Angel "Java" Lopez en Blog

Marzo del 2013


Publicado el 31 de Marzo, 2013, 11:19

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Veamos hoy el tema de funciones invariantes agregando algo de generalidad. Será una incursión a lo abstracto.

Primero, sea una función de dos variables

Las dos variables las podemos ver como componentes de un espacio vectorial de dos dimensiones, dada una base en concreto:

Entonces la función se puede escribir como una función que toma un vector y nos da un número (en general, del cuerpo conmutativo que es parte del espacio vectorial que consideramos):

Ahora bien, podemos ver las transformaciones que dejan a f invariante, como transformaciones de vectores: funciones que toman un vector de nuestro espacio vectorial y dan como respuesta otro vector:

Entonces, las transformaciones invariantes son las que hacen para todo vector v de nuestro espacio vectorial:

Vean que de esta forma nos olvidamos de las n variables iniciales. Y hasta de la base inicial que habíamos tomado. De esta manera trabaja la física: buscando funciones f que sean invariantes por transformaciones que destacan la independencia de la elección de sistemas de coordenadas en nuestros laboratorios. Una ley física, explicada con una función f, debería ser independiente de las rotaciones del espacio, inversión en el tiempo, traslaciones y reflexiones en el espacio. Luego la relatividad agregó otras transformaciones (de Lorentz) que deberían dejar invariante cualquier f que trate de expresar matemáticamente algo sobre la realidad física.

Pero pensando abstractamente perdemos la "forma" de f: expresarla en n variables concretas. Puede que haya expresiones de f en términos de vectores.

En el próximo post volveré a las n variables, y a algunas funciones invariantes que han sido importantes en el desarrollo de las matemáticas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 30 de Marzo, 2013, 16:41

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En la primera semana de 2011, pude demostrar un teorema de Hilbert, o por lo menos una versión de él. Escribí en papel la prueba, pero cuando el año pasado (2012) quise publicarla en este blog, no encontré esas notas. Así que tuve que volver a encontrar una prueba y nuevamente a escribirla. Ahora, antes que la pierda de nuevo, voy a empezar a pasarla en posts.

Es un teorema, digamos, "famoso": el teorema de base de Hilbert. Ver

Hilbert's basis theorem

In mathematics, specifically commutative algebra, Hilbert's basis theorem states that every ideal in the ring of multivariate polynomials over a Noetherian ring is finitely generated. This can be translated into algebraic geometry as follows: every algebraic setover a field can be described as the set of common roots of finitely many polynomial equations. Hilbert (1890) proved the theorem (for the special case of polynomial rings over a field) in the course of his proof of finite generation of rings of invariants.

Hilbert produced an innovative proof by contradiction using mathematical induction; his method does not give an algorithm to produce the finitely many basis polynomials for a given ideal: it only shows that they must exist. One can determine basis polynomials using the method of Gröbner bases.


Vean que se refiere a anillos noetherianos, ver

Noetherian Ring

llamados así en honor a Emmy Noether (tengo entendido que fue el grupo Bourbaki el que comenzó a llamarlos así) probablemente la mejor matemática mujer de la historia.  El teorema de Hilbert me lo encontré en dos fuentes mías que consulto cada año: la Introducción al Algebra Conmutativa, de M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, y Curvas Algebraicas, de William Fulton. En el primero, en el capítulo seis, se demuestra la equivalencia de las tres condiciones que siguen. Sea A un anillo, entonces son equivalentes

- Cada conjunto no vacío de ideales de A tiene un elemento maximal
- Cada cadena ascendente de ideales en A es estacionaria
- Cada ideal en A es de generación finita

Para lo que voy a exponer, me basta la tercera condición. Vamos a llamar noetherianos a los que cumplen con cualquiera de estas condiciones equivalentes, pero voy a usar en especial la tercera.

Recordemos hoy qué es anillo:

Anillos

Un anillo que traté es el K[x]

El anillo K[x]

el anillos de los polinomios formales en una indeterminada x, con coeficientes en un cuerpo K. Si sustituímos el cuerpo K por un anillo R, tenemos el anillo de polinomios sobre R que se denota por R[x]. Recordemos que tanto el cuerpo K como el anillo R puede ser o no conmutativo. Un ejemplo de R[x] es Z[x], donde los polinomios tienen coeficientes enteros. Es fácil ver que sigue siendo un anillo, con ejemplos





Es claro que R "está incluido" en R[x]: basta tomar los polinomios compuestos sólo de elementos de R, sin x.

También traté el tema de lo que es un ideal, en

Ideales en Anillos

Podemos verlos como "subanillos sin unidad". El conjunto de los números pares debe ser el ejemplo más conocido de anillo en Z. Fueron creados y bautizados así por Dedekind, en honor a los números ideales de Kummer. Pero los anillos son clases de números, más que números. Pero dado un ideal I, su anillo  cociente R/I hace las veces de conjunto de números. Por ejemplo, dado el ideal de los números pares P en Z, Z/P tiene dos clases: la de los pares P y la de los impares I, y las operaciones originales de suma y multiplicación se pueden mantener entre ellas. Ver

Pares e Impares

Bien, luego de estos prolegómenos, llego al enunciado del teorema de Hilbert. El no lo enunció de esta manera, pues el concepto de anillo noetheriano todavía no había sido establecido. El teorema dice:

Si R es noetheriano entonces R[x] es noetheriano

Podría considerar a R no conmutativo, entonces habría que considerar si R es noetheriano a izquierda o a derecha. Hay anillos conmutativos noetherianos que lo son a la izquierda pero no a la derecha.

La condición que voy a tomar como propiedad de los anillos noetherianos es la que puse como tercera: todo ideal de R (noetheriano) es de generación finita. Es decir, todos sus elementos, aunque sean infinitos, pueden expresarse como la suma

De n elementos generadores bi, y coeficientes arbitrarios ai en R. Entonces, lo que dice el teorema, es que si todo ideal de R es de generación finita, todo ideal de polinomios en R también es de generación finita. Si dado un ideal en R[x] puedo demostrar que un conjunto generador finito, se habrá demostrado el teorema

Vean que si el teorema es verdadero, tiene un corolario inmediato: R[x1,x2,…,xn], el anillo de polinomios en n indeterminadas, es noetheriano. Pues R[x1,x2…xn-1] es un anillo R" y R[x1,x2,…,xn] es igual (isomorfo) a R"[xn].

Bien, suficiente por hoy. En el próximo post comenzaré con la prueba.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Marzo, 2013, 14:26

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Marshall Harvey Stone
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Stone.html

Mathematical games and recreations
 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Mathematical_games.html
 
Una demostración de Milnor del teorema de la bola peluda
http://gaussianos.com/una-demostracion-de-milnor-del-teorema-de-la-bola-peluda/

Fractals with Chi Mai (Ennio Morricone)
http://www.youtube.com/watch?v=jbdPUiih020

a context of Gromov's program
http://ideafoundlings.blogspot.com.ar/2010/01/context-of-gromovs-program.html

Diez habitaciones para 20 aventureros
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Formalism in the Philosophy of Mathematics
http://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/

Constructive Mathematics
 http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/
 
Ulam spiral
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Naturalism in the Philosophy of Mathematics
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Philosophy of Mathematics
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Wittgenstein's Philosophy of Mathematics
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Ordenada al origen
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Thomas Hobbes
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Ensayo sobre la relación de las matemáticas y la realidad
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Pitágoras y los llamados pitagóricos.
http://www.filosofia.tk/soloapuntes/primero/hfgr/t3aca.htm

Las Investigaciones sobre Didáctica de la Matemática. Contexto Científico y Social
http://www.monografias.com/trabajos19/didactica-de-matematica/didactica-de-matematica.shtml

 Tres razones para estudiar matemáticas
 http://www.oei.es/oim/xviiioimperezgomez.htm

Grandes Matemáticos
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John Napier
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Napier.html

A brief history of Mathematics
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Turing: El legado de un científico visionario
http://sociedad.elpais.com/sociedad/2012/03/20/actualidad/1332271841_073504.html

William Kingdon Clifford
http://en.wikipedia.org/wiki/William_Kingdon_Clifford

Tullio Levi-Civita
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Levi-Civita.html

The Mighty Mathematician You"ve Never Heard Of
http://www.nytimes.com/2012/03/27/science/emmy-noether-the-most-significant-mathematician-youve-never-heard-of.html?_r=2&

pi Approximation Computer Simulation - Euler's Infinite Series
http://www.tinafad.com/pi3.php

The world of pi
http://www.pi314.net/eng/euler.php

An infinite series of surprises
http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises

Euler"s very beautiful proof that there are infinitely many prime numbers
http://www.mathcelebration.com/PDF/InfPrimesScreen.pdf

What's pi got to do with it?
http://travels.aperiodical.com/2009/04/whats-pi-got-to-do-with-it.html

Paul Erdős
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Erdos.html

Karl Pearson
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"Nadie escapa a la fascinación de las matemáticas"
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Christopher Clavius
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Harold Calvin Marston Morse
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Morse.html

The Spanish link in cracking the Enigma code
http://www.bbc.co.uk/news/magazine-17486464

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Publicado el 28 de Marzo, 2013, 11:20

