Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Marzo, 2013, 6:03

Anterior Post
Siguiente Post

Ya sabemos qué es un espacio topológico <X,T>, y entonces, lo que es un conjunto abierto. También tratamos qué es un entorno de un punto a: un subconjunto de X, conteniendo al punto a, que contiene AL MENOS UN conjunto abierto que contiene al punto a. Eso nos permitió formalizar el concepto intuitivo de entorno de un punto.

Veamos un conjunto A, subconjunto de X (siempre consideramos a X como el conjunto universal, pero vale la pena no olvidarlo). Dado un punto cualquiera, pueden darse dos casos:

- Está en A
- No está en A

Pero consideremos entornos de un punto. ¿Que relación puede haber con el conjunto A? Bien, veamos:

Puede darse:

- Existe entorno del punto totalmente contenido en A, ejemplo: el punto a.
- Exite entorno del punto totalmente externo a A, ejemplo: el punto c.

y notablemente hay un tercer caso:

- Todos los entornos del punto tienen puntos en A y fuera de A.

Intuitivamente, vemos que en este caso, el punto está en el borde de A. Claro, no tenemos una definición formal de borde: un tema que no es fácil. Vamos a llegar al concepto de frontera (así se llama a nuestro borde en topología general) justamente definiéndolo en base a entornos de sus puntos. Pero por ahora, nos basta ver que hay puntos "internos" a A, "externos" a A, y "justo en el borde, en la frontera de A".

Hay un caso que no quisiéramos considerar como punto en la frontera. Sea el conjunto B, igual al conjunto B pero sumándole un punto aislado, externo, d:

Es decir, B es todo "lo amarillo" MAS el punto d. Entonces, vemos que, en las topologías usuales, todos los entornos del punto d, notablemente tienen: puntos FUERA de A, y puntos DENTRO de A:

¿cuáles son los "dentro de A"? El propio punto d!

Este caso, el del punto aislado, no es muy interesante. Quisiéramos caracterizar a todos los puntos donde TODOS sus entornos tienen puntos en A, pero sin incluir a los puntos aislados. Surgió, en la historia de la topología, el concepto fructífero de punto de acumulación:

El punto a es de acumulación del conjunto A, si todo conjunto Ent(a) - {a} (es decir, todo conjunto que es entorno de a, quitándole el propio punto a) tiene puntos en A.

Vean que no hace falta que haya en cada entorno de a un punto que no esté en A. Entonces, los puntos "internos" también son de acumulación. Y los puntos "frontera" también. Es como que podemos decir que un punto de acumulación no se puede "despegar" del conjunto A: cada uno de sus entornos participa (tiene puntos en común) con ese conjunto. Y hasta puede pasar que un punto sea de punto de acumulación de un conjunto SIN PERTENECER a ese conjunto. Esto se debe a que ya no estamos tratando pertenencia de un punto a un conjunto. Sino que estamos manejando TODOS los entornos de un punto. Estamos tratando propiedades topológicas.

Este concepto, algo raro por tener eso de quitar el propio punto a del entorno en consideración, lo vamos a usar mucho. Veremos por qué se llama de acumulación, cuando aparezca alguna serie de puntos. Por ahora, basta haberlo introducido.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez