Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Noviembre, 2012, 19:44

Hace un tiempo me encontré de nuevo con el problema de encontrar las ternas pitagóricas. Sea buscar las soluciones para

usando números enteros. Buscaré las soluciones donde x,y,z no tienen factores comunes (son primos entre sí).

Supongo que z es igual a la suma de dos números:

Entonces

El truco está en ver que siempre se pueden elegir esos dos números a y b de tal forma que también tengamos:

Supongamos por ahora que se cumple eso. Entonces queda

Para que 4ab sea un cuadrado perfecto, basta que sea


Quedando entonces:



Vean que z resulta ser la suma de dos cuadrados. Entonces, haciendo que m y n recorran todos los naturales, conseguimos soluciones a la ecuación inicial. ¿Se puede siempre elegir a y b que cumplan con lo pedido?

Bueno, podemos ver que en la ecuación 1, z tendrá la misma paridad que x o que y. Por ser primos entre sí x,y,z (por lo que pedí al principio), entonces no hay dos de esos números que sean pares. Dado esto, veamos que x o y tienen la misma paridad que z.

Sea z impar, entonces x o y es impar (si fueran pares los dos, la suma de sus cuadrados también sería par, cuando es claro que el cuadrado de z impar es impar; tampoco pueden ser pares los dos porque estamos examinando las soluciones con x,y,z primos entre sí).

Sea z par, entonces deben ser x e y impares (de nuevo por lo de ser primos entre sí, no pueden ser los dos pares a la vez). Pero entonces:




Entonces queda

Contradicción, porque supuse que z es par, entonces su cuadrado es 0 módulo 4.

Queda que entonces z siempre tiene la misma paridad que x o y. Sea x el de la misma paridad que z. Entonces, z-x es par. Basta tomar que a y b sean:


Para que cumplan con lo pedido:


Esto demuestra que a y b existen. Ahora, es fácil ver que a y b son primos entre sí, si z y x son primos entre sí. Entonces  ES NECESARIO que para que 4ab sea un cuadrado perfecto, TANTO a como b sean cuadrados perfectos. Ese es el paso que faltaba para ver que lo que encontramos son las soluciones únicas. Porque sólo había mostrado LA SUFICIENCIA de esa condición, pero no su NECESIDAD. Entonces las soluciones encontradas son las únicas, la soluciones SIEMPRE piden que a y b sean cuadrados perfectos. Consiguiendo que a, b tomen los valores de TODOS los cuadrados perfectos, encontramos todas las soluciones pedidas.

Me encontré con este problema en el Fundamental Groups and Diophantine Geometry de Minhyong Kin, que tiene temas más fascinantes que éste ;-) Ver Kim on Fundamental Groups in Number Theory:

It starts with some pleasant observations of an elementary nature and works its way up to some ideas I find rather terrifying. Maybe we can ask him some questions and get him to explain what"s going on.

Vean los comentarios al ese post también.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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