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Saben que las matemáticas y su historia son mis temas preferidos. Ya comencé a compartir enlaces de Gauss y de Fermat. Hoy toca la primera entrega sobre Euler, alguien ineludible para quien se encuentra con el conocimiento matemático:

http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

Leonhard Euler (German pronunciation: [ˈɔʏlɐ], About this sound Swiss German pronunciation, About this sound Standard German pronunciation, English approximation, "Oiler";[1] 15 April 1707 – 18 September 1783) was a pioneering Swiss mathematician and physicist. He made important discoveries in fields as diverse as infinitesimal calculus and graph theory. He also introduced much of the modern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis, such as the notion of a mathematical function.[2] He is also renowned for his work in mechanics, fluid dynamics, optics, and astronomy. Euler spent most of his adult life in St. Petersburg, Russia, and in Berlin, Prussia. He is considered to be the preeminent mathematician of the 18th century, and one of the greatest mathematicians to have ever lived. He is also one of the most prolific mathematicians ever; his collected works fill 60–80 quarto volumes.[3] A statement attributed to Pierre-Simon Laplace expresses Euler's influence on mathematics: "Read Euler, read Euler, he is the master of us all."[4]

Euler's four-square identity - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity

How Euler Did It 26 factors of forms.pdf (application/pdf Object)
http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2026%20factors%20of%20forms.pdf

Euler's factorization method - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_factorization_method
 
Quadratic reciprocity - Wikipedia, the free encyclopedia
 http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity

God Plays Dice: Who gets credit for quadratic reciprocity?
http://godplaysdice.blogspot.com/2007/08/who-gets-credit-for-quadratic_04.html

MathHistory2.pdf (application/pdf Object)
http://www.duke.edu/~hdp2/MathHistory2.pdf

Odds and ends: the genius of Euler, Bulgarian solitaire, and mathematical surprises « Division by Zero
http://divisbyzero.com/2010/11/07/odds-and-ends-the-genius-of-euler-bulgarian-solitaire-and-mathematical-surprises/

Zeta Functions: Dedekind Versus Hasse-Weil | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/07/zeta_functions_dedekind_versus.html

Historias de matemáticos - Monografias.com
http://www.monografias.com/trabajos55/historias-de-matematicos/historias-de-matematicos4.shtml

Euler's Totient Function
http://uva.onlinejudge.org/external/110/11073.html

Grytczuk, Wójtowicz: On a Lehmer problem concerning Euler's totient function
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1116443716

Totient Function -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

Euler's Totient Theorem -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html

On Euler Totient Function
http://www.ams.org/journals/bull/1932-38-10/S0002-9904-1932-05521-5/S0002-9904-1932-05521-5.pdf

Euler's totient function - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

Concise python code | /var/log/mind
http://blog.dhananjaynene.com/2010/01/concise-python-code/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/euler

Ya aparecieron algunas ideas de Euler en los posts:

La función indicatriz de Euler
Demostración del teorema Euler-Fermat
Euler contra el irrealismo

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Marzo, 2013, 6:03

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Ya sabemos qué es un espacio topológico <X,T>, y entonces, lo que es un conjunto abierto. También tratamos qué es un entorno de un punto a: un subconjunto de X, conteniendo al punto a, que contiene AL MENOS UN conjunto abierto que contiene al punto a. Eso nos permitió formalizar el concepto intuitivo de entorno de un punto.

Veamos un conjunto A, subconjunto de X (siempre consideramos a X como el conjunto universal, pero vale la pena no olvidarlo). Dado un punto cualquiera, pueden darse dos casos:

- Está en A
- No está en A

Pero consideremos entornos de un punto. ¿Que relación puede haber con el conjunto A? Bien, veamos:

Puede darse:

- Existe entorno del punto totalmente contenido en A, ejemplo: el punto a.
- Exite entorno del punto totalmente externo a A, ejemplo: el punto c.

y notablemente hay un tercer caso:

- Todos los entornos del punto tienen puntos en A y fuera de A.

Intuitivamente, vemos que en este caso, el punto está en el borde de A. Claro, no tenemos una definición formal de borde: un tema que no es fácil. Vamos a llegar al concepto de frontera (así se llama a nuestro borde en topología general) justamente definiéndolo en base a entornos de sus puntos. Pero por ahora, nos basta ver que hay puntos "internos" a A, "externos" a A, y "justo en el borde, en la frontera de A".

Hay un caso que no quisiéramos considerar como punto en la frontera. Sea el conjunto B, igual al conjunto B pero sumándole un punto aislado, externo, d:

Es decir, B es todo "lo amarillo" MAS el punto d. Entonces, vemos que, en las topologías usuales, todos los entornos del punto d, notablemente tienen: puntos FUERA de A, y puntos DENTRO de A:

¿cuáles son los "dentro de A"? El propio punto d!

Este caso, el del punto aislado, no es muy interesante. Quisiéramos caracterizar a todos los puntos donde TODOS sus entornos tienen puntos en A, pero sin incluir a los puntos aislados. Surgió, en la historia de la topología, el concepto fructífero de punto de acumulación:

El punto a es de acumulación del conjunto A, si todo conjunto Ent(a) - {a} (es decir, todo conjunto que es entorno de a, quitándole el propio punto a) tiene puntos en A.

