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Cuando estudio física, ya sea clásica o cuántica, siempre me topo con el tema de la formulación lagrangiana y hamiltoniana. Es notable que el mismo aparato matemático sirva tanto para la rama clásica como para la rama cuántica de la física. Y también es interesante su historia, su desarrollo y relación con otros temas.

A medida que voy leyendo y estudiando sobre los temas que me interesan, tomo notas sobre los textos, referencias que me llaman la atención, para no olvidarme de algo y saber más tarde dónde leí y encontré eso que me importó. Sobre lagrangianos y hamiltonianos ya tengo tantas notas, que es tiempo de ir pasándolas a posts, como simples notas. Ya llegará el tiempo de posts. Pero por ahora, serán sólo notas: numeradas, con algún comentario, texto corto, referencia.

Sobre lagrangianas y hamiltonianos, también me gustaría saber: ¿cuál es su relación? ¿cuál es su historia? ¿cuál fue el papel de Lagrange, Euler, Poisson, Hamilton, Weirstrass y otros? ¿cómo apareció la primer lagrangiana, y en qué problema? ¿cuál es la relación de hamiltonianos con variedades simplécticas? ¿y de lagrangiana con espacio tangente vs hamiltoniano en espacio cotangente de un espacio fibrado? ¿por qué se prefiere el lagrangiano en la teoría cuántica de campos? ¿cómo pasó de la óptica a la mecánica? ¿que es la teoría de la perturbación? ¿cuál es la relación de lagrangiana con el principio de D'Alembert? ¿y con el principio de Hamilton? ¿y el cálculo de variaciones en general? ¿y con gauge y teorías gauge? ¿y con el teorema de Noether? ¿simetrías y leyes de conservación? ¿cuál es la teoría de Hamilton-Jacobi? ¿qué es una transformación canónica? Y mil preguntas más ;-)

Ccomienzo esta serie con una sola nota, que encontré en el libro que en este siglo me volvió a conectar con todos estos temas: el Penrose.

Nota 1

El capítulo 20 de "el Penrose" tiene como título Lagrangianas y Hamiltonianos. Leo ahí, el comienzo de la sección 20.1 "El mágico formalismo lagrangiano"

En los siglos que siguieron a la introducción por parte de Newton de sus leyes dinámicas se construyó un impresionante cuerpo de trabajo teórico sobre estos fundamentos newtonianos. Euler, Laplace, Lagrange, Legendre, Gauss, Liouville, Ostrogradski, Poisson, Jacobi, Hamilton y otros aportaron ideas reformuladoras que condujeron a una profunda visión unificadora. En este capítulo haré una breve introducción a esta visión de conjunto dinámica, aunque me temo que mi explicación solo proporcione una impresión muy engañosa o inadecuada de la magnitud del logro. Debería señalarse tambié que la existencia de una imagen unificadora tan elegante matemáticamente parece decirnos algo profundo sobre los pilares matemáticos de nuestro universo físico, incluso en el nivel de las leyes que se revelaron en la mecánica newtoniana del siglo XVII. No muchas leyes sugeridas para un universo físico podían llevar a estructuras matemáticas de un esplendor tan imponentes.

¿Cuál es esta elegante imagen unificadora que resultó de la mecánica de Newton? Básicamente se presenta de dos formas diferentes pero íntimamente relacionadas, cada una de las cuales tiene sus virtudes perculiares. Llamaremos a la primera imagen lagrangiana, y a la segunda, imagen hamiltoniana. (La dificultad habitual con los nombres resulta inevitable. Al parecer, ambas imágenes eran conocidas para Lagrange, bastante anterior a Hamilton, y la imagen lagrangiana fue al menos parcialmente anticipada por Euler).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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