Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Septiembre, 2012, 9:54

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Quiero demostrar algunos resultados básicos de dividir números en factores primos. En todo el post, p designará a un número primo. Sin perder generalidad, me limitaré a trabajar con números enteros positivos. Algo ya mostré en Factorización Unica en el Anillo de Enteros, pero hoy sigo un camino diferente.

Primero, veamos que si a, b son naturales, distintos de cero, menores que p, entonces p no divide al producto ab.

Sea a > 0 un número como el descripto, a < p. Sea B el conjunto de los b > 0, b < p tales que ab sea divisible por p. O bien B es vacío, con lo que demostramos el teorema, o bien B tiene elementos, y tomamos el menor (éste es el resultado previo en el que me baso: todo conjunto de enteros positivos tiene un elemento que es menor que todos los demás elementos del conjunto). Llamémosle b.

Supongamos ab es divisible por p, es decir, existe k tal que kp = ab. k no puede ser 1, porque entonces a y b dividirían a p primo, contradicción. Como b < p, tomemos el conjunto de todos los números p - bn (n entero cualquiera). Habrá enteros positivos en ese conjunto, y habrá el menor, llamémosle r. Ese número cumple para algún m

p - bm = r

siendo

r < b

pues si r >= b, sería

p - b(m+1) = r-b = r'

otro número positivo, elemento del conjunto {p - bn} que sería menor que r, contra lo supuesto (tomé a r como el menor positivo de ese conjunto). Esto es una demostración rápida del teorema del resto, basado en esa propiedad fundamental de los naturales: tener un mínimo en cualquier conjunto no vacío.

Bueno, tengo entonces r, b, m tales que:

p - bm = r

Multiplico ambos términos por el a dado de antes:

ap - abm = ar

Pero supuse que ab es múltiplo de p, es decir, existe k tal que

ab = kp

Sustituyendo ab por kp en el anterior resultado, me queda:

ap - kpm = ar
(a-km)p = ar > 0 (por ser a > 0, r > 0)

Es decir, ar es múltiplo de p, con 0 > r < p,  r < b. Pero había supuesto que b era el menor número tal que ab era múltiplo de p. Llego a contradicción. Entonces, para los 0 < a < p, 0 < b < p, nunca se da que ab sea múltiplo de p. Este resultado ya lo demostró Euclides, y es el puntapié para seguir avanzando con las propiedades de dividir por primos. Vean que la clave se basó en encontrar contradicción, al asumir que existen b, tomar el menor, y llegar a obtener otro menor que él que cumplía con las mismas propiedades. Encuentro una demostración así en las Disquisitiones Arithmaticae de Gauss, al principio de la segunda sección.

Extendamos el resultado, a números que no necesariamente son menores que p. Pues ahora, sean a, b enteros positivos cualesquiera, no divisibles por p. Entonces, p no divide al producto ab. Pues entonces:

a = mp + r    0 < r < p
b = m'p + r'   0 < r' < p

por el teorema del resto. Queda:

ab = (mp + r) (m'p + r') = (mm'p +mr' + m'r)p + rr'

Pero por el teorema anterior, rr' nunca es múltiplo de p, entonces ab tampoco es múltiplo de p. Esta vez, la demostración se basó en llevar el problema general (a, b cualesquiera) al problema menos general (r, r' menores que b). Es mapear el resultado sobre los restos mínimos (0 < r < p), a los demás números. De alguna manera, al demostrar el resultado anterior sobre restos mínimos, ahora estamos viendo que el resultado se aplica "automáticamente" a todos los demás números que tienen resto mínimo distinto de 0.

Como corolario queda que si p no divide al número a, y p divide al producto ab, entonces p divide a b. Pues si no dividiera a b, llegaríamos, por lo anterior, a que no divide al produco ab, contra lo supuesto.

Vean todo lo que podemos obtener del primer resultado. Con un poco más de trabajo llegamos que todo número se factoriza de una manera única (salvo reordenamientos) de factores primos. Primero, siempre podemos descomponer en factores primos a cualquier número n. Pues si no es múltiplo de ninguno, n es primo. Si es múltiplo de a, podemos poner n = aN, y descomponer al número a y al número N en más factores. Sólo nos detenemos si llegamos a primos. Ahora hay que demostrar que la factorización obtenida es única. Pues si

n = pN = qM    siendo p, q primos

entonces p divide a n, p no divide a q, quedando que p divide a M. Proseguimos la factorización de M, de la misma forma, buscando siempre en partirlo en dos factores, y uno por lo menos, debe ser divisible por p. Seguimos la factorización, y tenemos que llegar a un final, p dividiendo a un solo factor indivisible m. Ese m tiene que ser p (esta es una demostración rápida; otro camino más riguroso es apelar a la inducción completada, basada en la cantidad de factores primos de M). Conclusión, si n tiene dos factorizaciones pN, qM, ambas tienen un factor p, que podemos retirar. Luego proseguimos de la misma forma, con cada factor primo que nos quede. Las factorizaciones obtenidas van decreciendo en factores, y queda que todas comparten los mismos primos. Pues si una de las factorizaciones en primos fuera más larga que la otra, y como en cada paso del algoritmo mostrado estamos retirando UN SOLO factor primo de cada una, llegaríamos a algo como:

1 = M'

con M' teniendo varios factores primos remanentes, lo cual es imposible.

Fue, entonces, una demostración rápida de:

- n es siempre factorizable en factores primos
- dos factorizaciones primas cualesquiera de n tienen la misma cantidad de factores primos
- dos factorizaciones primas cualesquiera de n comparten todos sus factores

Vean que hay que tener cuidado en la demostración, de no olvidar demostrar TODOS estos puntos. Un matemático en general, juega a las matemáticas (y a los números primos) sin tener tanto cuidado en cada paso. Sólo al escribir y desarrollar la demostración hay que empezar a ser detallista. Puede que en otros posts me dedique más a jugar, a enunciar rápidamente, que a detenerme en todos los detalles de una demostración. Me sirve este post como entrenamiento en el detalle.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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