Vean que no hace falta que haya en cada entorno de a un punto que no esté en A. Entonces, los puntos "internos" también son de acumulación. Y los puntos "frontera" también. Es como que podemos decir que un punto de acumulación no se puede "despegar" del conjunto A: cada uno de sus entornos participa (tiene puntos en común) con ese conjunto. Y hasta puede pasar que un punto sea de punto de acumulación de un conjunto SIN PERTENECER a ese conjunto. Esto se debe a que ya no estamos tratando pertenencia de un punto a un conjunto. Sino que estamos manejando TODOS los entornos de un punto. Estamos tratando propiedades topológicas.

Este concepto, algo raro por tener eso de quitar el propio punto a del entorno en consideración, lo vamos a usar mucho. Veremos por qué se llama de acumulación, cuando aparezca alguna serie de puntos. Por ahora, basta haberlo introducido.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Marzo, 2013, 15:21

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Sigo con este tema, tan amplio y fascinante:

Covariant and contravariant — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/28/covariant-and-contravariant/

Experience with a Free Electronic Journal: Theory and Applications of Categories
http://www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf

Introduction to Category Theory
http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Where Do Monads Come From? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/where_do_monads_come_from.html

Haskell for all: The functor design pattern
http://www.haskellforall.com/2012/09/the-functor-design-pattern.html

On editing text « Bosker Blog
http://bosker.wordpress.com/2012/05/10/on-editing-text/

The Ax-Grothendieck Theorem According to Category Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/the_axgrothendieck_theorem_acc.html

Notions of computation and monads
http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf

The (∞,1)-Category of (∞,n)-Categories | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/the_1category_of_ncategories.html

Homotopies as Morphisms « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2011/11/29/homotopies-as-morphisms/

Productive Homotopy Pullbacks | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/productive_homotopy_pullbacks.html

Discreteness, Concreteness, Fibrations, and Scones | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/discreteness_concreteness_fibr.html

Most striking applications of category theory? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/19325/most-striking-applications-of-category-theory

Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/categorytheory

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Marzo, 2013, 10:06

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Pensé que ya había publicado algo sobre el tema, pero nones. Otro más de los temas que estudio, pero que debo profundizar. También tiene alguna relación con mi actividad profesional de desarrollo de software. Les debo una serie de posts. Al menos, sea hoy esta primera tanda de enlaces y recursos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory

Category theory is used to formalize mathematics and its concepts as a collection of objectsand arrows (also called morphisms). Category theory can be used to formalize concepts of other high-level abstractions such as set theory, field theory, and group theory. Several terms used in category theory, including the term "morphism", differ from their uses within mathematics itself. In category theory, a "morphism" obeys a set of conditions specific to category theory itself. Thus, care must be taken to understand the context in which statements are made.

Stanford Encyclopedia of Philosophy: Category Theory
http://stanford.library.usyd.edu.au/archives/fall1997/entries/category-theory/

Category Theory for Beginners*
http://www.cs.toronto.edu/~sme/presentations/cat101.pdf

YouTube - TheCatsters's Channel
http://www.delicious.com/ajlopez/categorytheory?page=3

Crash Course in Monads
http://patryshev.com/monad/crashcourse.pdf

Monad (category theory) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(category_theory)

Learning Haskell through Category Theory, and Adventuring in Category Land: Like Flatterland, Only About Categories
http://dekudekuplex.wordpress.com/2009/01/16/learning-haskell-through-category-theory-and-adventuring-in-category-land-like-flatterland-only-about-categories/

What is a monad, why should I use it, and when is it appropriate? | Lambda the Ultimate
http://lambda-the-ultimate.org/node/1276

Topoi, the categorial analysis of logic
http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&seq=2&frames=0&view=50

Catamorphism - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Catamorphism

Understanding category theory and its practical applications | Lambda the Ultimate
http://lambda-the-ultimate.org/node/2604

Practical Foundations of Mathematics
http://www.cs.man.ac.uk/~pt/Practical-Foundations/html/index.html

Homotopy Theory of Homotopy Theories
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1108/1108.2001v1.pdf

Really simple anamorphisms in Ruby
http://weblog.raganwald.com/2007/11/really-simple-anamorphisms-in-ruby.html

A Categorified Supergroup for String Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/a_categorified_supergroup_for.html

Category Theory and Metaphysics | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/category_theory_and_metaphysic.html

Category Theory for Computing Science
http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/ctcs.html

Categories Home Page
http://www.mta.ca/~cat-dist/

Categories List
http://www.mta.ca/~cat-dist/

CATEGORY THEORY AT MCGILL
http://www.math.mcgill.ca/bunge/ctatmcgill.html

Paul Taylor - Foundations of Mathematics and Computation
http://www.paultaylor.eu/

A Gentle Introduction to Category Theory - the calculational approach
http://wwwhome.cs.utwente.nl/~fokkinga/mmf92b.html

