Publicado el 24 de Febrero, 2013, 16:07
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La Combinatoria es un amplio tema, que abarca desde resultados elementales hasta mucho de lo nuevo en las matemáticas del siglo XX. Es imposible dar una historia completa o detallada, ni siquiera abarcativa, de tan gran tema. Pero quisiera igual escribir algunos posts, basado en una fuente principal, "The History of Combinatorics", Biggs, Lloyd, Wilson, Chapter 44, Handbook of Combinatorics, Vol II. Mientras que tenemos a la geometría floreciendo en la antigua Grecia, no pasa lo mismo con la combinatoria. Todo indica que sus orígenes no se encuentran en occidente, sino en oriente. Por ejemplo, los chinos tienen un antecedente en su estudio de los cuadrados mágicos. Pero lo principal viene de los hindúes. El estudio de los textos hindúes es difícil, porque no tienen una fecha segura. También sucede que el texto que conocemos es una mezcla del texto original y de comentarios agregados con el tiempo. Esto hace que algunos historiadores han exagerado la prioridad de los hindúes en el desarrollo de varias ramas de las matemáticas. Sin embargo, las ideas de elegir y arreglar han estado tan íntimamente relacionados con la cultura matemática hindú que han desarrollado inevitablemente el tema. Un ejemplo, la fórmula:
para el número de permutaciones de un conjunto de n elementos, y la fórmula para el número de conjuntos de k elementos tomandos de un conjunto de n elementos:
ya eran conocidas por Bhaskara cerca del 1150. Probablemente eran también conocidas por matemáticos anteriores como Brahmagupta, en la sexta centuria. Casos especiales de estas fórmulas pueden encontrarse que se remontan al segundo y tercer siglo A.C. Por ejemplo, en el Bhagabati Sutra, escrito cerca del 300 A.C., aparece la primera mención de un problema combinatorio. El autor se pregunta cuántas maneras hay de tomar 1, 2 o 3 elementos de un conjunto de 6 elementos. Es el primer libro en mencionar la fórmula de arriba, conocida como la choose function. Otra aparición de ideas de combinatoria se encuentra en Pingala, quien interesado en la prosodia, se preguntó de cuántas maneras un verso de seis sílabas podría ser armado con notas largas y cortas. Escribió este problema en el Chandra Sutra, en el siglo II A.C. Generalizó el problema a metros de n notas y k notas cortas, dando un coeficiente binomial. Las ideas del Bhagabati fueron generalizadas por Mahavira en 850 D.C., y las de Pingala por el mencionado Bhaskara en 1100 D.C. El cuadrado mágico de orden 3
puede ser encontrada en escritos chinos del siglo I de nuestra era. Se ha aducido que era conocida en 2200 A.C., pero sin justificación. Cuenta la leyenda que ese cuadrado fue encontrado en el caparazón de una tortuga en el río Luo en los tiempos del legendario emperador Yii, que tenía reputación de ingeniero hidráulico. No hay evidencia de avances por parte de los chinos en el estudio de estos cuadrados mágicos, hasta llegado el periodo 900 a 1300 D.C. Es en ese periodo cuando matemáticos chinos e hindúes hacen estudios intensivos de esos cuadrados, pudiendo construir cuadrados de varios órdenes siguiendo distintos métodos. En el siglo XIII hubo un intercambio entre ambas culturas. Como ejemplo, se descubrió en 1956, en las afueras de la ciudad china de Xi'an unas tablas de hierro con ejemplos de cuadrados mágicos de 6 x 6 inscriptos usando números arábicos. Ver Combinatorics Otra fuente consultada: A History of Mathematics, Uta C.Merzbach and Carl B. Boyer. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Febrero, 2013, 10:14
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Quiero escribir sobre un recuerdo personal. Hoy caminé por un boulevard de la ciudad de Rosario, Santa Fé, Argentina, el boulevar Oroño. Y estuve viendo las palmeras que tiene. Hace como treinta y cinco años, yo estudiaba en la escuela secundaria (que sigue a la escuela primaria, acá en Argentina). Y en mi segundo año de escuela tenía una materia de Botánica. Siempre me gustó leer, y para mí era una delicia empezar un nuevo año, con nuevos libros. Era como encontrarse con cosas nuevas. En mi casa no había lujos, pero mis padres siempre pudieron comprar libros nuevos al comienzo del año (la opción más barata hubiera sido comprar libros usados de otros estudiantes). Conservo vario de esos libros, pero no todos. Uno era el de botánica, para ese año. Era más detallado que lo que había leído, pero ya había tenido contacto con ese tema, en detalle, gracias a otro libro que me habían comprado mis padres. Era un libro de una serie española, que aún tengo en mi biblioteca. De esa misma serie tenía excelentes libros de matemáticas, zoología, astronomía (de Comas Solá, que merecería un post aparte). Lo que aprendía en mi infancia con esos libros realmente me marcó en la vida. No había biblioteca familiar, pero mis padres fueron comprando libros para mí, fomentando siempre mi interés por la lectura. El libro de botánica no era el más ameno, pero era bastante detallado. Me introdujo en la clasificación de Linneo, y en las diferencias entre las ramas de esa clasificación. Mi casa (de la escuela primaria) tenía un fondo con plantas, flores, árboles, que yo iba tratando de estudiar y clasificar, a medida que aprendía. Me gustó mucho encontrar la disposición de las hojas, la forma de bifurcarse las ramas en distintos árboles, la estructura de una flora, y más. Así que cuando llegué a ese segundo año de escuela secundaria, el tema no me era ajeno. Tenía un profesor asignado a esa materia, el profesor F. Sabía del tema, y daba bastantes detalles sobre botánica. Al principio del año, yo acostumbraba a leerme todos los libros nuevos, así que ya sabía cómo era el temario. En una de las primeras semanas, una tarde, en el recreo, el profesor F. estaba parado, descansando, mirando al parque que tenía mi colegio. Había algunos árboles y unas palmeras, y había una en particular que tenía poca altura. No sé cómo me atreví, pero me acerqué y le dije: "Esa es una cicas revoluta". Justo en el libro español había un largo fragmento explicando la evolución (algo inusual) de esas palmeras. Nunca supe si yo estaba acertado o no (sospecho que no, la cicas es venenosa, pero la palmera que ví era muy parecida). Pero dió la casualidad que el profesor F. había escrito una tesis sobre ese tipo de palmera. Me hizo algunas preguntas, y se convenció que yo sabía del tema. Cuando llegó el primer examen (creo recordar que había cuatro por año y materia) de botánica, el profesor F repartió los temas, y al final, se dirigió a mí delante de todos y dijo: - Ud. no Lopez, no hace falta que haga el examen. Y me llevó a sentarme a su escritorio, en frente de la clase. Lo que me pidió es que revisara algunas cuentas de interés compuesto, de unos pagos que tenía que hacer. Y así pasé cada clase de examen: resolviendo algunas cuentas simples, y aprobé el año sin dar ningún examen :-) Lo interés compuesto lo había aprendido ya hacía años, de los mismos libros españoles. El de matemáticas me había enseñado el binomio de Newton, y el límite de una expresión que daba el número e. Me fascinaban esos temas, y como saben, me siguen fascinando. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Comentarios (1)Publicado el 17 de Febrero, 2013, 15:26
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Veamos lo último de Pais sobre Dirac:
Notable conferencia de Pais, describiendo tanto las peculiaridades de la personalidad de Dirac, como su forma de abordar las matemáticas y su relación con la física. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Febrero, 2013, 12:16
Publicado el 14 de Febrero, 2013, 14:03
Publicado el 12 de Febrero, 2013, 15:15
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Ya comencé a escribir sobre la sociedad en: y sobre economía en: El estudio de la economía Tengo mucho para escribir, y tengo mucho pendiente para pasar en limpio. Por ejemplo, tendría que escribir en esa serie sobre el armado de una sociedad, sobre ¿qué esperamos de una sociedad? Adelanto mi respuesta: - Espero que una sociedad facilite el desarrollo personal de sus integrantes El primer punto permite evitar que una generación se sacrifique dudosamente por las próximas. Es muy difícil evaluar las consecuencias de una acción política, pensando solamente en el futuro y olvidando el presente. Y el segundo punto, permite evitar que una generación piense solamente en sí misma. Hoy me encuentro en twitter, participando de una discusión sobre el carnaval y los feriados que implica (lunes y martes) en mi pais, Argentina. Yo quisiera pasar a discutir sobre los feriados en general. En mi pais, son cerca de 20 días feriados por año. Se me ha dicho: - Los feriados de carnaval dan más alegría a la gente Bueno, son dos afirmaciones que no he visto justificadas. Para la primera, pediría una medida, algo que indique, qué es "dar alegría" a la gente. ¿Cómo podemos afirmar eso sin una evaluación, una medida, aunque sea aproximada, de "esa alegría"? Apelando a mi experiencia personal, no veo que mis conocidos tengan más alegría simplemente por tener carnaval. Me parece que el tema de la alegría personal amerita más que tener una comparsa en el barrio. Más interesante es el segundo punto. Se puede