Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 24 de Septiembre, 2012, 11:14

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En el primer cuarto del siglo XX, los físicos comenzaron a explicar fenómenos apelando a un nuevo tipo de modelo. En lugar de seguir la física clásica (de Newton, llevada a nuevos niveles por matemáticos físicos como Laplace, Lagrange y Hamilton entre otros), tuvieron que apelar a nuevas relaciones para explicar los fenómenos. Planck, por ejemplo, para explicar el espectro de cuerpo negro, tuvo que incluir una constante nueva, la famosa h (constante de Planck). Einstein luego la reaprovecha, en 1905, para explicar fenómenos fotoeléctricos que no tenían explicación desde el punto de vista clásico. En la segunda década del siglo, Bohr propone y desarrolla su modelo atómico, donde trata de explicar lo extraño del espectro atómico: la presencia de rayas espectrales bien definidas: toda la física clásica (tanto newtoniana como el electromagnetismo clásico) iba en "contra" de su explicación, basada en imponer nuevas relaciones en las órbitas de los electrones. Finalmente, en 1923, de Broglie propone que no sólo la luz tiene ondas, sino también la materia, dando nacimiento a décadas de discusión sobre el significado físico, ontológico de esas ondas. De Broglie no pudo exhibir evidencia experimental, pero Einstein reconoció la importancia de sus ideas, y con el tiempo, éstas fueron confirmadas experimentalmente de forma dramática. Escribí algo de todo este desarrollo en mi post Hacia la física cuántica: notas de su historia.

Ese es el panorama que tenía enfrente Erwin Schrödinger cuando en 1925 comenzó a trabajar en su famosa ecuación. ¿Qué es lo que buscaba Schrödinger? Movido por de Broglie y la reacción de Einstein, se propone encontrar una función que explique el espectro atómico, generalizando lo que se conocía hasta entonces. Un objetivo similar se había ido alcanzando siguiendo las ideas de Heisenberg, y su mecánica matricial. Pero Schrödinger tenía otras ideas: vió una analogía entre la óptica y la mecánica, y se preguntó si, así como la óptica geométrica podía considerarse como el límite de la óptica ondulatoria, también la mecánica clásica podría ser el límite de una nueva mecánica ondulatoria. Gracias a esa intuición, Schrödinger llegó a desarrollar su ecuación. Inicialmente, trabajó varios meses tratando de encontrar una solución que fuera compatible con la relatividad, pero no consiguió progreso. Cuando relajó sus exigencias, pudo dar con una ecuación que explicaba lo que se conocía del átomo de hidrógeno, así como ejemplos más sencillos.

Pero ¿qué es buscar una ecuación? Schrödinger estaba en una posición similar a Newton, cuando buscaba una ecuación como:

Buscaba una ecuación diferencial, como la de Newton. Una ecuación diferencial da como resultado, no un valor, sino una función. En el caso de Newton, conseguimos una función que explique el movimiento de una partícula o sistema de partículas materiales, pudiendo dar sus posiciones y velocidades en función del tiempo. El tiempo era la única variable. De hecho, Newton considera muchas veces sólo derivadas en el tiempo: hasta su notación para derivada no especifica cuál es la variable independiente, sólo coloca un punto arriba de la función que se deriva (el dt de arriba es de la notación de Leibnitz). Pero para Schrödinger estaba claro que lo que necesitaba, como solución, era una ecuación de onda, que diera un valor que no depende de una sola variable: es una onda que "se esparce" en el espacio. La función dependerá entonces de la posición y el tiempo:

Como son varias variables independientes (r puede tomarse como un vector, y como variables independientes x, y, z), la ecuación buscada, una ecuación diferencial, tendrá derivadas, pero no como la de Newton que sólo tenía derivadas totales respecto de la variable t, sino que ahora habrá derivadas parciales, según la posición y según el tiempo. Las ecuaciones de onda no eran nuevas en física: ya se las conocía en física clásica, para explicar oscilaciones y cuerdas, y habían obtenido un nuevo impulso e importancia con su aplicación en la teoría del electromagnetismo, brillantemente formulada por Maxwell (basada, por supuesto, en el trabajo de otros, como Gauss, Ampere, y el gran físico intuitivo Faraday).
Recuerdo ahora a Dirac en mi post Erwin Schrödinger creando su ecuación, por P.A.M.Dirac

Las ideas de De Broglie se aplicaban solamente a electrones libres y Schrödinger se encontraba con el problema de modificar la ecuación de De Broglie para hacerla aplicable a un electrón moviéndose en un campo, en particular para aplicarla a electrones en átomos….

… Luego de trabajar en ese tema por un tiempo, Schrödinger pudo arribar a una ecuación, a una muy pura y bella ecuación, que parecía ser correcta desde un punto de vista general…

Pero no todo encajaba:

…Por supuesto, era necesario aplicarla para ver si funcionaría en la práctica. Schrödinger la aplicó al problema del electrón en el átomo de hidrógeno y pudo calcular el espectro del hidrógeno. Pero el resultado que obtuvo no estaba de acuerdo con el experimento. Esto fue decepcionante para Schrödinger.... Abandonó el tema por unos meses, según me dijo. Y entonces, después de todo, cuando él se repuso de esa decepción, retornó a su trabajo y notó que si él aplicaba sus ideas con menos precisión, no tomando en cuenta efectos debidos al movimiento relativístico del electrón, con esta menor precisión, su teoría coincidía con la observación.

Ahora bien, para obtener esta ecuación, podríamos seguir el mismo razonamiento que Schrödinger en su tiempo, pero su argumento es algo largo y oscuro. Hoy sabemos más, y podemos dar con la misma ecuación siguiendo un camino más directo. Pero una aclaración: ni Schrödinger ni nosotros ni nadie, puede DEDUCIR la ecuación, sino solamente dar una formulación con algún argumento de plausibilidad, y LUEGO, comprobarla con la realidad, mediante lo conocido, lo observado y lo experimentado.

Recuerdo a Richard Feynman de mi post Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman

... el gran momento histórico que marcó el nacimiento de la descripción cuántica de la materia fue cuando Schrödinger propuso su ecuación en 1926. Durante muchos años la estructura atómica interna de la materia había sido un gran misterio. Nadie había podido comprender qué era lo que mantenía unida la materia, por qué había ligadura química y especialmente cómo podía ser que los átomos pudieran ser estables…

… Aunque Bohr había podida dar una descripción de los movimientos internos de un electrón en un átomo de hidrógeno, la cual parecía explicar el espectro observado de la luz emitida por este átomo, la razón de que los electrones se movieran de este modo, seguía siendo un misterio. El descubrimiento que hizo Schrödinger de las ecuaciones del movimiento apropiado para los electrones en escala atómica suministró una teoría a partir de la cual se podía calcular cuantitavamente, en forma precisa y en detalle, los fenómenos atómicos. En principio, la ecuación de Schrödinger es capaz de explicar todos los fenómenos atómicos excepto aquellos en que interviene el magnetismo y la relatividad….

…Explica los niveles de energía de un átomo y todo lo referente a la ligadura química. Sin embargo, esto es verdad sólo en principio -muy pronto la matemática se hace demasiado complicada como para resolver exactamente algo más que los problemas más simples-. Unicamente los átomos de hidrógeno y de helio han sido calculados con gran precisión. Sin embargo, con diversas aproximaciones, algunas bastante burdas, se pueden comprender muchos aspectos referentes a los átomos más complicados y a la ligadura química...

Pero Feynman también escribe en la sección 16-1:

Cuando Schrödinger la escribió [la ecuación] por primera vez, dio una especia de deducción basada en algunos argumentos heurísticos y en algunas conjeturas intuitivas brillantes. Algunos de los argumentos que usó hasta eran falsos, pero no importa; lo único importante es que la ecuación fundamental da una descripción correcta de la naturaleza.

En la sección 16-5, luego de presentar la fórmula de una partícula que se mueve libremente, escribe:

¿De dónde lo obtenemos? De ninguna parte. No es posible deducirlo de nada que conozcan. Emergió de la mente de Schrödinger en su lucha por conseguir una comprensión de las observaciones experimentales del mundo real.

Tengo los "papers" originales de Schrödinger, en sus "Collected papers on wave mechanics", y puede que alguna vez los comente, pero no será el camino que seguiremos ahora. Esta serie de posts se basa en la exposición de Eisberg y Resnick, en su excelente libro: Física cuántica, átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas, que ya mencioné en mi post Estudiando Física Cuántica (1)

Otro libro que mencioné ahí, muy bueno también es "Fundamentos de mecánica cuántica" de Sidney Borowitz. El autor toma el camino de Schrödinger y es muy bueno para comenzar a entender su pensamiento, y el sentido de sus "papers" originales.

Como mencioné más arriba, Schrödinger recibe gran influencia de las ideas de de Broglie. Pero tengo algunas notas históricas sin completar. En el libro de Eisberg y Resnick, se recuerda un comentario de Debye, físico compañero de Schrödinger:

Entonces de Broglie publicó su artículo. En ese tiempo Schrödinger era mi sucesor en la Universidad de Zurich y yo estaba en la Universidad Técnica, que es un instituto federal, y tuvimos un coloquio juntos. Estuvimos hablando acerca de la teoría de de Broglie, coincidiendo en que no la entendíamos y que deberíamos pensar realmente sobre sus formulaciones y lo que significan. Invité a Schrödinger a que nos diera un coloquio sobre el tema y la preparación que realmente él hubiera obtenido. Existieron solamente unos cuantos meses entre su plática y sus publicaciones

Hubo un paso intermedio antes de comenzar a formular su ecuación. Schrödinger usó las ideas de de Broglie y de Einstein en un "paper" de 1926, sobre la teoría de los gases de Einstein. Leo en el excelente "Conceptual Developments of 20th Century Field Theories" de Cao, Sección 6.3 The birth of wave mechanics:

According to Schrödinger, the essential point of Einstein's new theory of a gas was that the so-called Bose-Einstein statistics was to be applied to the motion of gas molecules. In view of the fact that, in addition to Bose's derivation of Planck's law, there was also Debye's derivation, by applying `natural' statistics to the field oscillators or the degrees of freedom of radiation, Einstein's theory of a gas can also be obtained by applying the natural statistics to the oscillators of a wave field representing molecules. Schrodinger then asserted that `this means nothing else but taking seriously the de Broglie-Einstein wave theory of moving particles'

Como mencioné, esta serie se basará principalmente en el desarrollo que encuentro en el libro de Eisberg y Resnick. Pero no quiero olvidar de mencionar también a "Fórmulas elegantes", editado por Graham Farmelo (@grahamfarmelo en Twitter), donde hay un capítulo dedicado a la ecuación de Schrödinger, así como dos más dedicados a Planck, y a Dirac. En cambio, el "Sources of Quantum Mechanics" colección de "papers" editado por van der Waerden está más orientado a la rama matricial de Heisenberg. Un excelente libro que de alguna forma expone la síntesis de estas dos formulaciones es el "Principles of Quantum Mechanics" del propio Dirac.

En el próximo post, comenzaremos a dar una derivación de la ecuación, dando un argumento de plausibilidad de su forma.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia