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Veamos algo simple de las funciones invariantes. Primero, una función no es invariante a secas, sino que es invariante o no ante una transformación de sus variables.

Sea una función de dos variables:

Llamemos con una letra en negrita a una transformación. Una transformación t se puede ver como un par de funciones:

Dada una transformación, puede que tenga o no una transformación inversa:

Por ejemplo, la transformación:

Tiene inversa:

Pero la transformación:

No tiene inversa. No sabríamos como conseguir x2 en la inversa.

Entonces, dada una función f de dos variables ¿Cuáles son las transformaciones que la dejan invariante? Pues bien, es un conjunto no vacío, pues siempre tenemos la transformación idéntica e:

Si una transformación t deja invariante a f, también lo deja invariante su transformación inversa t'.
Si componemos dos transformaciones t, s que dejan invariante a f, tenemos simbólicamente:

t(f) = f
s(f) = f
s(t(f)) = f

Es decir, su composición deja invariante a f (en realidad, tendría que hacer el desarrollo completo, pero la idea es la de arriba).

La asociatividad de composición de transformaciones se cumple, por ser composición de funciones.

Entonces queda:

 Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman estructura de grupo

Ver Grupos: Definición y Ejemplo

Como otras veces, encontramos grupos en todas las partes de las matemáticas.

Tomemos un ejemplo rápido. Sea la función f:

Si la aplicamos en el plano, representa la distancia de un punto al origen. Las transformaciones que dejan invariante a f, son: reflexiones por líneas que pasan por el origen, reflexión ante el punto origen, y rotaciones alrededor del origen.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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