aducir que los feriedos en mi pais, promueven al turismo y eso es bueno para la sociedad argentina. Se me ha dicho, por twitter, que hay que ver la "big picture", la gran imagen, de ahí el título de este post. Que hay que ver que, gracias a los feriados, hay una mayor actividad turística interna, y que eso "es mejor". Bueno, justamente aducir el incremento del turismo, no es ver la "big picture". Es sólo ver una imagen parcial. Hay personas, en la sociedad argentina, que no se benefician (directa, e incluso diría indirectamente) de la existencia de feriados. No es que defienda que hay que trabajar. Coincido con Marx, cuando afirma que el trabajo puede alienar a una persona. Trabajo no significa, en nuestra sociedad (Argentina y otros paises), dignidad o realización personal. Muchos trabajamos por conseguir subsistencia. Sólo unos pocos pueden realizarse en la vida sin trabajar: ya sea porque poseen los recursos heredados o adquiridos, o porque no necesitan mucho para realizarse (tipo el personaje de Pequeño Saltamontes, en la serie Kung Fu). La última vez que salí y me fijé, la mayoría de los integrantes de la sociedad argentina necesitan trabajar para realizar sus vidas, no porque les guste, sino porque es así. Imagino que varios argentinos trabajan, no porque su trabajo "los realiza", sino porque el ingreso obtenido de su trabajo les permite formar y mantener una familia, mantener una vida que valga la pena ser vivida, y colaborar para que sus hijos, descendientes y compañeros de sociedad puedan a su vez realizarse. La mayor actividad de turismo no necesariamente favorece, en corto, mediano o largo plazo, al desarrollo de la sociedad argentina. Puede que sí, puede que no. A cualquiera que defienda la existencia de feriados apelando a ver la "big picture", le pediría justamente eso: ver el total de la imagen, el total de las consecuencias, no sólo la alegría del carnaval (de dudosa medida) o el incremento de la actividad del turismo. Es claro que en la sociedad argentina, la gran mayoría de sus integrantes necesita de ingresos para vivir, y realizarse. Sería interesante que no tuviera que ser así, pero no lo es. Entonces, un problema personal y social, realizarse, termina dependiendo de la resolución de un problema económico. La existencia de más feriados no necesariamente termina beneficiando a la sociedad (tampoco puedo probar que la perjudica, necesitaría un modelo descriptivo de cómo funciona mi pais, por ejemplo, qué espera cada uno de su vida, qué necesita, cómo lo consigue). No basta apelar a: "hay más actividad turística". Eso es ver sólo una cara de la moneda. Me imagino otras: - Muchas personas consiguen menos ingresos por haber más feriados, mientras siguen teniendo la misma estructura de costos. Ejemplos: monotributistas que facturan en días laborables, gente cuentapropista que vende en días laborables y no vende en días no laborables (y lo que vende es proporcional a los días laborables, por ejemplo, un kiosko de golosinas), gente que tiene una fábrica o un emprendimiento, donde lo que produce es proporcional a los días laborables, y sus gastos es proporcional a los días laborables o no, etc. - Habrá personas que lo que dejan de vender o producir en un día no laborable, lo recuperan en el resto de los días laborables. Es decir, no se ven tan afectadas por los feriados. No sé, me imagino la reparación de zapatos. Debe ser la misma cantidad, ya sean con feriados o no. Solamente que con más feriados, la demanda de reparación de zapatos se concentra en menos días laborables, pero sigue siendo la misma. - Habrá persona que se ven favorecidas por el aumento de días feriados. Ya sea por estar vinculadas directamente (o indirectamente, por ejemplos, vía servicios) con la actividad de turismo. O porque son asalariados que reciben los mismos ingresos, con menos horas laborables. Ejemplo: alguien que tenga una fábrica de martillos, con más feriados por año, producirá MENOS martillos con iguales COSTOS de sueldos. Eso lo llevará a: reducir la calidad de lo producido, o a aumentar el precio de lo que quiera vender, o a tener menores ganancias y menor inversión a futuro, o a una combinación de todo esto. Es fácil ver: los hoteles están más llenos. No es tan fácil ver: los martillos son más caros, o hay menos, o no podemos venderlos al exterior porque hemos dejado de ser competitivos. Pero hay que contemplar todo esto, para afirmar algo sobre la política de tener más feriados o no. Y no veo a nadie (ni del gobierno, ni de la oposición, ni de ninguna parte) que aporte un claro modelo que permita evaluar, a cualquiera de nosotros, las consecuencias de tener o no tener tantos feriados. Sólo veo posturas ideológicas (tipo: así los trabajadores asalariados comparten más de las ganancias de sus patrones, o "tenemos más alegría en democracia"). En definitiva, rechazo a cualquiera que apele a la ver la "big picture" y que se detenga viendo sólo el turismo. El tema es mucho más complejo, interesante, e IMPORTANTE para reducirlo sólo a "más alegría" o "más rutas llenas a Mar del Plata" (ciudad turística de Argentina, con playas en el océano Atlántico). Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Febrero, 2013, 18:20
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Veamos algo simple de las funciones invariantes. Primero, una función no es invariante a secas, sino que es invariante o no ante una transformación de sus variables. Sea una función de dos variables:
Llamemos con una letra en negrita a una transformación. Una transformación t se puede ver como un par de funciones:
Dada una transformación, puede que tenga o no una transformación inversa:
Por ejemplo, la transformación:
Tiene inversa:
Pero la transformación:
No tiene inversa. No sabríamos como conseguir x2 en la inversa. Entonces, dada una función f de dos variables ¿Cuáles son las transformaciones que la dejan invariante? Pues bien, es un conjunto no vacío, pues siempre tenemos la transformación idéntica e:
Si una transformación t deja invariante a f, también lo deja invariante su transformación inversa t'. t(f) = f Es decir, su composición deja invariante a f (en realidad, tendría que hacer el desarrollo completo, pero la idea es la de arriba). La asociatividad de composición de transformaciones se cumple, por ser composición de funciones. Entonces queda: Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman estructura de grupo Ver Grupos: Definición y Ejemplo Como otras veces, encontramos grupos en todas las partes de las matemáticas. Tomemos un ejemplo rápido. Sea la función f:
Si la aplicamos en el plano, representa la distancia de un punto al origen. Las transformaciones que dejan invariante a f, son: reflexiones por líneas que pasan por el origen, reflexión ante el punto origen, y rotaciones alrededor del origen. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Febrero, 2013, 13:02
Publicado el 6 de Febrero, 2013, 14:30
Publicado el 3 de Febrero, 2013, 11:50
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Hace un tiempo comenté sobre Platón:
Su idea en "La República" fue reemplazada en "Las Leyes". En el video comentado en ese post, Savater decía:
Ayer encuentro en "Utopía" de Tomás Moro algo levemente relacionado:
El rey recibe consejos de invasiones, de posibles aliados temporales, de movimientos bélicos.
Hoy vivimos en otra época, donde en las naciones que conocía Moro y en las nuevas ya no hay reyes que gobiernan por sí solos. Pero igual es pertinente justificar la toma de decisiones. Los gobiernos, o las partes de los gobiernos que toman esas decisiones, deben tomarlas por las razones correctas, o por lo menos, por las que consideran públicamente como razones correctas. Es importante la transparencia de ese proceso en una democracia. Todo esto lo relaciono, antes de olvidarme, con una cita de John Stuart Mill que encontré en una nota sobre la muerte de James Buchanan (encontrada gracias a un tweet de @carlospirovano):
Son varios temas a discutir. Disculpen que salte de Platón a Moro y luego a Mill. Pero en resumen, no se puede esperar un "gobierno bueno" como algo asumido, sino que la sociedad debe estar en vigilancia y activa. Tal vez no se pueda lograr aún la participación activa de TODA la sociedad, pero hay que promoverla. Ya no somos súbditos de la voluntad de un monarca, que nos envíe a una nueva guerra cuando él lo apetezca. Habrá que ver que instituciones libres usamos para eso. Pero necesitamos esa actividad, para que no haya reyes que tomen decisiones en una sala de palacio, aunque sea por las más "buenas razones" que tengan. Aún cuando los "intereses particulares" que menciona Mill sean los mejores intereses. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Febrero, 2013, 13:27
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Acabó Enero y es tiempo de repaso del anterior post de resoluciones: - Escribir nuevo post de funciones invariantes [completo] ver post Este mes de Febrero seguiré dedicado más en temas técnicos, que apareceran en mis otros blogs. En los temas no técnicos, me comprometo a: - Escribir nuevo post de funciones invariantes Es un poco ambiciosa la lista (hay posts que me insumirán tiempo), pero espero poder organizarme para cumplir. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |