Angel "Java" Lopez en Blog

Febrero del 2013


Publicado el 24 de Febrero, 2013, 16:07

La Combinatoria es un amplio tema, que abarca desde resultados elementales hasta mucho de lo nuevo en las matemáticas del siglo XX. Es imposible dar una historia completa o detallada, ni siquiera abarcativa, de tan gran tema. Pero quisiera igual escribir algunos posts, basado en una fuente principal, "The History of Combinatorics", Biggs, Lloyd, Wilson, Chapter 44, Handbook of Combinatorics, Vol II.

Mientras que tenemos a la geometría floreciendo en la antigua Grecia, no pasa lo mismo con la combinatoria. Todo indica que sus orígenes no se encuentran en occidente, sino en oriente. Por ejemplo, los chinos tienen un antecedente en su estudio de los cuadrados mágicos. Pero lo principal viene de los hindúes.

El estudio de los textos hindúes es difícil, porque no tienen una fecha segura. También sucede que el texto que conocemos es una mezcla del texto original y de comentarios agregados con el tiempo. Esto hace que algunos historiadores han exagerado la prioridad de los hindúes en el desarrollo de varias ramas de las matemáticas. Sin embargo, las ideas de elegir y arreglar han estado tan íntimamente relacionados con la cultura matemática hindú que han desarrollado inevitablemente el tema. Un ejemplo, la fórmula:

para el número de permutaciones de un conjunto de n elementos, y la fórmula para el número de conjuntos de k elementos tomandos de un conjunto de n elementos:

ya eran conocidas por Bhaskara cerca del 1150. Probablemente eran también conocidas por matemáticos anteriores como Brahmagupta, en la sexta centuria. Casos especiales de estas fórmulas pueden encontrarse que se remontan al segundo y tercer siglo A.C. Por ejemplo, en el Bhagabati Sutra, escrito cerca del 300 A.C., aparece la primera mención de un problema combinatorio. El autor se pregunta cuántas maneras hay de tomar 1, 2 o 3 elementos de un conjunto de 6 elementos. Es el primer libro en mencionar la fórmula de arriba, conocida como la choose function. Otra aparición de ideas de combinatoria se encuentra en Pingala, quien interesado en la prosodia, se preguntó de cuántas maneras un verso de seis sílabas podría ser armado con notas largas y cortas. Escribió este problema en el Chandra Sutra, en el siglo II A.C. Generalizó el problema a metros de n notas y k notas cortas, dando un coeficiente binomial. Las ideas del Bhagabati fueron generalizadas por Mahavira en 850 D.C., y las de Pingala por el mencionado Bhaskara en 1100 D.C.

El cuadrado mágico de orden 3

puede ser encontrada en escritos chinos del siglo I de nuestra era. Se ha aducido que era conocida en 2200 A.C., pero sin justificación. Cuenta la leyenda que ese cuadrado fue encontrado en el caparazón de una tortuga en el río Luo en los tiempos del legendario emperador Yii, que tenía reputación de ingeniero hidráulico. No hay evidencia de avances por parte de los chinos en el estudio de estos cuadrados mágicos, hasta llegado el periodo 900 a 1300 D.C. Es en ese periodo cuando matemáticos chinos e hindúes hacen estudios intensivos de esos cuadrados, pudiendo construir cuadrados de varios órdenes siguiendo distintos métodos. En el siglo XIII hubo un intercambio entre ambas culturas. Como ejemplo, se descubrió en 1956, en las afueras de la ciudad china de Xi'an unas tablas de hierro con ejemplos de cuadrados mágicos de 6 x 6 inscriptos usando números arábicos.

Ver History of Combinatorics

Ver Combinatorics

Otra fuente consultada: A History of Mathematics, Uta C.Merzbach and Carl B. Boyer.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 23 de Febrero, 2013, 10:14

Quiero escribir sobre un recuerdo personal. Hoy caminé por un boulevard de la ciudad de Rosario, Santa Fé, Argentina, el boulevar Oroño. Y estuve viendo las palmeras que tiene. Hace como treinta y cinco años, yo estudiaba en la escuela secundaria (que sigue a la escuela primaria, acá en Argentina). Y en mi segundo año de escuela tenía una materia de Botánica.

Siempre me gustó leer, y para mí era una delicia empezar un nuevo año, con nuevos libros. Era como encontrarse con cosas nuevas. En mi casa no había lujos, pero mis padres siempre pudieron comprar libros nuevos al comienzo del año (la opción más barata hubiera sido comprar libros usados de otros estudiantes). Conservo vario de esos libros, pero no todos. Uno era el de botánica, para ese año. Era más detallado que lo que había leído, pero ya había tenido contacto con ese tema, en detalle, gracias a otro libro que me habían comprado mis padres. Era un libro de una serie española, que aún tengo en mi biblioteca. De esa misma serie tenía excelentes libros de matemáticas, zoología, astronomía (de Comas Solá, que merecería un post aparte). Lo que aprendía en mi infancia con esos libros realmente me marcó en la vida. No había biblioteca familiar, pero mis padres fueron comprando libros para mí, fomentando siempre mi interés por la lectura.

El libro de botánica no era el más ameno, pero era bastante detallado. Me introdujo en la clasificación de Linneo, y en las diferencias entre las ramas de esa clasificación. Mi casa (de la escuela primaria) tenía un fondo con plantas, flores, árboles, que yo iba tratando de estudiar y clasificar, a medida que aprendía. Me gustó mucho encontrar la disposición de las hojas, la forma de bifurcarse las ramas en distintos árboles, la estructura de una flora, y más. Así que cuando llegué a ese segundo año de escuela secundaria, el tema no me era ajeno.

Tenía un profesor asignado a esa materia, el profesor F. Sabía del tema, y daba bastantes detalles sobre botánica. Al principio del año, yo acostumbraba a leerme todos los libros nuevos, así que ya sabía cómo era el temario.

En una de las primeras semanas, una tarde, en el recreo, el profesor F. estaba parado, descansando, mirando al parque que tenía mi colegio. Había algunos árboles y unas palmeras, y había una en particular que tenía poca altura. No sé cómo me atreví, pero me acerqué y le dije: "Esa es una cicas revoluta". Justo en el libro español había un largo fragmento explicando la evolución (algo inusual) de esas palmeras. Nunca supe si yo estaba acertado o no (sospecho que no, la cicas es venenosa, pero la palmera que ví era muy parecida). Pero dió la casualidad que el profesor F. había escrito una tesis sobre ese tipo de palmera. Me hizo algunas preguntas, y se convenció que yo sabía del tema.

Cuando llegó el primer examen (creo recordar que había cuatro por año y materia) de botánica, el profesor F repartió los temas, y al final, se dirigió a mí delante de todos y dijo:

- Ud. no Lopez, no hace falta que haga el examen.

Y me llevó a sentarme a su escritorio, en frente de la clase. Lo que me pidió es que revisara algunas cuentas de interés compuesto, de unos pagos que tenía que  hacer. Y así pasé cada clase de examen: resolviendo algunas cuentas simples, y aprobé el año sin dar ningún examen :-)

Lo interés compuesto lo había aprendido ya hacía años, de los mismos libros españoles. El de matemáticas me había enseñado el binomio de Newton, y el límite de una expresión que daba el número e. Me fascinaban esos temas, y como saben, me siguen fascinando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Febrero, 2013, 15:26

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Veamos lo último de Pais sobre Dirac:

De lejos, lo que más aprendí de estas discusiones con Dirac se refiere a su manera de jugar con las ecuaciones, que se puede resumir en: primero jugar con matemáticas bellas, luego ver dónde nos llevan en física. Durante toda su vida, esta actitud se manifiesta en sus escritos. A los 28 años escribió:

Hay, en el presenta, problemas fundamentales en física teórica... la solución de los cuales... presumiblemente requerirá a un revisión aún más drástica de nuestros conceptos fundamentales de la que ha habido hasta ahora. De hecho, estos cambios serán tan grandes que estará más allá de los poderes de la inteligencia humana el poder tener las nuevas ideas que dirijan nuestros intentos de formular los datos experimentales en términos matemáticos. El teórico del futuro, entonces, tendrá que proceder de una manera más directa. El método más poderoso para avanzar que puede ser sugerido, es emplear todos los recursos de las matemáticas puras intentando perfeccionar y generalizar el formalismo matemático que forma la base existente de la física teórica, y luego alterar cada éxito en esta dirección, intentando una nueva matemática basada en entidades físicas.

A los 37 escribió:

A medida que pasa el tiempo, se vuelve más y más evidente que las reglas por las que los matemáticos encuentran interesantes son las mismas que la naturaleza ha escogido.

A los 60:

Pienso que es una peculiariedad mía que me guste jutar con las ecuaciones, sólo para buscar relaciones matemáticas bellas que pueden no tener ningún significado físico.

A los 78:

Gran parte de mi trabajo de investigación ha consistido no tanto en resolver un problema en particular, sino en simplemente examinar las cantidades matemáticas de una clase que los físicos usan y tratan de aplicar en formas interesantes, sin importar la aplicación en particular en la que esten trabajando. Es simplemente una búsqueda de hermosa matemática. Puede que luego se encuentre una aplicación a ese trabajo. De ser así, habremos tenido suerte.

Ese ese último trabajo, nos da tres ejemplos de la manera que ha trabjado: la ecuación de Dirac, los monopoles, y la última ecuación de Dirac. Según su propio juicio, a los 69 años: "Mis propias contribuciones desde esos primeros días han sido de menor importancia".

¿Qué tipo de matemáticas eran consideradas bellas para Dirac?

El trabajador teórico, en su esfuerzo para expresar las leyes fundamentales de la naturaleza en forma matemática, debe perseguir, principalmente, la belleza matemática. Debe tomar la simplicidad en consideración, subordinándola a la búsqueda de la belleza... Con frecuencia sucede que lso requerimientos de simplicidad y belleza son los mismos, pero que cuando colisionan, la belleza debe tener precedencia.

Dirac era un hombre reservado, no muy dado a comentar o recardar otras personalidades o eventos pasados. El raramente hablaría de sí mismo. En pocas ocasiones, él revelaría alguna de sus emociones en sus escritos. Encuentro intrigante que, como lo he mencionado, él se refiera a la teoría de la transformación como "my darling". Igualmente notables son las raras apariciones de su ansiedad. Cuando, a los 60 años, se le preguntó sobre sus sentimientos al descubrir la ecuación que lleva su nombre, contestó: "Bueno, en primer lugar, me llevó a una gran angustia el sbae rsi era correcta o no... Esperaba un sentimiento dominante. Fue apenas una fiebtrea... A los 67 años:

Pienso que es una regla general que el creador de una nueva idea no está mejor siguatdo que otra para desarrollarla, debido a sus miedos de que algo salga mal sean realmente muy fuertes ...'

Como último ejemplo de Dirac hablando de sí mismo, cito un fragmento de una carta que me envión: "Yo tuve uan conversación con él hace un año y medio antes de su muerto... Me preguntó sobre venir y dar una charla en la Universidad de Florida antes de su muerte. Me dijo "No! No tengo nada para contartar. Mi vida ha sido un fracaso... " Y cuando volvió para dar una charla sobre los infinitos [en electrondinámica cuántica]. Es común en los grandes hombres que sus fracasos sean más importantes que sus éxitos.

Un día Niels Bohr caminaba hacia su ofinica en Princeton, meneando su cabeza mientras me comentaba de una decisión que había tenido con Dirac. Era en los primeros años cincuenta, durante la era de la Guerra Fría Bohr había expresado su disgusto en del lenguaje abusivo que la prensa americana estaba usando para referirse a los rusos. Dirac había replicado que todo eso terminaría en unas semanas. Bohr le preguntó por qué. Bien, Dirac contestó que al haber los periodistas usado todas las invectivas del lenguaje inglés, en poco tiempo deberían terminarlas.

La otra histora no es sobre Dirac, sino una que alguna vez le escuché a Dirac más de una vez. En un pequeño pueblo, un nuevo párroco visita a sus parroquianos. En una visita a un hogar modesto, es recibido por la mujer de la casa, y no puede dejar de notar que el lugar está lleno de niños. Pregunta entonces cuántos tiene la pareja. Ella responde: diez, cinco pares de mellizos. Asombrado, el sacerdote pregunta: ¿quiere decir que siempre tuvo mellizos? A lo que la mujer responde: no, padre, algunas veces no tuvimos nada. Precisión a ese nivel le daba un inmenso placer a Dirac.

Mi historia final sobre Dirac se refiere a una carta que me escribión un amigo en común. Se refiere a uno de mis primeros encuentros con Dirac, en Enero de 1946, en el que Paul me había interrogado sobre mi experiencia de guerra. La carta decía en parte:

Fue unas dos semanas antes de su muerte.. Margit y yo estábamos a su lado. Estaba pálido, flaco, e inusualmente parlanchín... Me dijo que cerca del fin de la guerra Ud. había sido capturado por los alemanes y que estuve cerca de ser ejecutado... Lo inusual de la situación fue que él nos repitió la historia completa por lo menos cuatro veces... Margit finalmente le pidió que parara... Algún día quizás Ud. pueda contármela.

Cuando vuelvo a revisar los cuarenta años en los que conocía a Dirac, todos los recuerdos concuerdan con la opinión que Niels Bohr tenía de él: 'De todos los físicos, Dirac tenía el alma más pura. De alguna forma, parcial, me recordaba a Einstein: uno de los grandes contribuyentes a la física del siglo, siempre siguiendo su propio camino, sin formar una escuela, impulsado por la necesidad de belleza y simplicidad en las teorías físicas, en sus últimos años cada vez más adicto a las matemáticas que fueran buenas para su física, continuando sus actividades en investigación pura hasta cerca de su muerte. En otros aspectos, nunca conocí a alguien como él'

Notable conferencia de Pais, describiendo tanto las peculiaridades de la personalidad de Dirac, como su forma de abordar las matemáticas y su relación con la física.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 16 de Febrero, 2013, 12:16

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Bien, no me pude resistir, sigue otra entrega de enlaces de este GRAN tema. No me culpen si se les va la vida en investigar el diez por ciento de todo esto ;-)

Pictures of Modular Curves (II) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/pictures_of_modular_curves_ii.html

Amazon.com: An Introduction to Galois Cohomology and its Applications (London Mathematical Society Lecture Note Series) (9780521738668): Grégory Berhuy: Books: Reviews, Prices & more
http://www.amazon.com/Introduction-Cohomology-Applications-Mathematical-Society/dp/0521738660

Amazon.com: Topological Groups: An Introduction (9780470624517): Nelson G. Markley: Books
http://www.amazon.com/Topological-Groups-Introduction-Nelson-Markley/dp/0470624515

Schur’s Lemma
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/30/schurs-lemma/

Reducibility
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/23/reducibility/

Maschke’s Theorem
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/28/maschkes-theorem/

YouTube - Reflections and Rotations
http://www.youtube.com/watch?v=gJMJBc-f9IQ&feature=related

YouTube - Rotational Symmetry of a Cube
http://www.youtube.com/watch?v=gBg4-lJ19Gg&NR=1

Invariant Forms
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/27/invariant-forms/

The (Left) Regular Representation
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/17/the-left-regular-representation/

Modules
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/15/modules-2/

Group Actions and Representations
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/16/group-actions-and-representations/

Conjugates
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/10/conjugates/

Conjugation
http://unapologetic.wordpress.com/2007/02/22/conjugation/

Cycle Type
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/09/cycle-type/

Some Sample Representations
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/13/some-sample-representations/

The Group Algebra
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/14/the-group-algebra/

YouTube - Rotational Symmetries of Platonic Solids
http://www.youtube.com/watch?v=tYxMTQF4pdA

Group of Symmetries of the Square - Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/GroupOfSymmetriesOfTheSquare/

New Topic: The Representation Theory of the Symmetric Group
http://unapologetic.wordpress.com/2010/09/07/new-topic-the-representation-theory-of-the-symmetric-group/

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Febrero, 2013, 14:03

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Este tema debe ser mi preferido desde hace algo más de tres décadas. ¿Qué puedo decir? Sólo invitarlos a lo que puede ser un viaje de ida, de toda una vida:

From Milne's book

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
cited in Chapter 1
 
The axioms for a group are short and natural. . . .
Yet somehow hidden behind these axioms is the monster simple group, a huge and extraordinary mathematical object, which appears to rely on numerous bizarre coincidences to exist. The axioms for groups give no obvious hint that anything like this exists.
 
Richard Borcherds, in Mathematicians 2009.


Exceptional object
http://en.wikipedia.org/wiki/Exceptional_object
 
Rubik's Cube Can Be Solved in Less Than 20 Moves
http://www.huliq.com/1/813-rubiks-cube-can-be-solved-less-20-moves

El número de dios es 20
http://gaussianos.com/el-numero-de-dios-es-20/

The Brauer Groupoid
http://sbseminar.wordpress.com/2010/08/11/the-brauer-groupoid/

'God couldn't do faster': Rubik's cube mystery solved
http://www.newscientist.com/article/dn19301-rubiks-cube-mystery-solved-after-15-years.html
 It has taken 15 years to get to this point, but it is now clear that every possible scrambled arrangement of the Rubik's cube can be solved in a maximum of 20 moves

God's Number is 20
http://www.cube20.org/

E8 (mathematics)
http://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)

Kim on Fundamental Groups in Number Theory
http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/03/kim_on_fundamental_groups_in_n.html

Fundamental groups and Diophantine geometry
http://www.ucl.ac.uk/~ucahmki/leeds.pdf

Cayley graphs and the geometry of groups
http://terrytao.wordpress.com/2010/07/10/cayley-graphs-and-the-geometry-of-groups/

Generalized moonshine I: Genus zero functions
http://sbseminar.wordpress.com/2009/01/08/generalized-moonshine-i-genus-zero-functions/

Lattices and their invariants
http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/

Suzuki groups as expanders
http://terrytao.wordpress.com/2010/05/06/suzuki-groups-as-expanders/

Classification of finite simple groups
http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

Semidirect product
http://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product

Group extension
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_extension

Approximate subgroups of linear groups
http://terrytao.wordpress.com/2010/05/12/approximate-subgroups-of-linear-subgroups/

This Week"s Finds in Mathematical Physics (Week 298)
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/05/this_weeks_finds_in_mathematic_59.html
 In "week298" of This Week"s Finds, learn about finite subgroups of the unit quaternions

Course Notes - J.S. Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/

An Invitation to Higher Gauge Theory (Again)
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/an_invitation_to_higher_gauge_1.html

The Automorphism Group of a Root System
http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/11/the-automorphism-group-of-a-root-system/

Coxeter Graphs and Dynkin Diagrams
http://unapologetic.wordpress.com/2010/02/18/coxeter-graphs-and-dynkin-diagrams/
 
The Classification of (Possible) Root Systems
http://unapologetic.wordpress.com/2010/02/19/the-classification-of-possible-root-systems/

Proving the Classification Theorem V
http://unapologetic.wordpress.com/2010/02/26/proving-the-classification-theorem-v/

A proof of Gromov"s theorem
http://terrytao.wordpress.com/2010/02/18/a-proof-of-gromovs-theorem/

Weyl Chambers
http://unapologetic.wordpress.com/2010/02/03/weyl-chambers-2/
 
F and the Shibboleth
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/01/f_and_the_shibboleth.html

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Publicado el 12 de Febrero, 2013, 15:15

Ya comencé a escribir sobre la sociedad en:

El armado de una sociedad

y sobre economía en:

El estudio de la economía
Economía

Tengo mucho para escribir, y tengo mucho pendiente para pasar en limpio. Por ejemplo, tendría que escribir en esa serie sobre el armado de una sociedad, sobre ¿qué esperamos de una sociedad? Adelanto mi respuesta:

- Espero que una sociedad facilite el desarrollo personal de sus integrantes
- Y facilite el desarrollo personal de sus futuros integrantes

El primer punto permite evitar que una generación se sacrifique dudosamente por las próximas. Es muy difícil evaluar las consecuencias de una acción política, pensando solamente en el futuro y olvidando el presente. Y el segundo punto, permite evitar que una generación piense solamente en sí misma.

Hoy me encuentro en twitter, participando de una discusión sobre el carnaval y los feriados que implica (lunes y martes) en mi pais, Argentina. Yo quisiera pasar a discutir sobre los feriados en general. En mi pais, son cerca de 20 días feriados por año. Se me ha dicho:

- Los feriados de carnaval dan más alegría a la gente
- Los feriados en general, colaboran al turismo en mi pais, y eso es mejor que no tener feriados

Bueno, son dos afirmaciones que no he visto justificadas. Para la primera, pediría una medida, algo que indique, qué es "dar alegría" a la gente. ¿Cómo podemos afirmar eso sin una evaluación, una medida, aunque sea aproximada, de "esa alegría"? Apelando a mi experiencia personal, no veo que mis conocidos tengan más alegría simplemente por tener carnaval. Me parece que el tema de la alegría personal amerita más que tener una comparsa en el barrio.

Más interesante es el segundo punto. Se puede aducir que los feriedos en mi pais, promueven al turismo y eso es bueno para la sociedad argentina. Se me ha dicho, por twitter, que hay que ver la "big picture", la gran imagen, de ahí el título de este post. Que hay que ver que, gracias a los feriados, hay una mayor actividad turística interna, y que eso "es mejor".

Bueno, justamente aducir el incremento del turismo, no es ver la "big picture". Es sólo ver una imagen parcial. Hay personas, en la sociedad argentina, que no se benefician (directa, e incluso diría indirectamente) de la existencia de feriados.

No es que defienda que hay que trabajar. Coincido con Marx, cuando afirma que el trabajo puede alienar a una persona. Trabajo no significa, en nuestra sociedad (Argentina y otros paises), dignidad o realización personal. Muchos trabajamos por conseguir subsistencia. Sólo unos pocos pueden realizarse en la vida sin trabajar: ya sea porque poseen los recursos heredados o adquiridos, o porque no necesitan mucho para realizarse (tipo el personaje de Pequeño Saltamontes, en la serie Kung Fu). La última vez que salí y me fijé, la mayoría de los integrantes de la sociedad argentina necesitan trabajar para realizar sus vidas, no porque les guste, sino porque es así. Imagino que varios argentinos trabajan, no porque su trabajo "los realiza", sino porque el ingreso obtenido de su trabajo les permite formar y mantener una familia, mantener una vida que valga la pena ser vivida, y colaborar para que sus hijos, descendientes y compañeros de sociedad puedan a su vez realizarse.

La mayor actividad de turismo no necesariamente favorece, en corto, mediano o largo plazo, al desarrollo de la sociedad argentina. Puede que sí, puede que no. A cualquiera que defienda la existencia de feriados apelando a ver la "big picture", le pediría justamente eso: ver el total de la imagen, el total de las consecuencias, no sólo la alegría del carnaval (de dudosa medida) o el incremento de la actividad del turismo.

Es claro que en la sociedad argentina, la gran mayoría de sus integrantes necesita de ingresos para vivir, y realizarse. Sería interesante que no tuviera que ser así, pero no lo es. Entonces, un problema personal y social, realizarse, termina dependiendo de la resolución de un problema económico. La existencia de más feriados no necesariamente termina beneficiando a la sociedad (tampoco puedo probar que la perjudica, necesitaría un modelo descriptivo de cómo funciona mi pais, por ejemplo, qué espera cada uno de su vida, qué necesita, cómo lo consigue). No basta apelar a: "hay más actividad turística". Eso es ver sólo una cara de la moneda. Me imagino otras:

- Muchas personas consiguen menos ingresos por haber más feriados, mientras siguen teniendo la misma estructura de costos. Ejemplos: monotributistas que facturan en días laborables, gente cuentapropista que vende en días laborables y no vende en días no laborables (y lo que vende es proporcional a los días laborables, por ejemplo, un kiosko de golosinas), gente que tiene una fábrica o un emprendimiento, donde lo que produce es proporcional a los días laborables, y sus gastos es proporcional a los días laborables o no, etc.

- Habrá personas que lo que dejan de vender o producir en un día no laborable, lo recuperan en el resto de los días laborables. Es decir, no se ven tan afectadas por los feriados. No sé, me imagino la reparación de zapatos. Debe ser la misma cantidad, ya sean con feriados o no. Solamente que con más feriados, la demanda de reparación de zapatos se concentra en menos días laborables, pero sigue siendo la misma.

- Habrá persona que se ven favorecidas por el aumento de días feriados. Ya sea por estar vinculadas directamente (o indirectamente, por ejemplos, vía servicios) con la actividad de turismo. O porque son asalariados que reciben los mismos ingresos, con menos horas laborables.

Ejemplo: alguien que tenga una fábrica de martillos, con más feriados por año, producirá MENOS martillos con iguales COSTOS de sueldos. Eso lo llevará a: reducir la calidad de lo producido, o a aumentar el precio de lo que quiera vender, o a tener menores ganancias y menor inversión a futuro, o a una combinación de todo esto. Es fácil ver: los hoteles están más llenos. No es tan fácil ver: los martillos son más caros, o hay menos, o no podemos venderlos al exterior porque hemos dejado de ser competitivos.

Pero hay que contemplar todo esto, para afirmar algo sobre la política de tener más feriados o no. Y no veo a nadie (ni del gobierno, ni de la oposición, ni de ninguna parte) que aporte un claro modelo que permita evaluar, a cualquiera de nosotros, las consecuencias de tener o no tener tantos feriados. Sólo veo posturas ideológicas (tipo: así los trabajadores asalariados comparten más de las ganancias de sus patrones, o "tenemos más alegría en democracia").

En definitiva, rechazo a cualquiera que apele a la ver la "big picture" y que se detenga viendo sólo el turismo. El tema es mucho más complejo, interesante, e IMPORTANTE para reducirlo sólo a "más alegría" o "más rutas llenas a Mar del Plata" (ciudad turística de Argentina, con playas en el océano Atlántico).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Febrero, 2013, 18:20

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Veamos algo simple de las funciones invariantes. Primero, una función no es invariante a secas, sino que es invariante o no ante una transformación de sus variables.

Sea una función de dos variables:

Llamemos con una letra en negrita a una transformación. Una transformación t se puede ver como un par de funciones:


Dada una transformación, puede que tenga o no una transformación inversa:


Por ejemplo, la transformación:


Tiene inversa:


Pero la transformación:


No tiene inversa. No sabríamos como conseguir x2 en la inversa.

Entonces, dada una función f de dos variables ¿Cuáles son las transformaciones que la dejan invariante? Pues bien, es un conjunto no vacío, pues siempre tenemos la transformación idéntica e:


Si una transformación t deja invariante a f, también lo deja invariante su transformación inversa t'.
Si componemos dos transformaciones t, s que dejan invariante a f, tenemos simbólicamente:

t(f) = f
s(f) = f
s(t(f)) = f

Es decir, su composición deja invariante a f (en realidad, tendría que hacer el desarrollo completo, pero la idea es la de arriba).

La asociatividad de composición de transformaciones se cumple, por ser composición de funciones.

Entonces queda:

 Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman estructura de grupo

Ver Grupos: Definición y Ejemplo

Como otras veces, encontramos grupos en todas las partes de las matemáticas.

Tomemos un ejemplo rápido. Sea la función f:

Si la aplicamos en el plano, representa la distancia de un punto al origen. Las transformaciones que dejan invariante a f, son: reflexiones por líneas que pasan por el origen, reflexión ante el punto origen, y rotaciones alrededor del origen.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Febrero, 2013, 13:02

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La geometría es un tema al que debería dedicarle más tiempo. Escribí algunas razones para eso en Funciones Invariantes (2). Por ahora, en este post más de mis enlaces sobre el tema:

A history of Pi
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html

History of Geometry
http://math.rice.edu/~lanius/Geom/his.html

A Brief History of Geometry
http://www.thegeodes.com/templates/geometryhistory.asp

Geometry History
http://library.thinkquest.org/C006354/history.html

Rhind Mathematical Papyrus
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus

History of geometry
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_geometry

El teorema del emperador
http://amazings.es/2012/05/27/el-teorema-del-emperador/

Élie Joseph Cartan
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cartan.html

Área de aprendizaje
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/04/25/area-de-aprendizaje/

Ángulos trisecables…pero no construibles
http://gaussianos.com/angulos-trisecables-pero-no-construibles/

Esfera, cilindro y una constante inesperada
http://gaussianos.com/esfera-cilindro-y-una-constante-inesperada/

Si te digo veintiún mililitros, son 21 mililitros
 http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1409/si-te-digo-veintiun-mililitros-son-21-mililitros

Spaces and questions
http://www.ihes.fr/~gromov/topics/SpacesandQuestions.pdf
Our Euclidean intuition, probably, inherited from ancient primates, might have grown out of the first seeds of space in the motor control systems of early animals who were brought up to sea and then to land by the Cambrian explosion half a billion years ago....

