamos el tema de las dimensiones en la teoría de cuerdas:

NOVA: La teoría de cuerdas requiere 10 dimensiones de espacio. ¿Eso no complica la teoría, o resuelve problemas?

Witten: Ténicamente, necesitamos las dimensiones extras. Al principio eso no le gusta mucho a la gente, pero obtienen un gran beneficio, que es que la habilidad de la teoría de cuerdas para describir todas las partículas elementales y sus fuerzas así como la gravedad, dependen de ese uso de dimensiones extras. Tenemos una cuerda básica, pero que puede vibrar de muchas formas. Estamos tratando de objener de ella muchas partículas porque los físicos experimentales han descubierto muchas. El electrón y sus primos pesados, los neutrinos, los quarks, fotonos, gravitones, y demás. Hay realmente un gran zoológico de partículas elementales que estamos tratando de explicar. Al tener esas dimensiones extras, y de esa manera, varios modos de vibración de la cuerda, en varias direcciones, ha resultado la clave para poder describir todas las partículas que hemos encontrado.

NOVA: Pero ¿podemos pensar que existen [las cuerdas] Ciertamente, no podemos verlas.

Witten: Vemos las ondas de luz en nuestros ojos, pero muchas de las otras partículas han sido descubiertas por equipos del siglo 20. De las fuerzas, experimentamos la gravedad y el electromagnetismo en la vida de cada día. Pero las fuerzas débil y fuerte están más allá de la experiencia ordinaria. Así que en física, para explorar muchos de los bloques básicos de la naturaleza necesitamos los equipos del siglo 20 y quizás del siglo 21.

NOVA: Así que si no vemos las cuerdas, eso no significa que la teoría está equivocada.

Witten: La teoría tiene que ser interpretada de forma que las dimensiones extras más allás de las comunes cuatro dimensiones, tres espaciales más el tiempo, son suficientemente pequeñas para no haber sido observadas, aún. Así que uno esperaría probar la teoría, directamente en aceleradores. Sospechos que es un largo camino. Más probablemente lo haremos indirectamente, al hacer cálculos más precisos sobre las partículas elementales basados en la existencia de las dimensiones extras.

Para explorar lo pequeño, se necesita emplear mucha energía en los experimentos. Según la escala que plantea la teoría cuerdas, los actuales equipos no arrojan resultados en ese orden de detalle.

NOVA: ¿Piensa que las dimensiones extras realmente existen, o son un artefacto matemático?

Una gran pregunta. Vean que las dimensiones se necesitaron para explicar las partículas y fuerzas que fueron descubiertas en el siglo veinte. Por ahora, la teoría de cuerdas, como todo lo que propone la ciencia, es un modelo. Que sus conceptos (las cuerdas, vibraciones y dimensiones) tengan referente en la realidad, es un tema a discutir, quizás fuera de la ciencia, con el auxilio de la filosofía de la ciencia. Quizás nos esperar por ahí, otro modelo, que explique más y mejor la realidad, que este modelo de cuerdas.

Witten: Si tomo la teoría como la tenemos ahora, literalmente, concluiría que las dimensiones extra realmente existe. Son parte de la naturaleza. Realmente no conocemos cuán grandes son aún, pero esperamos explorar eso de varias maneras. Están más allá de la experiencia ordinaria, de la misma forma que lo están los núcleos atómicos. Por otro lado, no entendemos la teoría completamente, y por la borrosidad del espaciotiempo, los conceptos de espaciotiempo y sus dimensiones, no están precisamente definidos. Sospecho que la borrosidad del espaciotiempo jugará más de un rol en la eventual respuesta a lo que entendemos ahora.

NOVA: Si esas dimensiones extras existen ¿ofrece la teoría de cuerdas de por qué hay aparentemente tres dimensiones más grande que el resto?

Witten: Eso es un gran problema que debe ser explicado. Por ahora, los teóricos de las cuerdas no tienen explicación de por qué hay tres dimensiones espaciales y el tiempo, y por qué las otras dimensiones son microscópicas. Ha habido propuestas todo el tiempo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 1 de Septiembre, 2012, 15:08

Estamos comenzando a terminar este año, entramos en el último cuatrimestre, en cualquier momento tenemos las fiestas de fin de año ;-). Pero quiero ir mes por mes, planteando resoluciones que me empujen a estudiar, pensar, hacer y escribir. Primero, un estado de las resoluciones del mes de Agosto:

- Escribir post de historia de las matemáticas parcial ver post
- Escribir nuevo post de física cuántica completo ver post
- Escribir primer post de serie Estudiando física cuántica completo ver post
- Escribir primer post de serie E=hv pendiente
- Escribir post de historia de la física completo ver post
- Estudiar teoría cuántica de campos (historia, desarrollo, conceptos)  completo
- Estudiar teorías gauge (historia, desarrollo, conceptos) completo
- Estudiar modelo estándard (historia, desarrollo, conceptos) completo

Le he dedicado varios posts este mes al tema historia de la física, centrándome en la reseña sobre Dirac dada por Abraham Pais:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (9)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (8)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (7)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (6)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (5)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (4)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (3)

La física cuántica que presenté fue terminar una sección del libro de Dirac, Principles of Quantum Mechanics, que ya había comenzado en Julio:

La necesidad de una teoría cuántica, por Dirac (4)

Sobre historia de las matemáticas, no escribí el post que esperaba, pero algo me acerqué con:

Mis mejores libros (Parte 2) El mejor libro

donde comenté las notas de "Elementos de Historia de las Matemáticas" de Bourbaki.

Estudié bastante sobre la historia y primeros conceptos de teoría cuántica de campos, teorías gauge, y el modelo estándard. Me llevó a algunos temas matemáticos, como variedades, conexiones, tensores, derivada covariante, etc. Tengo que empezar a escribir sobre algunos temas que visité.

El tema del desarrollo de la fórmula E=hf es muy interesante, pero no creo que tenga todo preparado para escribir el primer post. Sin embargo, lo voy a nombrar brevemente en uno de los posts a los que me comprometo más abajo.

Tengo que seguir escribiendo sobre mis posturas sobre la sociedad en general, y la sociedad argentina en particular, por ahora no lo pongo como resolución, pero este mes pasado apareció la muestra:

Sobre las ideologías

Resoluciones para este mes:

- Escribir primer post sobre la ecuación de Schrödinger
- Escribir próximo post de mi serie Espacios Vectoriales
- Escribir próximo post de mi serie Topología General
- Escribir post sobre historia de la física (continuar con Dirac/Pais)
- Escribir post sobre historia de las matemáticas (elegir tema)
- Seguir estudiando teorías gauges y los temas que necesite

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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