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Otra lista de enlaces que me han interesado sobre Paul Adrien Maurice Dirac:

Interaction picture
http://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_picture
In quantum mechanics, the Interaction picture (or Dirac picture) is an intermediate between the Schrödinger picture and the Heisenberg picture.

Quantum mechanics: Derive Schrödinger, Klein-Gordon and Dirac equations 3 of 3
http://www.youtube.com/watch?v=fcU1It6rTMg

GEOMETRY OF THE DIRAC THEORY
http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/Geom_Dirac.pdf

Three Pictures of Quantum Mechanics
http://uncw.edu/phy/documents/Shafer_09.pdf
Schrödinger, Heisenberg, Dirac

The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom
http://www.ams.org/notices/201109/rtx110901278p.pdf
Reviewed by Brian E. Blank

A Review on Dirac – Jordan Transformation Theory
http://pelagiaresearchlibrary.com/advances-in-applied-science/vol3-iss4/AASR-2012-3-4-2474-2480.pdf

The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/archivoshistoricosmq/ModernaHist/Dirac1927.pdf
P. A. M. Dirac, St. John"s College,
Cambridge, and Institute for Theoretical Physics, Copenhagen, 1927

The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics
http://www.jstor.org/discover/10.2307/94646?uid=3737512&uid=2&uid=4&sid=21101271717861
P. A. M. Dirac, St. John"s College,
Cambridge, and Institute for Theoretical Physics, Copenhagen, 1926

Sesquilinear form
http://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear

Transformation theory (quantum mechanics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_theory_(quantum_mechanics)
The term transformation theory refers to a procedure used by P. A. M. Dirac in his early formulation of quantum theory, from around 1927.

From canonical transformations to
transformation theory, 1926–1927:
The road to Jordan"s Neue Begr¨undung
http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/fileserverPub/Duncan-Janssen_2009_Canonical-Transformations.pdf/V1_Duncan-Janssen_2009_Canonical-Transformations.pdf

The Quantum Poisson Bracket and
Transformation Theory in Quantum Mechanics:
Dirac"s Early Work in Quantum Theory
http://www.ias.ac.in/resonance/August2003/pdf/August2003p75-85.pdf

Paul Dirac: a genius in the history of physics
http://cerncourier.com/cws/article/cern/28693

The Strangest Man
http://en.wikipedia.org/wiki/The_Strangest_Man

Paul Dirac and the religion of mathematical beauty
http://royalsociety.org/events/2011/paul-dirac/

Why do we enjoy maths history misconceptions?
http://travels.aperiodical.com/2012/02/why-do-we-enjoy-maths-history.html

The Nature of the Dirac Equation
http://www.mesacc.edu/~kev2077170/i256/Nature_Dirac.pdf
by Kevin Gibson

Higgs, Fermi-Dirac distribution, and Pauli exclusion principle
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=302927

Confusion about How Dirac discovered Dirac's Equation
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=449195

Dirac equation for electron in EM and Higgs fields?
http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=3679226

Einstein On Steroids: Dirac, The Higgs, And Speeding Neutrinos
http://www.science20.com/hammock_physicist/einstein_steroids_dirac_higgs_and_speeding_neutrinos-83856

References for: A history of Quantum Mechanics
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/References/The_Quantum_age_begins.html

Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/dirac

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Angel "Java" Lopez
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En la realidad, aparece el fenómeno de la vida:

Es parte de la realidad, y es una manifestación fascinante. ¿Cómo puede ser posible que exista la vida? ¿Qué llevó a que exista? ¿Existe fuera de nuestro planeta?

Desde la ciencia, aparecen con el tiempo la química y la biología, que como otras ciencias, son recién llegadas a la historia del conocimiento humano. En mi postura, la vida se explica desde las leyes físicas: no hay que apelar a nuevas leyes (de vitalismo, organización) FUNDAMENTALES (puede que se observen leyes derivadas) para explicar a la vida.

Desde la filosofía:

Aparece el sistemismo. Y los sistemas. Veo que todo en la realidad o es sistema o es parte de sistema. Puede que una cosa (objeto real) sea un sistema y a la vez sea parte de un sistema. Justamente, los organismos que estudia la biología son el ejemplo más evidente de sistema. Luego, históricamente, fuimos descubriendo otros sistemas: desde sistemas ecológicos hasta sistemas sociales. Las ciencias de la realidad estudian esos sistemas, y tratan de dar modelos de sus mecanismos. Vean que en biología no se busca encontrar leyes expresables matemáticamente tanto como se busca en física. Eso no la pone fuera de las ciencias o del método científico: la actividad científica sigue siendo estudiar la realidad, proponer modelos explicativos, corroborarlos, ponerlos a prueba, y relacionar lo que se descubre y conoce con otros conocimientos científicos.

Queda afuera de los diagramas de arriba, pero no fuera del plan ;-), todo el tema de la evolución biológica (y su fascinante historia y recepción), que nos muestra que la realidad es un Universo que va cambiando. Por lo mismo, entra la cosmología como tema en todo este plan. Cosmología también tiene una acepción más amplia.

Es por todo eso que estuve estudiando y escribiendo sobre sistemas, y comencé a estudiar algo de biología, química, sistemas, evolución biológica y cosmología.

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Angel "Java" Lopez
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Hace un mes, volví a leer un gran libro de Einstein, escrito hacia 1920, El significado de la Relatividad. Es muy claro, pero también va más allá de la divulgación de conceptos de ideas, explicando y usando los conceptos matemáticos involucrados en el desarrollo de las teorías especial y general de la relatividad. Einstein se sumerge en invariantes, transformaciones de Lorentz, tensores y curvaturas. El primer capítulo se llama El espacio y el tiempo en la física prerrelativista, y en las primeras páginas encuentro este fragmento:

La única justificación de nuestros conceptos y sistema de conceptos reside en el hecho de que son útiles para representar el complejo de nuestras experiencias; pero fuera de ello no poseen otro título de legitimidad. Estoy convencido de que ha sido perjudicial la consecuencia que ha tenido en el progreso del pensamiento científico, el empeño de los filósofos de sacar fuera del dominio del empirismo ciertos conceptos fundamentales, trasladándonos así de este dominio, que está bajo nuestro control, a las alturas intangibles de lo apriorístico. Admitiendo que el universo de ideas no puede ser deducido de la experiencia por un método lógico sino que, por el contrario, es una creación de la mente humana, sin la cual no es posible la Ciencia, aun así resulta que este universo de ideas es tan dependiente de la naturaleza de nuestras experiencias como la forma de los vestidos que usamos es dependiente de la forma de nuestros cuerpos. Esto es particuarmente aplicable a nuestros conceptos de tiempo y espacio, a los cuales los físicos se han visto obligados, por los hechos, a hacerles descender del Olimpo de lo a priori, con el objeto de modificarlos de modo que puedan prestar servicios útiles.

Einstein combate la idea de un espacio y un tiempo absoluto, como ideas a priori. Va contra Newton, y también, de alguna forma, contra Kant. Todo concepto de espacio y tiempo es humano, pero derivan de la experiencia, de referentes en la realidad. No hay tiempo sin movimiento de cosas en el espacio, no hay espacio sin cosas en el espacio.

Los modelos que proponemos en ciencia, son humanos, pero como los vestidos que menciona Einstein, no son invenciones cualquieras, sino que esperamos se adecuen, lo mejor posible, a lo que nos da la experiencia de la realidad. Lo que yo agregaría es que sí hay categorías "a priori", cableadas, prearmadas en nuestro cerebro y su proceso, producto de la evolución. Son formas de procesamiento de las percepciones que nos han ayudado para sobrevivir en nuestro ambiente: un ambiente de velocidades no relativísticas.

Nos leemos!

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Saben que me interesa la historia de la ciencia. Hoy me encuentro con un fragmento de Einstein, perteneciente a una autobiografía científica que escribió en marzo de 1955. Einstein no era muy partidario de escribir detalles biográficos que no tuvieran relación con su trabajo científico. Pero en este texto cuenta algunos detalles:

As a sixteen-year-old I came to Zurich from Italy in 1895, after I had spent one year without school and teachers in Milan with my parents. My aim was to gain admission to the Polytechnic, but it was not clear to me how I should attain this, I was a self-willed but modest young man, who had obtained his fragmentary knowledge of the relevant fundamentals [mainly] by self-study. Avid for deeper understanding, but not very gifted in being receptive, studies did not appear to me to be an easy task. I appeared for the entrance examination of the engineering department with a deep-seated feeling of insecurity. Even though the examiners were patient and understanding, the examination painfully revealed to me the gaps in my earlier training. I thought it was only right that I failed. It was a comfort, however, that the physicist H.F. Weber informed me that I could attend his lectures if I stayed in Zurich. The director, Professor Albin Herzog, however, recommended me to the Cantonal School in Aarau, from where after one year's study I was graduated. On account of its liberal spirit and genuine sincerity, and teachers who did not lean on external authority of any kind, this school has left on me an unforgettable impression. Compared to the six years of schooling in an authoritatively run German gymnasium I became intensely aware of how much education leading to independent activity and individual responsibility is to be preferred to the education which relies on drill, external authority, and ambition. Real democracy is not an empty illusion.

Es interesante notar cómo Einstein se encontró mejor en esa escuela de Aarau, y su temprano rechazo de la autoridad arbitraria. También es de destacar que, aunque no pudo ingresar en su primer intento en el Politécnico, llamó la atención de Weber, quien lo invitó a sus clases. Y ahora sigue un detalle, comentado por muchos biógrafos: su primera pregunta que lo acerca a la teoría de la relatividad.

During this year in Aarau came to me the question: If one follows a light beam with the speed of light, then one would obtain a time-indepedent wave field. However, such a thing does not exist! This was the first childish thought-experiment which had something to do with the Special Theory of Relativity. Invention is not the result of logical thinking, even though the final result has to be formulated in a logical manner.

Encuentro este texto en el excelente libro (dos volúmenes) de Jagdish Mehra, The Golden Age of Theoretical Physics. Este libro tiene tantas cosas interesantes (artículos sobre historia de la física cuántica y sus creadores: Planck, Einstein, Dirac, Bohr, Schrodinger, Heisenberg, Born, etc...) que daría para llenar varios blogs como éste.

Nos leemos!

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Hace unos días escribía cómo un matemático describía el estilo de Gauss. La semana pasada, estudiando la historia del electromagnetismo, me encuentro con este texto de Ludwig Boltzmann comentando el estilo de James Clerk Maxwell:

Un matemático reconocerá la obra de Cauchy, Gauss, Jacobi, Helmhotz después de haber leído unas pocas páginas, del mismo modo como un músico reconocerá a Mozart, Beethoven o Schubert desde los primeros compases. La perfecta elegancia en la expresión corresponde a los franceses, aunque a veces combinada con cierta debilidad en las conclusiones. El vigor dramático corresponde a los ingleses, y por encima de todos ellos, a Maxwell. ¡Quién no conoce su teoría dinámica de los gases! Al comienzo se desarrollan majestuosamente las variaciones sobre las velocidades, luego aparecen, por un lado las ecuaciones de estado, por el oro la ecuación del movimiento en un campo central. El caos de las fórmulas se eleva gradualmente hasta que de pronto se oyen las cuatro palabras: "hagamos n = 5". El espíritu maligno V (velocidad relativa de dos moléculas) se desvanece, y es reducida al silencio de pronto la figura dominante en el bajo, siendo así eliminado de un solo golpe lo que parecía insalvable. Ni hay tiempo siquiera para ver por qué se hizo tal o cual sustitución, y quien no se adapte a esto, haga el libro a un lado, pues Maxwell no es autor de música a programa que tiene que encabezar la partitura con una explicación. Las fórmukas doblegadas dan un resultado tras otro, hasta que, final inesperado, surge el equilibrio térmico de un gas ponderable. Luego cae el telón.

Recuerdo también algún "paper" de Newton, enviado en forma anónima a un concurso matemático en Francia (debió ser por el problema de la curva baquistócrona), leo en este artículo:

An anecdote often cited to demonstrate his brilliance is the problem of the brachistochrone, which had baffled the best mathematicians in Europe, and came to Newton's attention late in life. He solved it in a few hours and published the answer anonymously. But on seeing the solution Jacob Bernoulli immediately exclaimed "I recognize the lion by his footprint."

Es cierto. Los matemáticos (y los físicos matemáticos, como Dirac o Maxwell) tienen su estilo, no sólo de escribir, sino también tienen estilo de problemas que encaran y la forma de encararlos y solucionarlos.

Encuentro el texto de Boltzmann citado en el libro (blanco) sobre James Clerk Maxwell, vida y obra, colección Grandes Pensadores, editorial Planeta DAgostini. Lo encuentro en la sección Vida y Epoca, escrita por James G. Crowther

Nos leemos!

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Sea una función sobre dos valores reales:

En los tiempos "clásicos" del análisis, una función era algo que se definía por una fórmula. No era considerada como lo es hoy, una aplicación desde un conjunto de partida hasta un conjunto de llegada, donde a CADA elemento del primer conjunto se le asigna UN Y SOLO UN elemento del segundo. Es así como yo aprendí qué es una función. Y luego aprendí de funciones inyectivas, biyectivas, suryectivas (vean que en Argentina, mi país, se adaptaron los términos franceses, puesto "de moda" por el grupo Bourbaki). Pero ahora, nos interesan las funciones "clásicas", las definidas por una fórmula. Digamos entonces, que nuestra función es:

Así, queda definido el valor de la función para cada par de números reales (el resto del post puede también entenderse como funciones sobre el cuerpo de los complejos, o sobre cualquier cuerpo conmutativo). Ejemplos:

…

Pero sea que ahora se nos ocurre, cambiar los valores x1, x2, digo, los valores "de entrada". Por ejemplo, pasemos de cada punto (x1, x2) a otro (x"1, x"2). Voy a usar "punto", "plano" para mejorar la explicación, pero podría prescindir de esa analogía. Sin embargo, es muy útil: facilita explicar lo que quiero mostrar, y en todo caso, los matemáticos también hacen y apelan a esas analogías todo el tiempo. 
Digamos que se ocurre ahora aplicar a cada par x1, x2 otro par, de esta forma:

Pero quiero una función, digamos g, sobre los "nuevos puntos" que dé los mismos valores que sobre los "viejos puntos". Es decir, quiero:

Otra forma de verlo es: no cambié de puntos. Tengo puntos en un plano, pero pasé a expresarlos en otras coordenadas. Entonces, quiero una fórmula (es decir, una función con una expresión, con una forma dada de calcularla), que me dé los mismos resultados que antes. Para poner algo más concretos: si la primera fórmula me daba algo físico, como la presión del aire en un punto de un territorio plano, ahora, al cambiar de coordenadas, quiero obtener para cada mismo punto el mismo valor de presión. Con el cambio dado más arriba de "viejo punto" a "nuevo punto" o, el equivalente, de "viejas coordenadas" a "nuevas coordenadas",  si quiero conservar los valores, puedo definir ahora a la nueva función g como:

O lo que es lo mismo, para la forma de g:

Quedando restaurados los valores iniciales. La transformación de puntos que hicimos, hizo que obtengamos una nueva función, para conservar los resultados de la primera.
Pero veamos el caso de la función (disculpen, voy a usar la misma letra/nombre que antes):

Y ahora tomemos la transformación:

Siendo v una constante cualquiera. Ahora, NOTABLEMENTE, la función transformada, es decir, la nueva función g que tenemos que tomar sobre los nuevos puntos (o coordenadas) para obtener los mismos resultados que sobre las variables/puntos/coordenadas originales, ES LA MISMA!!:

Pues

Porque la constante v se cancela. El que la nueva f sea UNA DIFERENCIA de dos variables, no es necesario. Pues también obtenemos la misma función cuando:

Ante esta nueva transformación, g TIENE LA MISMA forma que f. Podemos decir, son la misma función, o decir: f no varió, permaneció invariante (en FORMA) ante la transformación elegida.

A ver, de nuevo:

- Hicimos una transformación de variables (o de puntos, o de coordenadas)
- Dada función f conseguimos una nueva g que conservara los resultados (f sobre valores originales debe dar lo mismo que g sobre valores transformados)
- NOTABLEMENTE, ahora, en este nuevo ejemplo, f y g tienen la MISMA FORMA, la misma expresión para calcularlos

Se dice entonces que la función quedó invariante ante una transformación.

Hay que entender algunos puntos:

- Lo que quedó invariante es la FORMA de la función. Aclaro esto, porque para mí, este tema me resultó confuso. En el primer ejemplo que puse, de funciones f y g, para mí, eran la misma función, porque consideraba que había habido un cambio de coordenadas, pero no de "puntos".  Y eran la misma función porque daban los mismos resultados sobre los mismos "puntos", expresados en distintas "coordenadas". Yo no entendía que hubiera habido un cambio desde f hasta g.
- Pero lo que quieren decir los libros (de matemáticas, de física, de divulgación) que lo que no cambia es LA FORMA DE LA FUNCION, la expresión, fórmula que se usa para expresarla
- Y otro punto importante: la forma de una función f es INVARIANTE (NO CAMBIA) ante una transformación T, no es INVARIANTE en el aire. Todo concepto de invariancia es RELATIVO a una o varias transformaciones.

En próximos posts:
- Más ejemplos de transformaciones y funciones invariantes
- Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman grupo
- Polinomios simétricos

Nos leemos!

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Viene un diagrama difícil de explicar (por lo que abarca), y aún así simplificado (no podría dibujar todo lo que falta, o con el detalle que quisiera):

Digo que es difícil de explicar, por lo mucho que abarca, pero a la vez simple, porque se puede resumir en las relaciones de dos ciencias, una fáctica (de hechos de la realidad) y otra fomal: la física y las matemáticas. La física ha sido alimentada, desde Galileo y alrededores, por las matemáticas. Ha habido una influencia al revés: el desarrollo de la física fomentó el de las matemáticas. Baste recordar que tanto Newton, Euler, Laplace, Lagrange, Fourier, Gauss se ocuparon de temas de matemáticas aplicadas a problemos físicos concretos. Vean que pongo en el diagrama de nuevo a la historia, tanto de la física como de las matemáticas. Debería agregar filosofía de ambas.

Veamos de justificar las relaciones puestas en el diagrama. Por un lado, el cálculo con derivadas totales, nace con el desarrollo de la mecánica clásica. Por otro, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en el estudio de ondas (y de otros temas, como la ecuación del calor) y en la evolución de la mecánica clásica a temas más complejos. El álgebra lineal prácticamente aparece en toda la física (naciendo a espacios vectoriales en el siglo XIX). El electromagnetismo se alimenta de lo desarrollado para ondas. La relatividad de Einstein termina conciliando la mecánica clásica y el electromagnetismo, haciendo "ganar" a este último: sus leyes son invariantes ante una transformación de Lorentz (lo mismo pasa con la ecuación de onda), y hay que "corregir" a las leyes de Newton. Lagrangianos y Hamiltonianos aparecen en prácticamente todo. Y para entender y explicar física cuántica (y para estudiarla), hay que abrevar tanto en la mecánica clásica como en ondas. Me falta poner en el diagrama, la "hija" de la relatividad especial y la física cuántica: la teoría cuántica de campos, que confluye con las teorías gauge, con el modelo estándard. Los intentos de reconciliación de relatividad general/gravedad y cuántica, dieron a luz a la teoría de cuerdas.

De ahí que haya comenzado ya hace unos años a estudiar varios de estos temas, habiendo escrito bastantes posts, como muestran los enlaces que puse arriba. Todo esto, matizado con historia, como por ejemplo Notas de la historia de la física cuántica o Los Principia de Newton, o con filosofía, como Filosofía de la física newtoniana. Y tengo más posts, de larga enumeración, sobre Newton, Einstein, Heisenberg, Schrödinger, Feynman, Dirac, Gauss, y se vienen más ;-)

Pero es apenas una parte de la realidad que estudia la ciencia, la realidad física. En próximo posts: otras caras de la realidad, aproximadas desde la ciencia y la filosofía; el fenómeno de la vida (ver también ¿Qué está haciendo el Universo? (Parte 3) Vida); el fenómeno humano, la sociedad. Para el final: el lugar de las matemáticas en mis posts.

Nos leemos!

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Estoy estudiando bastante de física cuántica, sus conceptos, historia, desarrollo conceptual y su relación con la filosofía y el realismo. Es un tema fascinante, pero que lleva su tiempo, y su costo, para alguien como yo aún afectado por el efecto Coto :-). Hay varias razones para que me resulte fascinante, y una es la relación que la física, en general, y la física cuántica, en particular, establece con las matemáticas. Para realmente entender física cuántica, hay que conocer bastante de matemáticas y mucho de física clásica. Por ejemplo, trozos de física matemática clásica traida de nuevo a la cuántica, se ven en el caso de la necesidad de usar lagrangianos y hamiltonianos, o series e integrales de Fourier.

Así que estoy repasando temas viejos y estudiando temas nuevos (para mí) de física y matemáticas. Uno de los libros que más me está ayudando es un clásico, el Methods of Mathematical Physics, en dos volúmenes, de Richard Courant y David Hilbert (tengo pendiente de leer otro libro que tengo, una biografía de los dos). En mi vida, mi primer contacto con la obra de Courant fue con su popular What  is Mathematics? en coautoría con Herbert Robbins, habrá sido en los ochenta. Sólo mucho más adelante conocí de su relación con David Hilbert.

Tengo la edición de 1953, revisada por Courant. La versión original en alemán fue publicada en 1924. Curiosamente, a pesar que el gran salto en la mecánica cuántica fue en 1925-26, con los trabajos de Heisenberg y Schrödinger, el contenido del libro me sirve para empaparme de varios de los temas que son necesarios para entender el desarrollo de la mecánica cuántica de entonces, y luego, de la física cuántica en general, como es el caso de las series de Fourier mencionadas, y cálculo de variaciones. Hasta estudiar álgebra lineal tiene un gusto distinto en este libro. Leo en el artículo de la wikipedia sobre el libro:

The material of the book was worked up from the content of Hilbert's lectures. While Courant played the major editorial role, many at the University of Göttingen were involved in the writing-up, and in that sense it was a collective production.

On its appearance in 1924 it apparently had little direct connection to the quantum theory questions at the centre of the theoretical physics of the time. That changed within two years, since the formulation of Schrödinger's equation made the Hilbert-Courant techniques of immediate relevance to the new wave mechanics.

Es bueno recordar el prefacio de la primera edición en inglés de este excelente libro, escrito por Courant:

The first German edition of this volume was published by Julius Springer, Berlin, in 1924. A second edition, revised and improved with the help of K. O. Friedrichs, R. Luneburg, F. Rellich, and other unselfish friends, followed in 1930. The second volume appeared in 1938. In the meantime I had been forced to leave Germany and was fortunate and grateful to be given the opportunities open in the United States. During the Second World War the German book became unavailable and later was even suppressed by the National Socialist rulers of Germany. Thus the survival of the book was secured when the United States Government seized the copyright and licensed a reprint issued by Interscience Publishers, New York. Such a license also had to be obtained from the Alien Property Custodian for the present English edition.

Un ejemplo de la estupidez humana ha sido prohibir este libro. Leo en la wikipedia:

An Alien Property Custodian was an office within the Government of the United States during World War I and again during World War II, serving as a Custodian of Enemy Property to property that belonged to US enemies.

Sigue Courant:

This edition follows the German original fairly closely but contains a large number of additions and modifications. I have had to postpone a plan to completely rewrite and modernize the book in collaboration with K.O. Friedrichs, because the pressure for publication of an English "Courant-Hilbert" has become irresistible. Even so, it is hoped that the work in its present form will be useful to mathematicians and physicists alike, as the numerous demands from all sides seem to indicate. The objective of the book can still today be expressed almost as in the preface to the first German edition.

Es interesante leer que una de las motivaciones para el libro fue la separación entre física y matemáticas, dado la aparición de estructuras abstractas y formalismo en estas últimas, donde curiosamente Hilbert tuvo mucho que ver.

"Since the seventeenth century, physical intuition has served as a vital source for mathematical problems and methods. Recent trends and fashions have, however, weakened the connection between mathematics and physics; mathematicians, turning away from the roots of mathematics in intuition, have concentrated on refinement and emphasized the postulational side of mathematics, and at times have overlooked the unity of their science with physics and other fields. In many cases, physicists have ceased to appreciate the attitudes of mathematicians. This rift is unquestionably a serious threat to science as a whole; the broad stream of scientific development may split into smaller and smaller rivulets and dry out. It seems therefore important to direct our efforts toward reuniting divergent trends by clarifying the common features and interconnections of many distinct and diverse scientific facts. Only thus can the student attain some mastery of the material and the basis be prepared for further organic development of research.

Es placentero leer este libro, porque libros más modernos están más orientados a enunciar rápidamente algunos teoremas y reglas, para formar ingenieros, o están orientados a estructuras abstractas, para formar matemáticos.

"The present work is designed to serve this purpose for the field of mathematical physics. Mathematical methods originating in problems of physics are developed and the attempt is made to shape results into unified mathematical theories. Completeness is not attempted, but it is hoped that access to a rich and important field will be facilitated by the book.

"The responsibility for the present book rests with me. Yet the name of my teacher, colleague, and friend, D. Hilbert, on the title page seems justified by the fact that much material from Hilbert's papers and lectures has been used, as well as by the hope that the book expresses some of Hilbert's spirit, which has had such a decisive influence on mathematical research and education."

I am greatly indebted to many helpers in all phases of the task of preparing this edition: to Peter Ceike, Ernest Courant, and Anneli Lax, who provided most of the first draft of the translation; to Hanan Rubin and Herbert Kranzer, who have given constructive criticism; to Wilhelm Magnus, who is responsible for the appendix to Chapter VII; and to Natascha Artin and Lucile Gardner, who carried the burden of the editorial work. Most cordial thanks also are due to Interscience Publishers for their patient and helpful attitude and to my old friend and publisher, Dr. Ferdinand Springer in Heidelberg, the great pioneer of modern scientific publishing, for his sympathetic understanding of the situation, which has so greatly changed since the old days of our close cooperation.

R. COURANT
NEW ROCHELLE, NEW YORK
JUNE 1953

Post relacionados, con respecto a las dos guerras, la persecución del nacionalsocialismo, la ciencia y las matemáticas:

Físicos cuánticos en 1933
Einstein: ciencia más allá de la guerra
Ciencia en guerra
Felix Hausdorff

Sobre Hilbert:

Los problemas de Hilbert
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Formalismo en matemáticas
David Hilbert, por Richard Courant

Nos leemos!

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Sigo traduciendo y comentando le texto de Pais sobre Dirac.

Según lo prometido, ahora continuo con un informe del trabajo de Dirac [luego de su periodo más fructífero], y comienzo con alguno de sus menas conocidas investigaciones. Primero, en 1933 colaboró con su buen amigo Pyotr Kapitz (1894-1984) en un estudio teórico de la reflexión de los electrones en ondas de luz estacionarias. Este 'efecto Kapitza-Dirac' no fue observado experimentalmente hasta 1986. Segundo, también en 1933, Dirac inventó un método centrífugo para separar mezclas gaseosas de isótopos. Kapitza lo animó a llevar los experimentos por sí mismo, y Dirac lo hizo pero no los completó. Dalitz ha dado un detallado informe de cómo, desde 1940, los proyectos de construcción de bombas atómicas revivieron el interés en ese trabajo, y cómo Dirac se transformó en un consultor informal para ese proyecto. También contribuyó de otro modo diferente al esfuerzo de guerra, siendo miembro del pequeño equipo de bomberos del St John's College, en Cambrige, durante el periodo donde se esperaban  "raids" incendiaros (esto según una carta del 28 de abrl de 1993, de H. Peisir a R.Hovis, ahora en los archivos de St John's).

Aunque eran dos temas interesantes, deben ser considerados como una digresión del tema principal de Dirac: los problemas fundamentales, en los que él continuó mostrando su alta inventiva matemática y artesanía pero sin ese brillante combinación de novedad y simplicidad que marcó su periodo heroico.

Sin pretender ser completo, y en un order al azar, acá están alguno de los principales temas que, como yo veo, transmiten el sabor de su pensamiento en sus últimos años.

Elaboración de la dinámica Hamiltoniana [estoy escribiendo mi serie Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos]. Incluye estudios de la evolución dinámica en relatividad especial de sistemas con varios tipos de hipersuperficies, tanto en teoría clásica como en mecánica cuántica. También, investigaciones de sistemas Hamiltonianos restrigidos, que lo lleva a su formulación Halmitoniana de la relatividad general. Ese trabajo, a su vez, se derivó en su interés por las ondas gravitacionales. ¿Acuñó Dirac el nombre "gravitón"? Según el New York Times del 31 de enero de 1959: "El profesor Dirac propuso que las unidades de ondas gravitacionales se llamen gravitones". Relacionado con el interés de toda una vida de Dirac en la relatividad general están sus "papers" sobre ecuaciones de onda en espacios conformes, de de Sitter y de Rienmann. Dió conferencias sobre relatividad general hasta los años setenta.

Temas cosmológicos, en los que él se había comenzado a interesar en sus días en Gotinga. No publicó sobre este tema hasta 1937. Desde entonces, hasta el fin de su vida, él estuvo intrigado por la posibilidad de que las constantes fundamentales de la naturleza no fueran constantes sino que dependieran del tiempo en una escala puesta por la época cosmológica, el tiempo transcurrido entre el big bang y el presente. Esperaba que relaciones simples pudieran emerger entre tan extremadamente grandes pero comparables números como la razón de la época a los tiempos de intervalos atómicos y de la razón entre fuerzas eléctricas y gravitaciones entre un electrón y un protón. No alcanzó ningún avance definitivo. Otros siguieron estos temas con más interés que entusiasmo.

Tengo el libro de Bondi, Cosmología, para ver un resumen de las ideas de Dirac sobre el tema.

El éter. Un breve periodo (1951-3) de especulación sobre el efecto que la mecánica cuántica permite para existencia de un éter.

Esto último está relacionado sobre cómo considerar el vacío en teoría cuántica de campos, tema al que Dirac había aportado decisivamente, desde su teoría del electrón. Debería repasar el prefacio de su Principles of Quantum Mechanics, donde menciona substrato. Escribí sobre ese texto en Grupos y Física, por Dirac.

Dejo para el próximo post el tema de electrodinámica cuántica y Dirac.

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El tema de esta serie de post, es un gran tema, más grande quizás de lo que imaginaba al principio. Siempre me interesó la ciencia, la filosofía de la ciencia, la epistemología, y la relación de la ciencia física (en particular) con las matemáticas. En este siglo leí (y sigo leyend) al  "Penrose". En su primer capítulo, Penrose comenta qué números se usan en física: enteros, reales, complejos. Y también plantea la siempre interesante pregunta: ¿por qué se usan?

Desde hace unas décadas, pienso que la naturaleza (por hablar de alguna manera) rehúye de los infinitos, y entonces, rehúye de tener entidades que "se midan" (en realidad, que se puedan incluir en nuestros modelos, con medida) en reales que puedan ser infinitamente pequeños. El descubrimiento de la física cuántica es la historia de la constante h, y de la aparición de números enteros en nuestros modelos. Los problemas de la renormalización en electrodinámica cuántica es otra lucha contra los infinitos.

