Publicado el 10 de Febrero, 2013, 18:20
Veamos algo simple de las funciones invariantes. Primero, una función no es invariante a secas, sino que es invariante o no ante una transformación de sus variables. Sea una función de dos variables:
Llamemos con una letra en negrita a una transformación. Una transformación t se puede ver como un par de funciones:
Dada una transformación, puede que tenga o no una transformación inversa:
Por ejemplo, la transformación:
Tiene inversa:
Pero la transformación:
No tiene inversa. No sabríamos como conseguir x2 en la inversa. Entonces, dada una función f de dos variables ¿Cuáles son las transformaciones que la dejan invariante? Pues bien, es un conjunto no vacío, pues siempre tenemos la transformación idéntica e:
Si una transformación t deja invariante a f, también lo deja invariante su transformación inversa t'. t(f) = f Es decir, su composición deja invariante a f (en realidad, tendría que hacer el desarrollo completo, pero la idea es la de arriba). La asociatividad de composición de transformaciones se cumple, por ser composición de funciones. Entonces queda: Las transformaciones invertibles que dejan invariante a f forman estructura de grupo Ver Grupos: Definición y Ejemplo Como otras veces, encontramos grupos en todas las partes de las matemáticas. Tomemos un ejemplo rápido. Sea la función f:
Si la aplicamos en el plano, representa la distancia de un punto al origen. Las transformaciones que dejan invariante a f, son: reflexiones por líneas que pasan por el origen, reflexión ante el punto origen, y rotaciones alrededor del origen. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |