Angel "Java" Lopez en Blog

El tema de esta serie de post, es un gran tema, más grande quizás de lo que imaginaba al principio. Siempre me interesó la ciencia, la filosofía de la ciencia, la epistemología, y la relación de la ciencia física (en particular) con las matemáticas. En este siglo leí (y sigo leyend) al  "Penrose". En su primer capítulo, Penrose comenta qué números se usan en física: enteros, reales, complejos. Y también plantea la siempre interesante pregunta: ¿por qué se usan?

Desde hace unas décadas, pienso que la naturaleza (por hablar de alguna manera) rehúye de los infinitos, y entonces, rehúye de tener entidades que "se midan" (en realidad, que se puedan incluir en nuestros modelos, con medida) en reales que puedan ser infinitamente pequeños. El descubrimiento de la física cuántica es la historia de la constante h, y de la aparición de números enteros en nuestros modelos. Los problemas de la renormalización en electrodinámica cuántica es otra lucha contra los infinitos.

Pero, si se pueden discutir los reales, ¿por qué aparecen los números complejos, en especial, en física cuántica? En esa rama de la ciencia física, aparecen por primera vez en mecánica cuántica. En mi charla sobre física cuántica, mencioné que fue Schrödinger el que trajo los números complejos en el formulismo ahora aceptado. Debo agregar también a Heisenberg. Ambos trabajaron desde 1925 en sus formulismos, y desde casi el comienzo pusieron números complejos, notablemente en exponentes de desarrollos en serie de Fourier. Durante un tiempo, pensé que de Broglie ya había usado números complejos en sus "papers" de 1923, pero no los he conseguido. No parece que los haya usado. Lo que pasó, es que desde Schrödinger en adelante, las ondas de de Broglie se expresan con el número e elevado a exponentes imaginarios. Pero no encontré ninguna evidencia de que el propio de Broglie usara complejos para sus ondas. Igualmente, siempre se puede expresar el formulismo cuántico en vez de funciones complejas, en pares de funciones reales. Tendría que leer a John Baez (ver The three-fold way), tiene también un desarrollo de formulismo cuántico sobre cuaterniones. Tendría que explorar también octoniones y álgebras de Clifford en general. Pero me alejo del tema.

Una línea donde NO aparecieron números complejos, fue la iniciado por Niels Bohr en 1913 con su modelo atómico, luego mejorado por Wilson, Sommerfeld, y otros (notablemente Schwarzwild), su tratamiento de las condiciones de cuantización y sistemas especiales donde aplicarlas (tengo que estudiar los condicionalmente periódicos). Tengo que revisar los "papers" del excelente Sources of Quantum Mechanics editado por van der Waerden, para revisar si hubo alguien antes de Heisenberg (el libro se ocupa de la historia del formalismo matricial) que pusiera números complejos.

Fui en estos años recolectando notas sobre la aparición de los números complejos en la historia de la mecánica cuántica. Pero realmente eran varias y dispersas. Hasta que al fin encontré, en el excelente libro de artículos "Schrödinger Centenary Celebration of a Polymath" un artículo de Chen Ning Yang (sí! el Yang de Yang-Mills y el Yang de la no conservación de la paridad en la interacciones débiles). El artículo se titula "Square root of minus one, complex phases and Erwin Schrodinger", y me viene como anillo al dedo para servir de base para esta serie. En los primeros párrafos, Yang recuerda y cita Dirac. En este primer post, quiero traducir y compartir con uds. este texto de Dirac:

La pregunta que surge es si realmente la no conmutatividad es la principal nueva idea de la mecánica cuántica. Antes yo siempre pensaba eso pero recientemente he comenzado a dudarlo y a pensar que posiblemente desde un punto de vista físico, la no conmutatividad no es la única idea importante y que hay quizás otra idea más profunda, un cambio más profundo en nuestros conceptos ordinarios que nos ha traido la mecánica cuántica.

Dirac escribe esto en (creo que es revista/publicación) Fields and Quanta, 1972. No tengo el título de su artículo. Luego de desarrollar su idea, va concluyendo:

Así que si alguien pregunta cuál es la principal característica de la mecánica cuántica, me siento inclinado ahora a decir que no es el álgebra no conmutativa. Es la existencia de amplitudes de probabilidad que yace debajo de todos los procesos atómicos. Ahora una amplitud de probabilidad se relaciona con un experimento, pero sólo parcialmente. El cuadrado de su módulo es algo que podemos observar. Esa es la probabilidad que los experimentadores obtienen. Pero además de eso hay una fase, un número de módulo uno que puede ser modificado sin afectar el cuadrado del módulo. Y esta fase es importante porque es el origen de todos los fenómenos de interferencia pero su significado físico es oscuro. Así que el genio real de Heisenberg y Schrodinger, podría decir, fue descubrir la existencia de amplitudes de probabilidad que contienen esa cantidad de fase que está bien oculta en la naturaleza y es porque está tan bien oculta que la gente no había pensado mucho antes en la mecánica cuántica.

Es muy interesante. Esa fase es lo que le da "sabor" al formulismo cuántico. Podría haber interferencia con reales: simplemente podríamos poner reales negativos y positivos como amplitudes, y su cuadrado como probabilidad. Pero entonces, si un valor R evoluciona en el tiempo, para pasar de positivo a negativo, tendría que pasar necesariamente por 0. Y se tendría el caso de "anularse" algo físico (como si una partícula desapareciera y volviera a aparecer). En cambio, el tener esa fase (un número complejo de módulo 1) permite que haya magnitudes R que evolucionan en el tiempo explicando los fenómenos de interferencia, sin tener que aceptar la desaparición/aparición de magnitudes en nuestros modelos.

Nota: vean que Dirac también menciona a la no conmutatividad. Esa característica tiene relación (y les debo post) con el principio de incertidumbre. Vean que he evitado ese principio en mis posts de física cuántica. Mucho se puede obtener sin apelar a ese principio. Y puede que ese principio se explique mejor por simples características de las ondas que aparecen en el formulismo (y algo de series e integrales de Fourier).

El de Yang es un artículo fascinante, al que seguiré comentando en próximos post. Tiene una referencia (y una notable carta de London) sobre un trabajo de Schrodinger en 1922, donde aparecen esas fases complejas, justamente relacionándolas con una extensión al trabajo (fallido) de Weyl sobre unificación de gravedad y electromagnetismo (ver Penrose, cómo pone a ese trabajo de Weyl como una de las apariciones de una teoría gauge).

Como regalo (lo mío es un apostolado ;-), les dejo dos "papers" para entender el trabajo de Heisenberg y Schrödinger:

Erwin Schrödinger and the creation of wave mechanics
Understanding Heisenberg"s "magical" paper of July 1925: a new look at the calculational details

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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