Categorical Myths and Legends
http://www.cs.le.ac.uk/people/ah83/cat-myths/

TOPCOM,Samuel Eilenberg by Saunders Mac Lane
http://at.yorku.ca/t/o/p/c/52.htm

Quantum Quandaries: A Category-Theoretic Perspective
http://math.ucr.edu/home/baez/quantum/

Categories, Quantization, and Much More
http://math.ucr.edu/home/baez/categories.html

On Algebraic Structures Implicit in Topological Quantum Field Theories
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9412025

Higher-dimensional Algebra and Topological Quantum Field Theory
http://arxiv.org/abs/q-alg/9503002

Covariance and contravariance of vectors
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors
http://en.wikipedia.org/wiki/Contravariant_functor#Covariance_and_contravariance

An Invitation to Higher Gauge Theory
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/an_invitation_to_higher_gauge_1.html

F and the Shibboleth
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/01/f_and_the_shibboleth.html

Algebras of Sets
http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/15/algebras-of-sets/

The Philosophy of the Logic of Sheaves
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/09/the_philosophy_of_the_logic_of.html

Mis enlaces
http://www.delicious.com/ajlopez/categorytheory

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Marzo, 2013, 13:40

En estos días, estoy volviendo a trabajar y estudiar teoría de números, de ahí mis recientes posts sobre Fermat. Es inevitable encontrarse con Gauss. Tengo que seguir con mi serie sobre su vida y obra. Vaya hoy una colección de enlaces que me interesaron:

http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (pron.: /ɡs/; German: Gauß, pronounced [ɡaʊs] ( listen); Latin: Carolus Fridericus Gauss) (30 April 1777 – 23 February 1855) was a German mathematician and physical scientist who contributed significantly to many fields, including number theory, algebra, statistics, analysis, differential geometry, geodesy, geophysics, electrostatics, astronomy and optics.

Sometimes referred to as the Princeps mathematicorum[1] (Latin, "the Prince of Mathematicians" or "the foremost of mathematicians") and "greatest mathematician since antiquity", Gauss had a remarkable influence in many fields of mathematics and science and is ranked as one of history's most influential mathematicians.[2] He referred to mathematics as "the queen of sciences".[3]


Hitchhiker's Guide to Magnetism
http://www.irm.umn.edu/hg2m/hg2m_a/hg2m_a.html

Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote
http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html
 
Gaussian elimination
http://www.math-linux.com/spip.php?article53

Modular Arithmetic
http://www.cut-the-knot.org/blue/Modulo.shtml

Gauss" Theorem Egregium, Gauss-Bonnet etc.
http://www2.imperial.ac.uk/~skdona/lecturenotes/GAUSS.PDF

History surrounding Gauss Theorema Egregium and differential geometry
http://mathoverflow.net/questions/94682/history-surrounding-gauss-theorema-egregium-and-differential-geometry

General Investigations OF Curved Surfaces OF 1827 and 1825
http://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf

Gauss y el Algebra de su Tiempo
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_05.pdf

Generalizing Gauss"s Gem
http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf

Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/02/gauss-periods-of-cyclotomic-equations.html

GAUSS and the cyclotomic equation
http://www.henrikkragh.dk/hom/episoder/lecturenotes/GaussCyclotomy200102a.pdf
 
Carl Friedrich Gauss: el príncipe de las matemáticas
http://gaussianos.com/carl-friedrich-gauss-el-principe-de-las-matematicas/

Spaces and questions
http://www.ihes.fr/~gromov/topics/SpacesandQuestions.pdf

Gauss" Law
http://unapologetic.wordpress.com/2012/01/11/gauss-law/

Gauss" Law for Magnetism
http://unapologetic.wordpress.com/2012/01/12/gauss-law-for-magnetism/

Cyclotomic polynomial
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial

Sum of Squares Function
http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Gauss Facts
http://www.gaussfacts.com/

Quadratic reciprocity
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity

Who gets credit for quadratic reciprocity?
http://godplaysdice.blogspot.com.ar/2007/08/who-gets-credit-for-quadratic_04.html

The Historical Development of the Law of Quadratic Reciprocity
http://www.duke.edu/~hdp2/MathHistory2.pdf

Un genio superior
http://gaussianos.com/un-genio-superior/

Historias de Matemáticos
http://www.monografias.com/trabajos55/historias-de-matematicos/historias-de-matematicos4.shtml

Mis enlaces
http://delicious.com/ajlopez/gauss

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Marzo, 2013, 11:21

Sigo con el tema de ayer, esta vez con enlaces sobre Fermat, principalmente su trabajo y derivaciones en teoría de números. Tendría que investigar otros temas tratados por Fermat, como la probabilidad y combinatoria, su principio de Fermat (que me llevaría al cálculo variacional), cálculo

http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

Pierre de Fermat (French: [pjɛːʁ dəfɛʁma]; 17[1] August 1601 or 1607/8[2] – 12 January 1665) was a French lawyer at the Parlement of Toulouse, France, and an amateur mathematician who is given credit for early developments that led to infinitesimal calculus, including his technique of adequality. In particular, he is recognized for his discovery of an original method of finding the greatest and the smallest ordinates of curved lines, which is analogous to that of the differential calculus, then unknown, and his research into number theory. He made notable contributions to analytic geometry, probability, and optics. He is best known for Fermat's Last Theorem, which he described in a note at the margin of a copy of Diophantus' Arithmetica.

Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/02/gauss-periods-of-cyclotomic-equations.html

Cyclotomic field - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field

Proof by infinite descent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_descent

Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Fermat's Last Th, n=3 -- Euler's (wrong) proof of Fermat's Last Theorem for n=3
http://2000clicks.com/mathhelp/NumberFermatsLastThCubesEuler.aspx

Caso particular del UTF | Gaussianos
http://gaussianos.com/caso-particular-del-utf/

Una posible demostración maravillosa del UTF | Gaussianos
 http://gaussianos.com/una-posible-demostracion-maravillosa-del-utf/
 
¿Nueva prueba del Último Teorema de Fermat? « La aventura de las matemáticas
http://laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es/2011/05/05/%C2%BFnueva-prueba-del-ultimo-teorema-de-fermat/

[1105.0669] Fermat's Last Theorem - Is this the marvelous proof ?
http://arxiv.org/abs/1105.0669

E241 -- Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E241.html

E98 -- Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E098.html

Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

Beal's conjecture
http://www.bealconjecture.com/

God Plays Dice: Who gets credit for quadratic reciprocity?
http://godplaysdice.blogspot.com/2007/08/who-gets-credit-for-quadratic_04.html

MathHistory2.pdf (application/pdf Object)
http://www.duke.edu/~hdp2/MathHistory2.pdf

El problema matemático más difícil de la historia
 http://www.lapatilla.com/2011/02/13/el-problema-matematico-mas-dificil-de-la-historia/
 
William A. Stein's Modular forms database
http://modular.fas.harvard.edu/Tables/

Introduction to Modular Forms
http://www.maths.bris.ac.uk/~maljpk/introtomodularforms.shtml

Fermat's Enigma
http://www2.hmc.edu/www_common/hmnj/becker.pdf 
by Simon Singh
Review by Matthew Becker

El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático - Librería Virtual del Fondo de Cultura Económica
http://www.libreriasdelfondo.com/LF_Detalle.asp?ctit=008186R

Fermat Corner
http://www.simonsingh.net/Fermat_Corner.html

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Publicado el 12 de Marzo, 2013, 12:01

En mi primera semana sabática de 2011 estuve trabajando en algunos temas matemáticos (ver Cinco al hilo). En realidad demostré cuatro proposiciones, y fallé en encontrar una demostración para el clásico último teorema de Fermat, para n = 3. Una de los teoremas que demostré (todos los primos de la forma 4n+1 se pueden expresar como suma de dos cuatrados) me llevó unos días, en el último paso, donde creo recordar que apliqué el descenso infinito (ver Proof by infinite descent, Fermat's Infinite Descent) . La demostración de Gauss de Fermat n=3 también emplea el mismo método, y aún hoy no encontré el camino para ese último paso que me falta.

En estos días me encuentro con un texto de Fermat, donde comenta su método:

"Since the ordinary methods which are in books were insufficient to prove such difficult propositions, I finally discovered an altogether singular method to succeed. I called this method of proof indefinite or infinite descent: at first I used it only to prove negative propositions, such as for example:

That there is no number, less by a unit than a multiple of 3, which is composed of a square and the triple of another square;

That there is no right triangle in numbers whose area is a square number. The proof is done by reduction to the absurd in this manner:

If there were a right triangle with integral sides whose area was equal to a square, there would be another triangle smaller than this one which would have the same property. If there was a second, smaller than the first, with the same property, then by the same reasoning, there would be a third, smaller than the second, which would have the same property, and then a fourth, a fifth, and so on descending to infinity. However, given a number, there is no way to descend from it infinitely (here I only speak of integers). Hence we conclude that it is impossible to have a right triangle whose area is a square.

We infer from this that neither is it possible to have a triangle whose sides have fractional (rather than integral) lengths and whose area is a square. Because if we had such a triangle with fractional sides, then we could construct one with integral sides, which is in contradiction with what we proved above.

Vean que Fermat no explica en detalle el paso de descenso infinito:

I do not add the reason for which I infer that if there were a right triangle of this nature, there would be another of the same nature smaller than the first, because the discourse would be too long and therein lies the whole mystery of my method. I would be greatly satisfied if Pascal and Roberval and many other scholars sought it upon my indications.