Fugu
http://www.csse.monash.edu.au/~cema/fugu/
Procedural geometry with Lua

EULER Y EL UNIVERSO MATEMATICO 2/3
http://www.youtube.com/watch?v=BJYit2ta8lM&feature=related

Voronoi diagram
 http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram

Geometry in action: Voronoi Diagrams
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/voronoi.html

Cada uno en su región y Voronoi en la de todos
http://amazings.es/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/

Demostración visual de la paradoja del cubo de Ruperto
http://gaussianos.com/demostracion-visual-de-la-paradoja-del-cubo-de-ruperto/

La paradoja de Ruperto
http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/

D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things
http://www.math.usma.edu/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf

ON THE BLASCHKE-SANTALÓ INEQUALITY
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1749-6632.1985.tb14544.x/abstract?systemMessage=Wiley+Online+Library+will+be+disrupted+4+Feb+from+10-12+GMT+for+monthly+maintenance

Introduction to Quantum-Geometry Dynamics A Response to Hilbert"s 6th problem
http://www.quantumgeometrydynamics.com/QGD3.pdf

Quantum-Geometry Dynamics
http://www.quantumgeometrydynamics.com/blog/

Los centros del triángulo: el punto de Nagel
http://gaussianos.com/los-centros-del-triangulo-el-punto-de-nagel/

Los centros del triángulo: Mittenpunkt
http://gaussianos.com/los-centros-del-triangulo-mittenpunkt/

An Introduction to the Fascinating Patterns of Visual Math
http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual_math_varieties.html

Geometría ¿sanadora? con poliedros
http://eliatron.blogspot.com.ar/2011/11/geometria-sanadora-con-poliedros.html

Construir un heptágono regular con regla y compás
http://gaussianos.com/construir-un-heptagono-regular-con-regla-y-compas/

Primeras construcciones con regla y compás en imágenes
http://gaussianos.com/primeras-construcciones-con-regla-y-compas-en-imagenes/

Particle physics and representation theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory

GEX - The work of Genis Carreras
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Publicado el 6 de Febrero, 2013, 14:30

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Más de mis enlaces sobre el tema

Cassini delivers holiday treats from Saturn
http://www.physorg.com/news/2011-12-cassini-holiday-saturn.html
 
ScienceShot: Probing a Black Hole
http://news.sciencemag.org/sciencenow/2011/12/scienceshot-probing-a-black-hole.html

Saturn's Enigmatic Moons --Two are Potential Hotspots for Life
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/12/saturns-enigmatic-moons-two-potential-hotspots-for-life.html

Mystery Galaxy with an 800,000 Light-Year Long Tail
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/12/mystery-galaxy-with-an-800000-light-year-long-tail.html

NASA's Voyager Hits New Region at Solar System Edge
http://www.jpl.nasa.gov/news/news.cfm?release=2011-372
 
Matemático logra explicar la rotación de las galaxias con cálculos sin necesidad de materia oscura
http://alt1040.com/2011/12/matematico-italiano-logra-explicar-la-rotacion-de-las-galaxias-con-calculos-y-sin-necesidad-de-materia-oscura

Could dark matter not matter?
http://www.physorg.com/news/2011-12-dark.html
 
NASA's Kepler confirms first planet in habitable zone of Sun-like star
http://english.people.com.cn/202936/7666849.html
 
Kepler 22-b: Another step closer to finding Earth-like worlds
http://blogs.scientificamerican.com/life-unbounded/2011/12/05/kepler-22-b-another-step-closer-to-finding-earth-like-worlds/

The gorgeous birth pangs of young stars
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/12/02/the-gorgeous-birth-pangs-of-young-stars/

Saturn's Enceladus Revisited --NASA Expert: "Is it the Site of a Second Genesis?"
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/11/saturns-enceladus-revisited-nasa-expert-asks-the-site-of-a-second-genesis.html

A boiling superEarth joins the exoplanet roster
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/11/30/a-boiling-superearth-joins-the-exoplanet-roster/

Micro neutron star versus nano comet versus mega red giant
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/12/01/micro-neutron-star-versus-nano-comet-versus-mega-red-giant/

Some More Distant Galaxies
http://eyeonicr.wordpress.com/2011/11/30/some-more-distant-galaxies/
 
Image of the Day: A Neutron Star Ripping a Blue Super-Giant to Pieces
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/11/image-of-the-day-a-neutron-star-ripping-a-blue-super-giant-to-pieces.html

We need to increase the awesome
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/11/29/we-need-to-increase-the-awesome/

Un astrónomo aficionado fotografía otro sistema solar (en formación)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/astronomo-aficionado-fotografia-otro-sistema-solar.html

Fotografían la supernova más joven captada nada más explotar
http://www.agenciasinc.es/Noticias/Fotografian-la-supernova-mas-joven-captada-nada-mas-explotar

VLBI observations of SN 2011dh: imaging of the youngest radio supernova
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Jovian Attraction
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Habrían descubierto gran cantidad de agua líquida en una de las lunas de Júpiter
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The Milky Way
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El Hubble descubre el disco que rodea un agujero negro
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Lugares más extremos del Sistema Solar
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Febrero, 2013, 11:50

Hace un tiempo comenté sobre Platón:

Platon trato de poner en practica sus ideas politicas en Siracusa, pero no tuvo éxito, fracasando dos veces.

Entonces, en sus últimos años, en Las Leyes, abandonó la idea de rey filósofo, y confío a lo legal lo que ya no podía esperar de los individuos.

Su idea en "La República" fue reemplazada en "Las Leyes". En el video comentado en ese post, Savater decía:

"...[en Las Leyes] Ofrece un nuevo modelo de estado, pautado por leyes, a diferencia de La República, donde los filosofos gobiernan, y se nombra poco a las leyes... En su último diálogo deposita la esperanza en el adecuado ordenamiento político... "

Ayer encuentro en "Utopía" de Tomás Moro algo levemente relacionado:

... no hay duda de que Platón ya previó que los reyes, a menos de entregarse al estudio de la filosofía, jamás querrán escuchar los consejos de los filósofos, porque sus corazones están pervertidos desde su más tierna edad por las ideas falsas y malas. Platón vio que esto era verdad en el ejemplo del rey Dionisio. Si yo propusiera a algún rey que se diesen leyes sabias, si intentase arrancar de su alma las perniciosas causas originales de vicio e iniquidad, ¿no creéis que sería arrojado de su corte o se reiría de mí? Suponed que me hallase con el rey de Francia y estuviera sentado en su Consejo tratando de negocios secretos. El monarca y sus más talentudos consejeros y ministros están allí presentes. Se buscan los medios de conservar Milán, de impedir que se separe Nápoles, de conquistar Venecia, de someter a toda Italia; luego de unir a la corona toda la Borgoña, Flandes y Brabante, sin contar otros reinos y tierras que hace largo tiempo se tiene el propósito de invadir...

El rey recibe consejos de invasiones, de posibles aliados temporales, de movimientos bélicos.

... Y ahora digo yo: ante tan graves e importantes negocios, ante tantos nobles y prudentes varones que solamente aconsejan al rey que hablen las armas, o sea la guerra, ¿qué sucedería si mi humilde persona se levantase y les aconsejase que cambiasen de rumbo? Yo les diría: dejad tranquila a Italia y quedaos en casa; el reino de Francia es tan grande que un solo hombre no puede gobernarlo bien, y el rey no necesita engrandecerlo más...

... Y si yo añadiese y demostrase que tales aventuras bélicas no solamente dejarían vacías las arcas del tesoro, sino que causarían muchas destrucciones y muertes y llevarían la confusión a otras naciones; si dijese que sería más conveniente para el rey contentarse con su reino de Francia, como hicieron sus antepasados antes de él, para enriquecerlo, para hacerlo florecer tanto como él pudiese, amando a sus súbditos para que éstos volviesen a amarle, viviendo con ellos, mandándolos con blandura, no apeteciendo conquistar más reinos, pues tiene bastante y aún le sobra con el que ya posee ¿creéis que sería escuchado, maese Moro?

- Me temo que no - respondí.

Hoy vivimos en otra época, donde en las naciones que conocía Moro y en las nuevas ya no hay reyes que gobiernan por sí solos. Pero igual es pertinente justificar la toma de decisiones. Los gobiernos, o las partes de los gobiernos que toman esas decisiones, deben tomarlas por las razones correctas, o por lo menos, por las que consideran públicamente como razones correctas. Es importante la transparencia de ese proceso en una democracia.

Todo esto lo relaciono, antes de olvidarme, con una cita de John Stuart Mill que encontré en una nota sobre la muerte de James Buchanan (encontrada gracias a un tweet de @carlospirovano):

el primer principio del gobierno constitucional parte del supuesto de que quien ejerza el poder político abusará de él para promover sus intereses particulares, no porque eso sea siempre así, sino porque esa es la tendencia natural de las cosas, de la cual nos protegen las instituciones libres

Son varios temas a discutir. Disculpen que salte de Platón a Moro y luego a Mill. Pero en resumen, no se puede esperar un "gobierno bueno" como algo asumido, sino que la sociedad debe estar en vigilancia y activa. Tal vez no se pueda lograr aún la participación activa de TODA la sociedad, pero hay que promoverla. Ya no somos súbditos de la voluntad de un monarca, que nos envíe a una nueva guerra cuando él lo apetezca.

Habrá que ver que instituciones libres usamos para eso. Pero necesitamos esa actividad, para que no haya reyes que tomen decisiones en una sala de palacio, aunque sea por las más "buenas razones" que tengan. Aún cuando los "intereses particulares" que menciona Mill sean los mejores intereses.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 1 de Febrero, 2013, 13:27

Acabó Enero y es tiempo de repaso del anterior post de resoluciones:

- Escribir nuevo post de funciones invariantes [completo] ver post
- Escribir post sobre historia de la física [completo] ver post
- Escribir post sobre historia de las matemáticas [completo] ver post
- Seguir estudiando geometría algebraica [completo]

Este mes de Febrero seguiré dedicado más en temas técnicos, que apareceran en mis otros blogs. En los temas no técnicos, me comprometo a:

- Escribir nuevo post de funciones invariantes
- Escribir post sobre historia de la física
- Escribir post sobre historia de las matemáticas
- Escribir post sobre un teorema de Hilbert
- Escribir post sobre la ecuación de Schrodinger (siguiendo mi serie)
- Seguir estudiando geometría algebraica

Es un poco ambiciosa la lista (hay posts que me insumirán tiempo), pero espero poder organizarme para cumplir.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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