Pero, si se pueden discutir los reales, ¿por qué aparecen los números complejos, en especial, en física cuántica? En esa rama de la ciencia física, aparecen por primera vez en mecánica cuántica. En mi charla sobre física cuántica, mencioné que fue Schrödinger el que trajo los números complejos en el formulismo ahora aceptado. Debo agregar también a Heisenberg. Ambos trabajaron desde 1925 en sus formulismos, y desde casi el comienzo pusieron números complejos, notablemente en exponentes de desarrollos en serie de Fourier. Durante un tiempo, pensé que de Broglie ya había usado números complejos en sus "papers" de 1923, pero no los he conseguido. No parece que los haya usado. Lo que pasó, es que desde Schrödinger en adelante, las ondas de de Broglie se expresan con el número e elevado a exponentes imaginarios. Pero no encontré ninguna evidencia de que el propio de Broglie usara complejos para sus ondas. Igualmente, siempre se puede expresar el formulismo cuántico en vez de funciones complejas, en pares de funciones reales. Tendría que leer a John Baez (ver The three-fold way), tiene también un desarrollo de formulismo cuántico sobre cuaterniones. Tendría que explorar también octoniones y álgebras de Clifford en general. Pero me alejo del tema.

Una línea donde NO aparecieron números complejos, fue la iniciado por Niels Bohr en 1913 con su modelo atómico, luego mejorado por Wilson, Sommerfeld, y otros (notablemente Schwarzwild), su tratamiento de las condiciones de cuantización y sistemas especiales donde aplicarlas (tengo que estudiar los condicionalmente periódicos). Tengo que revisar los "papers" del excelente Sources of Quantum Mechanics editado por van der Waerden, para revisar si hubo alguien antes de Heisenberg (el libro se ocupa de la historia del formalismo matricial) que pusiera números complejos.

Fui en estos años recolectando notas sobre la aparición de los números complejos en la historia de la mecánica cuántica. Pero realmente eran varias y dispersas. Hasta que al fin encontré, en el excelente libro de artículos "Schrödinger Centenary Celebration of a Polymath" un artículo de Chen Ning Yang (sí! el Yang de Yang-Mills y el Yang de la no conservación de la paridad en la interacciones débiles). El artículo se titula "Square root of minus one, complex phases and Erwin Schrodinger", y me viene como anillo al dedo para servir de base para esta serie. En los primeros párrafos, Yang recuerda y cita Dirac. En este primer post, quiero traducir y compartir con uds. este texto de Dirac:

La pregunta que surge es si realmente la no conmutatividad es la principal nueva idea de la mecánica cuántica. Antes yo siempre pensaba eso pero recientemente he comenzado a dudarlo y a pensar que posiblemente desde un punto de vista físico, la no conmutatividad no es la única idea importante y que hay quizás otra idea más profunda, un cambio más profundo en nuestros conceptos ordinarios que nos ha traido la mecánica cuántica.

Dirac escribe esto en (creo que es revista/publicación) Fields and Quanta, 1972. No tengo el título de su artículo. Luego de desarrollar su idea, va concluyendo:

Así que si alguien pregunta cuál es la principal característica de la mecánica cuántica, me siento inclinado ahora a decir que no es el álgebra no conmutativa. Es la existencia de amplitudes de probabilidad que yace debajo de todos los procesos atómicos. Ahora una amplitud de probabilidad se relaciona con un experimento, pero sólo parcialmente. El cuadrado de su módulo es algo que podemos observar. Esa es la probabilidad que los experimentadores obtienen. Pero además de eso hay una fase, un número de módulo uno que puede ser modificado sin afectar el cuadrado del módulo. Y esta fase es importante porque es el origen de todos los fenómenos de interferencia pero su significado físico es oscuro. Así que el genio real de Heisenberg y Schrodinger, podría decir, fue descubrir la existencia de amplitudes de probabilidad que contienen esa cantidad de fase que está bien oculta en la naturaleza y es porque está tan bien oculta que la gente no había pensado mucho antes en la mecánica cuántica.

Es muy interesante. Esa fase es lo que le da "sabor" al formulismo cuántico. Podría haber interferencia con reales: simplemente podríamos poner reales negativos y positivos como amplitudes, y su cuadrado como probabilidad. Pero entonces, si un valor R evoluciona en el tiempo, para pasar de positivo a negativo, tendría que pasar necesariamente por 0. Y se tendría el caso de "anularse" algo físico (como si una partícula desapareciera y volviera a aparecer). En cambio, el tener esa fase (un número complejo de módulo 1) permite que haya magnitudes R que evolucionan en el tiempo explicando los fenómenos de interferencia, sin tener que aceptar la desaparición/aparición de magnitudes en nuestros modelos.

Nota: vean que Dirac también menciona a la no conmutatividad. Esa característica tiene relación (y les debo post) con el principio de incertidumbre. Vean que he evitado ese principio en mis posts de física cuántica. Mucho se puede obtener sin apelar a ese principio. Y puede que ese principio se explique mejor por simples características de las ondas que aparecen en el formulismo (y algo de series e integrales de Fourier).

El de Yang es un artículo fascinante, al que seguiré comentando en próximos post. Tiene una referencia (y una notable carta de London) sobre un trabajo de Schrodinger en 1922, donde aparecen esas fases complejas, justamente relacionándolas con una extensión al trabajo (fallido) de Weyl sobre unificación de gravedad y electromagnetismo (ver Penrose, cómo pone a ese trabajo de Weyl como una de las apariciones de una teoría gauge).

Como regalo (lo mío es un apostolado ;-), les dejo dos "papers" para entender el trabajo de Heisenberg y Schrödinger:

Erwin Schrödinger and the creation of wave mechanics
Understanding Heisenberg"s "magical" paper of July 1925: a new look at the calculational details

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigo traduciendo (con comentarios breves) la nota de Mehra sobre Feynman:

La gran influencia en el MIT [para Feynman] fue Phillip Morse, quien le dió clases especiales en mecánica cuántica a Richard Feynman y a su amigo (otro brillante estudiante joven) Theodore Welton, en su segundo año ["semaphore year"]. Morse les dió problemas para resulver: determinar el espectro de elementos con bajo número atómico, hasta 10 o 12. Ellos tuvieron que determinar los niveles de energía usando un principio variacional [mencioné en el post anterior el primer contacto de Feynman con este tipo de principios], usando funciones de onda y parámetros similares a los usados para el caso del hidrógeno. Feynman recordaba que "estaba muy excitado al conseguir números razonablemente cercanos al mundo real, porque para mí el mundo real siempre había sido complicado. Poder conseguir qué era lo que estaba sucediendo, fue impresionante". Sobre mecánica cuántica, estudió el libro de Pauling y Wilson "Introduction to quantum mechanics". Tambié estudió el de Ruarks y Urey "Atoms, molecules and quanta" y el de P.A.M. Dirac "The principles of quantum mechanics" [excelente libro que tengo]. Aprendió mecánica estadística del libro de Richard Chace Tolman sobre el tema, y relatividad con el "The mathematical theory of relativity" de Arthur S. Eddington. Para física nuclear, estudió los artículos de Hans Bethe en el "Reviews of Modern Physics". Durante sus años en el MIT, desde 1935 a 1939, Feynman aprendió toda la física teórica por su cuenta [algo de eso debe estar reflejado en mi post Richard Feynman por Freeman Dyson]. Hasta publicó un par de artículos. Fue coautor de un artículo sobre 'The scattering of cosmic rays by the stars of the galaxy' con el físico de rayos cósmicos Manuel Sandoval Vallarta, y publicó su "senior" tesis sobre 'Forces in molecules'; ambos artículos fueron publicados en el Physical Review. Gracias a su tesis, comenzó a conocerse un teorema llamado el teorema de Helloman-Feynman.

Feynman fue a la Universidad de Princeton para su doctorado. En Princeton, se suponía que Feynman feura un asistente de investigación de Eugene Wigner, pero en cambio fue asignado a John Archibald Wheeler, quien se había unido recientemente a la facultad de física de Princeton. Wheeler influyó profundamente en Feynman, y éste dió tanto como recibió. En Princeton, Feynman perfeccionó su aproximación de "path-integral" de la mecánica cuántica no relativista, y escribió una disertación doctoral sobre 'The principle of least action in quantum mechanics' [noten la influencia que mencionaba en el anterior post] Consiguió su doctorado en Princeton en 1942. Fue ahí donde dió un seminario de su trabajo con John Wheeler sobre la teoría de acción a distancia de electrodinámica, a la que asistieron "mentes monstruosas" como Einstein, Pauli, Henry Norris Russell, John von Neumann, y Eugene Wigner... [en el siguiente capítulo Mehra describe ese periodo en detalle]... Ya entonces, en su último año en Princeton, aún antes de haber completado su doctorado, Feynman fue persuadido por R.R.Wilson para unirse al proyecto de la bomba atómica. En el Proyecto Manhattan, en Los Alamos, Feynman se convirtió en el líder del Technical Computations Group en el Theory Division encabezada por Hans Bethe. Feynman desarrolló una buena relación con Bethe y fue profundamente influenciado por él. Le tomó gran afecto y respeto a Bethe y, luego de Los Alamos, siguió a Bethe a Cornell, donde Bethe había arreglado un puesto para él. Feynman se encontró con Schwinger en Los Alamos [recordemos que esta nota está en el libro biográfico sobre Schwinger], cuando éste estuvo ahí en el verano de 1945 con Jerrold Zacharias para dar algunas conferencias sobre guías de ondas y radiación de sincrotón... Feynman arribó a Cornell para su puesto de enseñanza recién al comienzo de noviembre en 1945. Al principio, por un tiempo, él no conocía en cuál dirección ir en su carrera científica, pero más tarde vivió un hermoso, satisfactorio y productivo periodo de varios años; fue promovido a un profesor asociado en Cornell en febrero de 1947.

En un gran experimento, realizado por Willis E. Lamb, Jr., y su estudiante graduado Robert C. Retherford, en la Universidad de Columbia en la última semana de abril de 1947, el corrimiento Lamb fue descubierto y medido... fue el comienzo de uno de los principales temas de discusión el la conferencia de la isla Shelter sobre los problemas fundamentales de la mecánica cuántica, durante la primera semana de junio de 1947. Feynman fue invitado a asistir. En su viaje de regreso de la isla Shelter, Bethe tomó su famoso viaje en tren de Nueva York a Schenectady y durante esas tres o cuatro horas de viaje en tren desarrolló los primeros cálculos sobre la electrodinámica cuántica no relativista del efecto Lamb... Bethe encontró que si se encontrara una manera de hacer finita la electrodinámica con la ayuda de un procedimiento de corte ["cutoff procedure"] encontes los cálculos de un campo cuántico relativista del efecto Lamb podrían ser desarrollados de forma simple. La conferencia de Bethe a su refreso a Cornell hizo que Feynman volviera nuevamente a su investigación, porque él conocía cómo introducir un corte relativísticamente invariante en el Lagrangiano de la electrodinámica clásica en su método de "path-integral". Feyman inmediatamente comenzó a perfeccionar su aproximación al espacio-tiempo de la electrodinámica cuántica, en la cual su formulación de "path-integral" de la mecánica cuántica no relativista jugó un papel fundamental.

No conocía esos detalles de la historia, aunque ya en varios lados me había encontrado con la historia de Lamb y la conferencia en la isla (ver, por ejemplo, el libro de Steven Weinberg sobre una teoría de todo). Vean cómo siempre aparece: principio variacional, invariantes, y Lagrangianos.

Nos leemos!

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Hoy estuve leyendo un artículo de Steven Weinberg, publicado en el Scientific American, Julio 1974, titulado "Teorías Unificadas e Interacciones de Partículas Elementales". Es un artículo al que cada tanto vuelvo, bien explicado, que debería comentar en detalle. Visita temas como simetría en física, Yang-Mills, isoespín, simetrías gauge, renormalización. Y comenta la historia de varios de esos desarrollos. Menciona los problemas que hubo en el desarrollo de la electrodinámica cuántica, hasta que se llegó a la renormalización. Y ahí comenta el trabajo de Richard Feynman, Julian Schwinger, Freeman Dyson y Sin-Itiro Tomonaga (tendría que conseguir y leer Quantum Electrodynamics and the Men Who Made It). Eso me llevó a revisar el libro "Climbing the Mountain - The Scientific Biography of Julian Schwinger", Jagdish Mehra y Kimball A. Milton. Busqué el capítulo de la época de esos trabajos (luego de la segunda guerra mundial). Para mi sorpresa, encontré unos párrafos describiendo a Feynman, titulado "A note on Richard Feynman", basado en Jagdish Mehra, The beat of a different drum: The life and science of Richard Feynman. Oxford University Press, Oxford, 1994 (otro libro de Mehra (y Rechenberg) es el monumental The historical development of quantum theory, en seis volúmenes, varios autores). Comento y comienzo a traducir hoy ese texto:

Richard Phillips Feynman, el primer hijo de Melville Arthur Feynman (quien vino como inmigrante a América, siendo aún niño, junto con su padre desde Minks, Bielorrusia, en 1895) y de su esposa Lucille, nació el 11 de Mayo de 1918 en Far Rockaway, Queens, ciudad de Nueva York. Antes de que Richard naciera, Melville le había dicho a Lucille, 'Si es varón, será un científico', y él guió a Richard en esa dirección durante su infancia. Melville puso gran atención al desarrollo intelectual de su hijo; también tenía una Enciclopedia Británica en casa, que consultaban juntos frecuentemente hasta que Richard pudo leer los artículos científicos por su cuenta. Lo introdujo al Museo de Historia Natural en Manhattan, así como a hacer observaciones de fenómenos naturales. Richard creció prácticamente solo, aunque jugaba con sus primos que vivían en la misma casa; su hermana Joan nació cuando tenía nueve años de edad. Como niño, Richard aprendió de su padre mucho sobre la naturaleza, especialmente a detectar cosas inusuales y a reflexionar sobre ellas. Feynman creció en Far Rockaway, con sus hobbies - tenía un laboratorio eléctrico en su casa y se convirtió en un experto reparador de radios - sus amigos, familia, e influencias, especialmente la influencia de su padre, quien le insufló el amor a las investigaciones racionales sobre los fenómenos naturales y un rechazo de toda pensamiento difuso, lo que fue decisivo para su desarrollo futuro. Asistió a la Far Rockaway High School, donde los maestros eran inteligentes y empáticos, especialmente el profesor de física, Abram Bader quien, en una conversación privada después de clases con el joven Feynman, le contó la belleza del principio de la mínima acción - un principio que se convertiría en un hilo continuamente investigado por Feynman en su trabajo científico posterior. Richard se graduó con honores en la escuela, y fue al MIT en 1935. El también había aplicado para entrar a la Universidad de Columbia, pero parece que por la cuota de judíos existenten en aquella época, no fue aceptado, y mantuvo un resentimiento contra Columbia por el resto de su vida. Si Feynman hubiera ido a Columbia en aquellos años, se hubiera encontrado con Julian Schwinger ahí, y uno sólo puede especular sobre el tipo de colaboración que podría haberse desarrollado entre ellos; el desarrollo de la física teórica que se produjo entonces bien podría haberse incrementado por su asociación y encuentro en el mismo lugar.

Recién en estos días me enteré de la influencia del profesor Bader en la carrera de Feynman. Bader era el tío del físico Carl Bender, y el padre de éste, Al Bender, fue uno de los profesores de física de Schwinger en la Townsend Harris High School. Casi podríamos decir que le debemos a la familia Bader/Bender gran parte de la electrodinámica cuántica. Pueden ver confirmada la influencia de Bader en otro texto de Feynman que encontré en estos días, el excelente The Principle of Least Action. 

En el siguiente post, completo la traducción de este texto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hace tiempo que quiero comenzar esta serie de posts, pero no me decidía. Ya tengo varios temas en curso. Pero llegó el día de este primer post, de una serie que pretende explorar qué sociedad humana queremos, necesitamos o podemos alcanzar.

Es un tema ambicioso, y amplio. Tenemos que tratar de contestar preguntas como ¿qué es una sociedad humana? ¿qué ejemplos tenemos? ¿cuáles son sus elementos (ladrillos), relaciones, y mecanismos? Es decir ¿cómo es y cómo funciona? Deberemos tomar ejemplos de la realidad actual, pero esta serie pretender contestar: ¿qué tipo de sociedad queremos, cada uno de nosotros? ¿qué tengo para decir, yo, sobre el tema? Quiero que sirva de base para que cada uno también vaya meditando sobre el tema, y piense sobre qué respuesta quiere dar a esas preguntas.

