Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Octubre, 2012, 6:00

Siguiente Post

Sea una función sobre dos valores reales:

En los tiempos "clásicos" del análisis, una función era algo que se definía por una fórmula. No era considerada como lo es hoy, una aplicación desde un conjunto de partida hasta un conjunto de llegada, donde a CADA elemento del primer conjunto se le asigna UN Y SOLO UN elemento del segundo. Es así como yo aprendí qué es una función. Y luego aprendí de funciones inyectivas, biyectivas, suryectivas (vean que en Argentina, mi país, se adaptaron los términos franceses, puesto "de moda" por el grupo Bourbaki). Pero ahora, nos interesan las funciones "clásicas", las definidas por una fórmula. Digamos entonces, que nuestra función es:

Así, queda definido el valor de la función para cada par de números reales (el resto del post puede también entenderse como funciones sobre el cuerpo de los complejos, o sobre cualquier cuerpo conmutativo). Ejemplos:




Pero sea que ahora se nos ocurre, cambiar los valores x1, x2, digo, los valores "de entrada". Por ejemplo, pasemos de cada punto (x1, x2) a otro (x"1, x"2). Voy a usar "punto", "plano" para mejorar la explicación, pero podría prescindir de esa analogía. Sin embargo, es muy útil: facilita explicar lo que quiero mostrar, y en todo caso, los matemáticos también hacen y apelan a esas analogías todo el tiempo. 
Digamos que se ocurre ahora aplicar a cada par x1, x2 otro par, de esta forma:


Pero quiero una función, digamos g, sobre los "nuevos puntos" que dé los mismos valores que sobre los "viejos puntos". Es decir, quiero:



Otra forma de verlo es: no cambié de puntos. Tengo puntos en un plano, pero pasé a expresarlos en otras coordenadas. Entonces, quiero una fórmula (es decir, una función con una expresión, con una forma dada de calcularla), que me dé los mismos resultados que antes. Para poner algo más concretos: si la primera fórmula me daba algo físico, como la presión del aire en un punto de un territorio plano, ahora, al cambiar de coordenadas, quiero obtener para cada mismo punto el mismo valor de presión. Con el cambio dado más arriba de "viejo punto" a "nuevo punto" o, el equivalente, de "viejas coordenadas" a "nuevas coordenadas",  si quiero conservar los valores, puedo definir ahora a la nueva función g como:

O lo que es lo mismo, para la forma de g:

Quedando restaurados los valores iniciales. La transformación de puntos que hicimos, hizo que obtengamos una nueva función, para conservar los resultados de la primera.
Pero veamos el caso de la función (disculpen, voy a usar la misma letra/nombre que antes):

Y ahora tomemos la transformación:


Siendo v una constante cualquiera. Ahora, NOTABLEMENTE, la función transformada, es decir, la nueva función g que tenemos que tomar sobre los nuevos puntos (o coordenadas) para obtener los mismos resultados que sobre las variables/puntos/coordenadas originales, ES LA MISMA!!:

Pues

Porque la constante v se cancela. El que la nueva f sea UNA DIFERENCIA de dos variables, no es necesario. Pues también obtenemos la misma función cuando:




Ante esta nueva transformación, g TIENE LA MISMA forma que f. Podemos decir, son la misma función, o decir: f no varió, permaneció invariante (en FORMA) ante la transformación elegida.

A ver, de nuevo:

- Hicimos una transformación de variables (o de puntos, o de coordenadas)
- Dada función f conseguimos una nueva g que conservara los resultados (f sobre valores originales debe dar lo mismo que g sobre valores transformados)
- NOTABLEMENTE, ahora, en este nuevo ejemplo, f y g tienen la MISMA FORMA, la misma expresión para calcularlos

Se dice entonces que la función quedó invariante ante una transformación.

Hay que entender algunos puntos:

- Lo que quedó invariante es la FORMA de la función. Aclaro esto, porque para mí, este tema me resultó confuso. En el primer ejemplo que puse, de funciones f y g, para mí, eran la misma función, porque consideraba que había habido un cambio de coordenadas, pero no de "puntos".  Y eran la misma función porque daban los mismos resultados sobre los mismos "puntos", expresados en distintas "coordenadas". Yo no entendía que hubiera habido un cambio desde f hasta g.
- Pero lo que quieren decir los libros (de matemáticas, de física, de divulgación) que lo que no cambia es LA FORMA DE LA FUNCION, la expresión, fórmula que se usa para expresarla
- Y otro punto importante: la forma de una función f es INVARIANTE (NO CAMBIA) ante una transformación T, no es INVARIANTE en el aire. Todo concepto de invariancia es RELATIVO a una o varias transformaciones.

En próximos posts:
- Más ejemplos de transformaciones y funciones invariantes
- Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman grupo
- Polinomios simétricos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez