Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Enero, 2013, 16:02

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Visitemos de nuevo hoy las funciones invariantes. Ya las definí y mostré ejemplos en el post anterior.

Recordemos que:

- No hay funciones INVARIANTES a secas, sino funciones INVARIANTES ante una transformación
- La transformación es de n variables en otras n variables
- Y ante la transformación, la FORMA de la función es la misma

Así que para cada ejemplo que quisiera dar, tengo que mostrar DOS elementos:

- La FUNCION que digo que es invariante
- La TRANSFORMACION de variables ante la que es invariante

El ejemplo que había usado era:

La función es:

Y la transformación es:


Sea g la función que tiene la misma FORMA que f pero en las nuevas variables:

La expandimos, es decir, cambiamos las nuevas variables por sus expresiones en las "viejas" variables:

Y DA LA MISMA FUNCION. Esta es un forma para comprobar que g no sólo tiene la misma FORMA que f, sino que NO CAMBIA su resultado. Para el mismo punto, sea expresado en las "viejas variables" como en las "nuevas variables", el resultado es el mismo NUMERO.

¿Por qué es importante esto? No sólo es un tema de matemáticas. Hemos ido descubriendo que la realidad física tiene comportamientos basados en leyes, muchas de las cuales son leyes fundamentales. (ver Las leyes fundamentales, según Gerard't Hooft y Leyes Finales y Subyacentes en Física, por Steven Weinberg). Y que podemos describir esas leyes y comportamientos en fórmulas matemáticas. El gran iniciador de esta corriente en tiempos modernos es Galileo, para el cual el lenguaje de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático.

Por el mismo tiempo, Descartes nos dio el concepto de coordenadas, donde las variables arbitrarias comenzaron a representar puntos en un plano o en un espacio. Y luego en espacios más avanzados, como los de n-dimensiones que también se usan en física y por buenas razones. Basta recordar el gran uso que se hace de un espacio de cuatro dimensiones en la descripción matemática de la teoría de la relatividad (ya sea especial o general). Gracias a Descartes, pudimos trabajar en problemas geométricos de otra manera. Sus coordenadas nos dieron un mapeo de temas geométricos a algebraicos. Y nacieron justo para poder aplicarse en el cálculo infinitesimal. Las tangentes de una curva pudieron trabajarse algebraicamente, aunque tardamos unos siglos en depurar el concepto de límite.

Pero así como nos permitió avanzar, el invento de Descartes nos ha anclado a "ver" que hay un sistema de coordenadas "ahí afuera". Cuando en física trabajamos en un problema concreto, nos basamos en un sistema de coordenadas (y hasta de unidades), que nosotros elegimos. Pero la realidad física no sabe de coordenadas: sólo de relaciones entre las cosas. De ahí, que la realidad física tiene modelos que son válidos en VARIOS sistemas de coordenadas. Y cuando esos modelos tienen funciones que dependen de las coordenadas, en general esas funciones son invariantes para transformaciones que dejan lo físico intacto, como una rotación o traslación en el espacio, o en el espacio-tiempo.

La realidad busca expresarse en un LENGUAJE GEOMETRICO. Es parte del trabajo de los físicos y matemáticos descubrir esas funciones que son invariantes antes transformaciones que dejan invariante lo físico. Por ejemplo, las leyes de la gravedad clásica dependen de la distancia, que se puede expresar de la misma forma en distintas coordenadas. Ya Klein había definido que una geometría es el estudio de las transformaciones que dejan invariante algo. En el caso de la geometría euclídea, es el estudio de las transformaciones que dejan invariante la distancia entre dos puntos. Y esa distancia se expresa de la misma FORMA en todo un conjunto de sistemas de coordenadas que pueden transformase entre sí por traslaciones, rotaciones e inversiones.

Si un físico encuentra una nueva fórmula para el modelo matemático de algo que está investigando, y no es invariable ante una serie de transformaciones (como las de Lorentz y Poincaré) sospechará que no ha conseguido aún la fórmula correcta. Gran parte de la física moderna ha sido una lucha para "sacarnos de encima" las coordenadas y a Descartes. La realidad física está "más cerca" de la geometría que del álgebra.

Ver también:

Lorentz Transformation
Poincaré Transformation
Poincaré Group

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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