Es un tema de larga historia. Puedo recordar ahora a un Platón, que expone su respuesta en "La república". Recuerdo a un Erasmo, y su "Utopía". Y no se puede eludir a un Marx, dando un sentido (una dirección) a la historia humana (siguiendo y "dando vuelta" a Hegel). Puede que vaya mencionando algunos textos en los posts que vienen. Pero quiero no basarme mucho en ellos. Quisiera ir explorando, acompañado por Uds., este territorio nuevo, sin un gran mapa por adelantado. Es un tema importante, pero como tantos temas importantes, veo que no le dedicamos tiempo y pensamiento: simplemente tomamos las ideas flotantes, las "políticamente correctas", o las que vienen con la ideología de nuestro ambiente (familia, "clase social", entorno), sin meditarlas mucho. Quiero ponerme a prueba, poner en limpio y explícitamente cualquier idea que tenga, poner en "la fragua" esas ideas, y ver qué queda y qué no. Quiero ir despejando el terreno, para que al final quede claro y evidente cuáles son mis puntos de partida, mis argumentos y conclusiones (provisorias, como todas). Es un buen e interesante ejercicio, que insisto, no veo que hagamos: o no pensamos sobre estos temas, o pensamos levemente, delegando todo a lo que ya viene dado, nuestros prejuicios e ideas adquiridas sin apenas someterlas a crítica. Espero no tanto convencer, como mover a que todos nos interesemos en estas cuestiones. Y que quede claro para todos (y para mí), en qué me baso, qué pongo como importante y qué considero accesorio, para que cualquiera pueda decir: "hasta aquí coincido, y en este punto, claramente disiento". Como escribía ayer, bien puede ser que esto sólo lo lea yo y mi tía Carlota. Pero vale la pena.

Me gustaría no tener que ocuparme de estos temas: vivir en un país (Argentina) y en una sociedad donde estas preguntas ya estuvieran contestadas, y donde la sociedad estuviera encaminada, en constante cambio para "mejor", si es que "mejor" tiene sentido para la historia humana. O que hubiera gente confiable, profesional, en qué delegar estos temas. Me siento a veces como alguien que tiene que estudiar medicina por su cuenta, para curarse, porque no puede confiar en ningún médico. Estos no han demostrado que sus técnicas funcionen. Me gustaría tomarme tiempo para otros temas, que me gustan más. Pero no es el caso: así que llega el momento de no esquivar más estas cuestiones, y encararlas, de alguna forma, aunque sea "amateur".

Próximos temas: ¿qué es una sociedad? ¿cuáles son sus elementos básicos? Y más adelante: ¿cuándo una sociedad es "mejor" que otra? ¿qué queremos y qué quiero para una sociedad? Y no menos sino más importante: ¿por qué?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Desde hace cerca de seis años, escribo un post por día, en alguno de mis blogs. Es algo que me he impuesto, como disciplina para practicar: desde organización hasta recolección de datos hasta cómo explicar por escrito algo. Temas no me han faltado, y hasta diría que tengo una pila de tópicos pendientes. Esto me ha llevado tanto a repasar viejas lecturas como a ha estudiar nuevos temas y fuentes. Pero ¿por qué los temas que he elegido?

Bueno, varios de esos temas los he elegido porque me interesan. Pero en este siglo ha surgido otro motivo para encararlos: caigo en cuenta que todavía sobrevuelan ideas, ideologías, corrientes de pensamiento que no coinciden con lo que trato de sostener. Pensé que a estas alturas, no había necesidad de afirmar ni defender el realismo, el cientificismo (defino que la mejor forma de acercarse a la realidad es la ciencia; agrego a la filosofía crítica para siempre revisar nuestro conocimiento), y el pensamiento crítico. Pero no es así: aún hay postmodernismo, irrealismo, relativización social de la ciencia, y acción política movida por ideología (es decir, cosmovisiones no meditadas, generalmente heredadas, tomadas del ambiente en que crecimos) (defino cosmovisión como ese modelo que hacemos de cómo es el mundo, en general, el mundo humano). El uso de pensamiento crítico no está difundido, y las pseudociencias siguen pululando. No tengo problema con la diversidad de opiniones y posturas, pero sí tengo algo de problema con ver que son muchas opiniones, y pocas posturas, y además, hay casi mayoría (o cerca) en mi país, Argentina, de opiniones y posturas que disminuyen o directamente atacan al realismo y al cientificismo. Veo que ese estado de cosas puede tener consecuencias en el desarrollo de nuestra sociedad e historia. Poco puedo hacer, pero por lo menos he aprovechado estudiar y repasar varios temas, para pasar en limpio, por escrito y compartible de forma fácil, cualquier cosa que pueda ayudar a revisar esta situación. Bien puede que todo lo que escribo lo lea sólo yo y mi tía Carlota. Bien podría haber dedicado mi tiempo a otros asuntos, tal vez más fructíferos o personalmente interesantes. Pero igualmente, ha sido y sigue siendo un buen ejercicio para mí el ponerme a estudiar y escribir sobre los temas que he elegido.

Para dar más contexto, ver mis posts:

Posturas y opiniones (para conocer cómo las defino y diferencio)
Sobre las ideologías
Pensamiento crítico
Lo que no está escrito no existe (una de las justificaciones para escribir sobre los temas que nos interesan)

Como quiero compartir lo que voy encontrado, me he esforzado en ser claro en lo que escribo. Espero haberlo logrado. De nuevo, para entender mejor el contexto de esta persecución de la claridad, ver mis post A favor de la claridad y la lógica (ver más enlaces sobre la claridad, en ese post).

Bien, basta de introducción. Paso a enumerar los nodos de la red de temas que he ido visitando, sus relaciones, y las razones de su elección. En principio, ya saben que me interesan tanto la ciencia como la filosofía:

No se puede separar completamente una de la otra. Pero para su estudio, pienso firmemente que me conviene hacer el esfuerzo de estudiar, no sólo su estado actual, sino también su historia:

Al nombrar "ciencias", me refiero como ciencias a las ciencias fácticas (en oposición a las formales, como la lógica y las matemáticas). Tanto esas ciencias como la filosofía, al fin tratan de acercarse, asir, explicar, discutir la realidad:

Mi postura de base es una de las variantes del realismo:

de ahí mis 50 posts sobre el tema desde el primero al último. Todo lo que afirmamos y hacemos, debe tener una base realista: no afirmar lo que "no es el caso", y no basar la acción en cosmovisiones no discutidas, o que dibujan sus propias "realidades" sin preocuparse de revisar su adecuación a lo que es, a lo que encontramos en la realidad.

Sostengo que la mejor forma de acercarse, aprehender, explicar, comprender la realidad es la ciencia, ayudados por la filosofía, simpre crítica y revisora. La primera ciencia a estudiar es entonces la física (noten que los primeros filósofos griegos también se dedicaron a temas parecidos). Y acá aparece EL GRAN tema, al cual me dedicaría con independencia de todo esto, las matemáticas. Sumo también su filosofía, y la historia de la física y las matemáticas:

Por alguna extraña derivación del pensamiento y las corrientes filosóficas del siglo XX, se ha usado a la física cuántica para atacar al realismo, y para defender paparruchadas. De ahí, que para atacar mis propias posturas, descubrir debilidades y fortalezas de la misma, y tener mejores argumentos para ellas (o motivos para descartarlas o modificarlas), es que he dedicado gran parte de mi tiempo de estudio a ese tema. Y la física cuántica también es base para estudiar más historia de la ciencia, y del desarrollo de la cuántica en particular, así como de filosofía de la ciencia, epistemología y realismo:

Todo eso ha sido motivo para escribir sobre cuántica, muchos posts de su historia (uno de mis temas preferido últimamente ha sido Dirac), así como la relación de realidad y cuántica, como la de realidad, modelos y ciencia.