Pero agrega otro ejemplo, relacionado con uno de los teoremas que mencioné antes:

I remained for a long time unable to apply my method to positive assertions, because the proper angle to approach such questions is much more uncomfortable than the one which I use for negative assertions. Thus, when I needed to show that every prime number which surpasses a multiple of 4 by a unit is composed of two squares, I found myself in a quandary. But finally, much-renewed meditation provided the light which I lacked, and positive assertions became solvable by my method, with the help of some new principles which necessity forced me to add to it. This progress in my reasoning on such positive assertions runs as follows: if a prime number chosen at will, which surpasses a multiple of 4 by a unit, is not composed of two squares, there will be a prime number of the same nature, less than the given one, and then a third still less, etc., descending to infinity until one arrives at the number 5, which is the least of all primes of this nature, which shows that it cannot be composed of two squares, which yet it is. Hence we infer, by deducing the impossible, that all primes of this nature are, consequently, composed of two squares".

Tendría que escribir un post sobre la prueba por descenso infinito de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Así como de todos los primos 4n+1 como suma de dos cuadrados. Podría agregar alguna demostración usando ese método de la no existencia de triángulos rectángulos con lados enteros y superficie cuadrado perfecto.

El texto de arriba lo encontré en el mismo libro que me sirvió en el post de ayer sobre Pascal y el avance de la ciencia: el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 11 de Marzo, 2013, 13:20

Ayer me encuentro con este texto de Pascal, que quiero compartir:

"... From this, we see that by a particular prerogative, not only does each man advance day by day in the sciences, but all men together make continual progress as the universe ages, because the same thing happens in the aging of mankind as a whole as happens during the aging of a single man. Thus, the entire body of mankind, over many centuries, must be considered as a single man, who lives forever and continues to learn [...]. Those whom we call the ancients were truly new in all things, and form the childhood of mankind; as we have added to their knowledge the experience of the centuries which followed them, it is in ourselves that we should seek the antiquity which we dream of in others.''

Está en su prefacio al Tratado del Vacío. Eso es lo que tiene la ciencia humana, el progreso acumulativo, y desde hace unos siglos, la colaboración que se extiende en siglos para resolver un problema. Como el caso del propio vacío, tema del libro. Se lo niega desde Aristóteles a Descartes, y luego Pascal y cía (Torricelli, por ejemplo), poniéndolo como existente.

Hubo un tiempo donde el avance de la ciencia (o proto-ciencia) fue lento. Pero hace unos pocos siglos, se mejoró la comunicación de los descubrimientos y fue más fácil usar el progreso de otros para avanzar en un tema. Hoy las comunicaciones son aún mejor, y tenemos hasta difusión en línea de lo que se va descubriendo y proponiendo.

Otro ejemplo, además de la ciencia, es la historia de las matemáticas. Encuentro este texto citado en "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch. El libro trata el largo camino a la solución del famoso último teorema de Fermat. Ese camino debe considerarse como la construcción de una hermosa catedral del conocimiento humano. El autor mismo colaboró en parte de ese camino. Viendo hacia atrás, Fermat y Pascal son ahora los hombres que eran "new in all things".

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Marzo, 2013, 13:33

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Si, ya saben, me gustan las matemáticas. Topología es un tema amplio, conteniendo tanto abstracción como aplicaciones (notablemente, en la física moderna). Más enlaces del tema

What does symplecticity imply?
http://physics.stackexchange.com/questions/32738/what-does-symplecticity-imply

Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4)
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/

Mathematically Correct Breakfast
http://www.youtube.com/watch?v=dN8AwGUaqDA&feature=youtu.be
How to slice a bagel into two congruent, linked halves.
 
Thom spaces
http://blog.konradvoelkel.de/2012/06/thom-spaces/

SnapPy
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/
SnapPy is a program for studying the topology and geometry of 3-manifolds, with a focus on hyperbolic structures.

Are there examples of non-orientable manifolds in nature?
http://mathoverflow.net/questions/45832/are-there-examples-of-non-orientable-manifolds-in-nature

Unknotting knot theory
http://www.sciencenews.org/view/generic/id/38237/title/Unknotting_knot_theory

Spaces and questions
http://www.ihes.fr/~gromov/topics/SpacesandQuestions.pdf

Una demostración de Milnor del teorema de la bola peluda
http://gaussianos.com/una-demostracion-de-milnor-del-teorema-de-la-bola-peluda/
El maravilloso teorema de la Bola Peluda, es un resultado que se suele ilustrar diciendo que es imposible peinar una bola que esté completamente cubierta de pelo.

Lebesgue number lemma and a corollary
http://mathblather.blogspot.com.ar/2011/07/lebesgue-number-lemma-and-corollary.html
In Topology (second edition) by James R. Munkres, we have on pp175-6 a somewhat lengthy proof for the Lebesgue number lemma. Here I provide a quicker and more natural approach.

