Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Septiembre, 2012, 6:27

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En el último siglo (y algo más) los matemáticos han comenzado a dar importancia a las estructuras, y tratan de generalizar los resultados que obtienen en ámbitos más restringidos. Lo que estamos viendo como espacio vectorial es producto de este afán generalizador. Hemos visto en los anteriores posts que hay muchos ejemplos de espacio vectorial, algunos sin mucha relación entre sí. Pero lo importante es que el haber destilado las propiedades que tiene que tener un espacio vectorial, esta definición de estructura ha resultado fructífera. En general, el definir y estudiar una estructura genérica, es bueno si su definición es lo bastante adecuada para englobar los casos más interesantes de los que deriva. Y el tener una estructura abstracta, basada en sus axiomas (propiedades iniciales que tiene que cumplir), permite separar la paja del trigo, e ir descubriendo qué es lo que importa de esa estructura, qué es lo que la hace especial, interesante e importante.

En el caso de los espacios vectoriales, lo importante es que permiten manejar casos más allá de los simples números (reales, complejos), y manejar vectores abstractos, generalización de los vectores en el plano y en el espacio. No dejan de "mezclarse" con los sistemas de números (cuerpos conmutativos para ser más precisos), pero dan una "nueva entidad" a manejar, que en el caso geométrico tiene dirección y norma.

Una de los juegos preferidos de los matemáticas es ver si una estructura tiene subestructuras, estructuras que "viven adentro" de una estructura. Ya escribí de ejemplos de subgrupos en grupos en Simetrías del Cuadrado (Parte 3). Algo parecido (y distinto, porque la subestructura no tiene las mismas propiedades que la estructura que la contiene) viemos en Ideales en Anillos. Veamos qué podemos obtener en espacios vectoriales.

Primero, me gustaría encontrar esa substructura, dado un espacio vectorial V. Se me ocurre que lo más fácil es comenzar con un vector v, distinto del 0. Claramente no es una "subestructura" interesante: no es ni subgrupo de la suma de vectores, y menos es espacio vectorial. Pero no quiero perder el manejar escalares, entonces, me fijo en el conjunto:

{ w / w = av }

para algún elemento a del cuerpo K del espacio vectorial en consideración. Es decir, tomo todos los "múltiplos" del vector original v. Vemos que es esos vectores forman espacio vectorial, usando el cuerpo K original. Por ejemplo, debería poder demostrar que el vector 0 está en ese conjunto. Bien, me basta demostrar:

0v = 0

es decir, que multiplicar al vector v por el escalar 0 (cero) del cuerpo K nos da un vector que es el vector nulo. Eso no lo demostré nunca en esta serie. Veamos:

0+1 = 1 en el cuerpo K

(0+1)v = 0v + 1v por distribución con la suma de K

pero por lo primero (0+1=1) queda

(0+1)v = 1v

Se sigue que son iguales

(0+1)v = 1 = 0v + 1v

Me quedo con la igualdad de la derecha

1v = 0v + 1v

que es

v = 0v + v

Sumo el inverso -v a ambos lados:

v - v = 0v + v - v

Sabemos que sumar un vector con su inverso da el vector nulo:

0 = 0v + 0

y que sumar 0 a 0v da el mismo 0v:

0 = 0v

La demostración detallada es larga, pero simple. En otros momentos voy simplemente a decir cosas como "se ve fácilmente que" 0v = 0.

Bien, ya tenemos que el vector nulo pertenece a nuestro candidato a espacio vectorial. Se ve que av y bv pertenecen a este conjunto de vectores, y también (av + bv) = (a+b)v. Es cerrado para la suma, es decir, si sumamos dos vectores cualquiera del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto. Lo mismo pasa si a cualquiera de sus vectores lo multiplicamos por un escalar cualquiera del cuerpo K. Las propiedades distributivas las hereda, porque las operaciones de suma de vectores y de escalares son las mismas que antes. Solamente tuvimos que demostrar la "cerradura" de esas operaciones: que fueran cerradas, que dieran siempre resultados que no queden "afuera" del conjunto que estamos considerando.

Con pocos detalles más, todo esto muestra que el conjunto de TODOS los múltiplos de v es un espacio vectorial. Puede que abarque a todo V o que sea un subconjunto propio del conjunto de los vectores de V. De todas maneras, podemos ver que es lo que vamos a llamar un subespacio de V: un espacio vectorial incluido en el espacio original. Es claro que el conjunto { 0 } (con las operaciones originales) y V son subespacios de V.

Ahora, en vez de un solo vector, quiero tomar dos vectores, digamos v y w. Y tomamos todos los vectores que resultan de

av + bw

con a, b escalares del cuerpo K cualesquiera. Igual que antes, con un poco más de trabajo, se puede ver que forman un subespacio vectorial: un conjunto de vectores que con las operaciones original cumplen con las propiedades iniciales que se esperan de un espacio vectorial. Y así podemos formar un subespacio con 3, 4 o más vectores iniciales. Es decir, combinando todos los múltiplos escalares de un conjunto finito de vectores de V, formamos un subespacio vectorial W. Decimos que el conjunto inicial es el conjunto de generadores de W. Bien puede ser que ese subespacio abarque TODO el espacio original V. Entonces decimos que el conjunto genera V. Muchos de los ejemplos que vimos en los anteriores dos posts son espacios vectoriales que se pueden generar finitamente. Pero hay otros que sólo pueden generarse con una cantidad infinita de vectores iniciales (hasta puede que una cantidad infinita no numerable). Un ejemplo con generadores infinitos (pero numerables) es el espacio de polinomios formales.

Podría usar la notación:

Lin({v1, v2, v3, ...., vn })

para referirme al espacio vectorial generado por todas las combinaciones lineales (por ser resultado de sumas de vectores, y multiplicaciones por escalares) de los vectores de un conjunto. Si el conjunto de partida es infinito, tomaríamos sólo las combinaciones lineales de una cantidad finita de vectores, cada vez. Nunca podemos sumar una cantidad infinita de vectores, no por lo menos con lo que sabemos de un espacio vectorial cualquiera.

Todo esto es elemental en espacios vectoriales. Pero es importante darse cuenta de estos dos "viejos trucos" matemáticos: el encontrar una subestructura dentro de una estructura, y el conseguir que un conjunto (posiblemente finito) genere un conjunto (posiblemente infinito) que nos interesa. Son dos estrategias que permiten ver que algo puede "descomponerse" en "partes" más simples. Los matemáticos adoran eso: les permite estudiar lo complejo o compuesto, desde algo más simple.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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