Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 30 de Septiembre, 2012, 11:39

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En el tercer post de esta serie Espacios Topológicos vimos los axiomas/propiedades que esperamos de una topología. También apareció entorno:

llamamos entorno E de x a todo conjunto que contenga  A UN conjunto abierto que contenga a x

Quiero definir ahora: sistema de entornos de un punto x como el conjunto de todos los entornos de ese punto. Recordemos que llamamos punto a los elementos del conjunto X, que es el espacio base de nuestra topología. Conjunto abierto es todo elemento de T, la topología que estemos considerando sobre X. Es claro que dada una topología T y un elemento x de X, conocemos el sistema de entornos de x. Vemos hoy alguna propiedad que tiene el sistema de entornos.

Hay una que lo asemeja a la topología T. Lo enuncio como teorema

GT02: Toda intersección finita de elementos del sistema de entornos de x, pertenece a ese sistema de entornos

Veamos de demostrarlo. Sean U, V dos elementos del sistema de entornos de x. Esto es, son entornos que contienen a x. Como tales, cada contiene a un conjuntos abierto que contiene a x, digamos que son A y B, y su intersección sea C. Sea la intersección de U y V el conjunto W, que también contendrá a la intersección de A y B = C, que es un abierto, por ser la intersección de dos abiertos de la topología. C también contiene a x. Entonces, queda:

- Intersección de A y B es abierto = C
- C contiene a x
- Intersección de U y V = W
- W contiene al abierto C que contiene a x

entonces, W cumple con lo que se pide a un entorno de x. Esto demuestra el teorema para dos entornos U y V de x. Se puede completar la demostración usando inducción sobre la cantidad de entornos a intersectar. Escribo Ent(x) para designar al sistema de entornos de x (dada un espacio X y su topología T). Lo que nos dice el teorema, es que los elementos de Ent(x) se parecen a una topología: el conjunto es cerrado ante la operación de intersección finita. Es fácil ver también que:

GT03: Todo conjunto que contenga a un conjunto que pertenece a Ent(x) también pertenece a Ent(x)

Pues si U contiene a E, elemento de Ent(x), también contiene a x, y a un abierto que contiene a x. Entonces, U es entorno de x. Esto nos habilita a ver que toda unión de una familia arbitraria de Ent(x) también es elemento de Ent(x).  Si tomamos Y = Unión de todos los Ent(x), casi tenemos el espacio topológico (Y, Ent(x)). Notablemente, TODOS los conjuntos abiertos tienen al elemento x. Es en eso donde falla que sea un espacio topológico: el conjunto vacío no es un abierto.

Pero es interesante igual ver esa casi-topología: en muchos casos, nos dirá mucho sobre las propiedades de T en general. Un tema a estudiar: casos de propiedades locales a x (referentes a un x en particular) versus propiedades de todos los puntos x del espacio X. Podemos llamar a éstas propiedades globales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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