Harold Calvin Marston Morse
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Morse.html

Functional analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_analysis
Functional analysis is a branch of mathematical analysis, the core of which is formed by the study of vector spaces endowed with some kind of limit-related structure (e.g. inner product, norm, topology, etc.) and the linear operators acting upon these spaces and respecting these structures in a suitable sense.

EULER Y EL UNIVERSO MATEMATICO 2/3
http://www.youtube.com/watch?v=BJYit2ta8lM&feature=related
 
BARCODES: THE PERSISTENT TOPOLOGY OF DATA
http://www.math.upenn.edu/~ghrist/preprints/barcodes.pdf
 
Topología del universo (póster premiado por Science)
http://amazings.es/2012/02/12/topologia-del-universo-poster-premiado-por-science/

Henri Poincaré
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/

Graph theory and network science
http://thinkaurelius.com/2012/01/10/graph-theory-and-network-science/

Generalizations of open books
http://ldtopology.wordpress.com/2012/08/15/generalizations-of-open-books/

A counterexample to the Hirsch conjecture
http://arxiv.org/abs/1006.2814

Knot Theory for Young Kids
http://www.moebiusnoodles.com/2012/08/knot-theory-for-young-kids/
 
High-dimensional knot theory
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/books/knot.pdf

El Omegón y todo eso... (Parte 19)
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2011/12/el-omegon-y-todo-eso-parte-19.html

El teorema clausura-complemento de Kuratowski
http://gaussianos.com/el-teorema-clausura-complemento-de-kuratowski

A Family of Nontrivial Homology Classes (part 3)
http://unapologetic.wordpress.com/2011/12/27/a-family-of-nontrivial-homology-classes-part-3/

The "Hairy Ball Theorem"
http://unapologetic.wordpress.com/2011/12/13/the-hairy-ball-theorem/
 
Poincaré conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

Vicente Muñoz nos habla de Geometría y Topología con Planito y la forma del Universo
http://gaussianos.com/vicente-munoz-nos-habla-de-geometria-y-topologia-con-planito-y-la-forma-del-universo/

Topology by Sidney Morris
http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topology.htm
 
Mind the map
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La historia del mapa del metro de Londres
 
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Publicado el 2 de Marzo, 2013, 10:10

Llegó nuevo mes y tiempo de escribir las resoluciones para Marzo. Pero antes, una revisión de las de Febrero:

- Escribir nuevo post de funciones invariantes [completo] ver post
- Escribir post sobre historia de la física [completo] ver post
- Escribir post sobre historia de las matemáticas [completo] ver post
- Escribir post sobre un teorema de Hilbert [pendiente]
- Escribir post sobre la ecuación de Schrodinger (siguiendo mi serie) [pendiente]
- Seguir estudiando geometría algebraica [completo]

También estuve estudiando algo de topología, y algo relativamente nuevo para mí: combinatoria (de ahí el tema del post de historia de las matemáticas de arriba). Me quedaron pendiendos dos posts que necesitan bastante trabajo en la escritura de las fórmulas. Así que este mes me dedicaré a uno de ellos, solamente.

Mis resoluciones para Marzo:

- Escribir nuevo post de funciones invariantes
- Escribir post sobre historia de las matemáticas
- Escribir post sobre un teorema de Hilbert
- Escribir post sobre espacios vectoriales
- Escribir post sobre topología (siguiendo mi serie)
- Estudiar espacios vectoriales

Sigo trabajando bastante en mis resoluciones técnicas, que publicaré en mis blogs de programación.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Marzo, 2013, 14:05

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Más sobre este fascinante tema. Vean lo de la conjetura ABC, que ya apareció en el anterior post.

48th Known Mersenne Prime Discovered
http://www.mersenne.org/various/57885161.htm

TracyHarms/SmallThings - J Wiki
http://www.jsoftware.com/jwiki/TracyHarms/SmallThings

Sorpresa sumando potencias de 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/sorpresa-sumando-potencias-de-2/

ABC Conjecture | Ars Mathematica
http://www.arsmathematica.net/archives/2012/10/08/abc-conjecture/
 
Algebraic Number Theory J.S.Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf

Decomposing the Ulam spiral « LShift Ltd.
http://www.lshift.net/blog/2012/09/27/decomposing-the-ulam-spiral

Modular Arithmetic
http://www.cut-the-knot.org/blue/Modulo.shtml

Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/02/gauss-periods-of-cyclotomic-equations.html
 
The Aperiodical | Relatively Prime, All in a Name
http://aperiodical.com/2012/09/relatively-prime/

Riemann Hypothesis in a Nutshell
http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html
 
The Prime Pages (prime number research, records and resources)
http://primes.utm.edu/index.html

The Riemann Hypothesis
http://primes.utm.edu/notes/rh.html

Cyclotomic field - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field

Proof by infinite descent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_descent

Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Regular prime - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime

Proof of the abc Conjecture? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561
 
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http://delicious.com/ajlopez/numbertheory

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