Más temas (vida, sistemas, ser humano, filosofía moral (y religión), sistemas humanos (sociedad, política, acción humana)) y sus relaciones, en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Berkeley, en las secciones 1, 2, 3 de su Introducción, luego del prefacio, presenta a la Filosofía, ver:

La filosofía según Berkeley

Al final de la sección 3, afirma:

Hemos de creer que Dios no trata a los hombres con tan poca bondad para infundir en ellos vehementes deseos de una verdad que coloca fuera de su alcance. Esto no sería conforme a los habituales procedimientos de la Providencia, siempre indulgente y benévola; pues cualesquiera sean las apetencias de que haya dotado a las criaturas, les proporciona los medios necesarios y suficientes para satisfacerlas, con tal de que hagan recto uso de facultades naturales.

Por lo cual me inclino a creer que todos o la mayor parte de los tropiezos que hasta ahora han detenido a los filósofos y han obstruido el camino del conocimiento, son debidos por entero a nosotros mismos. Primero hemos levantado el polvo, y luego nos lamentamos de que no se ve.

En un texto actual, el autor no apelaría a un dios y la providencia. Pero traducido a términos modernos, Berkeley expresa su optimismo: podemos alcanzar una "verdad", si hemos tenido problemas, los hemos provocado nosotros mismos. Comienza la sección 4, declarando:

4.  Mi propósito, por lo tanto, será tratar de descubrir las raíces y el origen de tantas dudas o incertidumbres, absurdos y contradicciones como vemos en el campo de la filosofía y en sus diversos sistemas, tan inconsistentes todos que los hombres más sabios han llegado a decir que es irremediable nuestra ignorancia, juzgando que ésta procede de la limitación y torpeza de nuestras facultades.

Y acá viene el gran punto perseguido por Berkeley:

Y, ciertamente, bien vale la pena que nos esforcemos en investigar con la más esmerada atención los primeros principios del conocimiento humano, que los examinemos y analicemos bajo todos sus aspectos, entre otras razones por haber cierto fundamento para pensar que las dificultades y obstáculos que halla la mente en su búsqueda de la verdad no provienen de oscuridad o complejidad en las cosas mismas que investiga, ni de la natural debilidad y limitación de las facultades cognoscitivas, sino más bien de haber tomado como seguros puntos de partida ciertos principios falsos que debieran haberse desterrado.

Veremos qué son esos "principios del conocimiento humano" para Berkeley. Espero poder comentar en qué coincido y en qué no. La postura de Berkeley es curiosa, y hoy no parece haber "seguidores" de este filósofo. Pero hay un resurgimiento parcial en muchas corrientes filosóficas, y cada tanto detecto algún "berkelismo". Durante mucho tiempo, digamos desde Sócrates, la filosofía se ocupó de la búsqueda de la verdad, pero sin ocuparse de nuestra capacidad humana para ese trabajo. No se le escapa a Berkeley que no es el primero en detenerse en el conocimiento humano:

5.  Tarea es ésta en verdad difícil y desalentadora, si se tiene en cuenta que, antes que yo, muchísimos hombres de extraordinario talento han tenido el mismo propósito y sin resultado alguno. Me da, sin embargo, cierta esperanza el pensar que una visión de largo alcance no es siempre la más clara; mientras que los ojos forzados a mirar siempre de cerca pueden quizá mediante un examen minucioso descubrir detalles que hayan escapado a la observación de una vista mejor.

Nos leemos!

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Cuando estudio física, ya sea clásica o cuántica, siempre me topo con el tema de la formulación lagrangiana y hamiltoniana. Es notable que el mismo aparato matemático sirva tanto para la rama clásica como para la rama cuántica de la física. Y también es interesante su historia, su desarrollo y relación con otros temas.

A medida que voy leyendo y estudiando sobre los temas que me interesan, tomo notas sobre los textos, referencias que me llaman la atención, para no olvidarme de algo y saber más tarde dónde leí y encontré eso que me importó. Sobre lagrangianos y hamiltonianos ya tengo tantas notas, que es tiempo de ir pasándolas a posts, como simples notas. Ya llegará el tiempo de posts. Pero por ahora, serán sólo notas: numeradas, con algún comentario, texto corto, referencia.

Sobre lagrangianas y hamiltonianos, también me gustaría saber: ¿cuál es su relación? ¿cuál es su historia? ¿cuál fue el papel de Lagrange, Euler, Poisson, Hamilton, Weirstrass y otros? ¿cómo apareció la primer lagrangiana, y en qué problema? ¿cuál es la relación de hamiltonianos con variedades simplécticas? ¿y de lagrangiana con espacio tangente vs hamiltoniano en espacio cotangente de un espacio fibrado? ¿por qué se prefiere el lagrangiano en la teoría cuántica de campos? ¿cómo pasó de la óptica a la mecánica? ¿que es la teoría de la perturbación? ¿cuál es la relación de lagrangiana con el principio de D'Alembert? ¿y con el principio de Hamilton? ¿y el cálculo de variaciones en general? ¿y con gauge y teorías gauge? ¿y con el teorema de Noether? ¿simetrías y leyes de conservación? ¿cuál es la teoría de Hamilton-Jacobi? ¿qué es una transformación canónica? Y mil preguntas más ;-)

Ccomienzo esta serie con una sola nota, que encontré en el libro que en este siglo me volvió a conectar con todos estos temas: el Penrose.

Nota 1

El capítulo 20 de "el Penrose" tiene como título Lagrangianas y Hamiltonianos. Leo ahí, el comienzo de la sección 20.1 "El mágico formalismo lagrangiano"

En los siglos que siguieron a la introducción por parte de Newton de sus leyes dinámicas se construyó un impresionante cuerpo de trabajo teórico sobre estos fundamentos newtonianos. Euler, Laplace, Lagrange, Legendre, Gauss, Liouville, Ostrogradski, Poisson, Jacobi, Hamilton y otros aportaron ideas reformuladoras que condujeron a una profunda visión unificadora. En este capítulo haré una breve introducción a esta visión de conjunto dinámica, aunque me temo que mi explicación solo proporcione una impresión muy engañosa o inadecuada de la magnitud del logro. Debería señalarse tambié que la existencia de una imagen unificadora tan elegante matemáticamente parece decirnos algo profundo sobre los pilares matemáticos de nuestro universo físico, incluso en el nivel de las leyes que se revelaron en la mecánica newtoniana del siglo XVII. No muchas leyes sugeridas para un universo físico podían llevar a estructuras matemáticas de un esplendor tan imponentes.

¿Cuál es esta elegante imagen unificadora que resultó de la mecánica de Newton? Básicamente se presenta de dos formas diferentes pero íntimamente relacionadas, cada una de las cuales tiene sus virtudes perculiares. Llamaremos a la primera imagen lagrangiana, y a la segunda, imagen hamiltoniana. (La dificultad habitual con los nombres resulta inevitable. Al parecer, ambas imágenes eran conocidas para Lagrange, bastante anterior a Hamilton, y la imagen lagrangiana fue al menos parcialmente anticipada por Euler).

Nos leemos!

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Ya casi estamos en las fiestas de navidad y año nuevo ;-) Parece que fue ayer que comencé esta serie de nuevas resoluciones mensuales, en lugar de plantearlas por año. Comienza Octubre, primero una revisión de las resoluciones del mes pasado.

- Escribir primer post sobre la ecuación de Schrödinger completo ver post
- Escribir próximo post de mi serie Espacios Vectoriales completo ver post
- Escribir próximo post de mi serie Topología General completo ver post
- Escribir post sobre historia de la física (continuar con Dirac/Pais) completo ver post
- Escribir post sobre historia de las matemáticas (elegir tema) completo ver post sobre Gauss
- Seguir estudiando teorías gauges y los temas que necesite completo

Además continué mi serie sobre números primos.

Resoluciones para este mes:

- Escribir próximo post de mi serie sobre mecánica clásica
- Escribir primer post de nueva serie: notas sobre lagrangianos y hamiltonianos
- Escribir post sobre funciones invariantes
- Escribir post sobre historia de la física (continuar con Dirac/Pais)
- Seguir estudiando mecánica clásica
- Seguir estudiando teorías gauges y los temas relacionados

Tengo varios otros temas para escribir y estudiar, pero me voy a limitar porque este mes de Octubre viene con cierta carga de charlas (sobre desarrollo de software, mi profesión), o de preparación de charlas para Noviembre.

Nos leemos!

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