Angel "Java" Lopez en Blog

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En la primera semana de 2011, pude demostrar un teorema de Hilbert, o por lo menos una versión de él. Escribí en papel la prueba, pero cuando el año pasado (2012) quise publicarla en este blog, no encontré esas notas. Así que tuve que volver a encontrar una prueba y nuevamente a escribirla. Ahora, antes que la pierda de nuevo, voy a empezar a pasarla en posts.

Es un teorema, digamos, "famoso": el teorema de base de Hilbert. Ver

Hilbert's basis theorem

In mathematics, specifically commutative algebra, Hilbert's basis theorem states that every ideal in the ring of multivariate polynomials over a Noetherian ring is finitely generated. This can be translated into algebraic geometry as follows: every algebraic setover a field can be described as the set of common roots of finitely many polynomial equations. Hilbert (1890) proved the theorem (for the special case of polynomial rings over a field) in the course of his proof of finite generation of rings of invariants.

Hilbert produced an innovative proof by contradiction using mathematical induction; his method does not give an algorithm to produce the finitely many basis polynomials for a given ideal: it only shows that they must exist. One can determine basis polynomials using the method of Gröbner bases.

Vean que se refiere a anillos noetherianos, ver

Noetherian Ring

llamados así en honor a Emmy Noether (tengo entendido que fue el grupo Bourbaki el que comenzó a llamarlos así) probablemente la mejor matemática mujer de la historia.  El teorema de Hilbert me lo encontré en dos fuentes mías que consulto cada año: la Introducción al Algebra Conmutativa, de M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, y Curvas Algebraicas, de William Fulton. En el primero, en el capítulo seis, se demuestra la equivalencia de las tres condiciones que siguen. Sea A un anillo, entonces son equivalentes

- Cada conjunto no vacío de ideales de A tiene un elemento maximal
- Cada cadena ascendente de ideales en A es estacionaria
- Cada ideal en A es de generación finita

Para lo que voy a exponer, me basta la tercera condición. Vamos a llamar noetherianos a los que cumplen con cualquiera de estas condiciones equivalentes, pero voy a usar en especial la tercera.

Recordemos hoy qué es anillo:

Anillos

Un anillo que traté es el K[x]

El anillo K[x]

el anillos de los polinomios formales en una indeterminada x, con coeficientes en un cuerpo K. Si sustituímos el cuerpo K por un anillo R, tenemos el anillo de polinomios sobre R que se denota por R[x]. Recordemos que tanto el cuerpo K como el anillo R puede ser o no conmutativo. Un ejemplo de R[x] es Z[x], donde los polinomios tienen coeficientes enteros. Es fácil ver que sigue siendo un anillo, con ejemplos

Es claro que R "está incluido" en R[x]: basta tomar los polinomios compuestos sólo de elementos de R, sin x.

También traté el tema de lo que es un ideal, en

Ideales en Anillos

Podemos verlos como "subanillos sin unidad". El conjunto de los números pares debe ser el ejemplo más conocido de anillo en Z. Fueron creados y bautizados así por Dedekind, en honor a los números ideales de Kummer. Pero los anillos son clases de números, más que números. Pero dado un ideal I, su anillo  cociente R/I hace las veces de conjunto de números. Por ejemplo, dado el ideal de los números pares P en Z, Z/P tiene dos clases: la de los pares P y la de los impares I, y las operaciones originales de suma y multiplicación se pueden mantener entre ellas. Ver

Pares e Impares

Bien, luego de estos prolegómenos, llego al enunciado del teorema de Hilbert. El no lo enunció de esta manera, pues el concepto de anillo noetheriano todavía no había sido establecido. El teorema dice:

Si R es noetheriano entonces R[x] es noetheriano

Podría considerar a R no conmutativo, entonces habría que considerar si R es noetheriano a izquierda o a derecha. Hay anillos conmutativos noetherianos que lo son a la izquierda pero no a la derecha.

La condición que voy a tomar como propiedad de los anillos noetherianos es la que puse como tercera: todo ideal de R (noetheriano) es de generación finita. Es decir, todos sus elementos, aunque sean infinitos, pueden expresarse como la suma

De n elementos generadores bi, y coeficientes arbitrarios ai en R. Entonces, lo que dice el teorema, es que si todo ideal de R es de generación finita, todo ideal de polinomios en R también es de generación finita. Si dado un ideal en R[x] puedo demostrar que un conjunto generador finito, se habrá demostrado el teorema

Vean que si el teorema es verdadero, tiene un corolario inmediato: R[x1,x2,…,xn], el anillo de polinomios en n indeterminadas, es noetheriano. Pues R[x1,x2…xn-1] es un anillo R" y R[x1,x2,…,xn] es igual (isomorfo) a R"[xn].

Bien, suficiente por hoy. En el próximo post comenzaré con la prueba.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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