Publicado el 30 de Marzo, 2013, 16:41
En la primera semana de 2011, pude demostrar un teorema de Hilbert, o por lo menos una versión de él. Escribí en papel la prueba, pero cuando el año pasado (2012) quise publicarla en este blog, no encontré esas notas. Así que tuve que volver a encontrar una prueba y nuevamente a escribirla. Ahora, antes que la pierda de nuevo, voy a empezar a pasarla en posts. Es un teorema, digamos, "famoso": el teorema de base de Hilbert. Ver
llamados así en honor a Emmy Noether (tengo entendido que fue el grupo Bourbaki el que comenzó a llamarlos así) probablemente la mejor matemática mujer de la historia. El teorema de Hilbert me lo encontré en dos fuentes mías que consulto cada año: la Introducción al Algebra Conmutativa, de M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, y Curvas Algebraicas, de William Fulton. En el primero, en el capítulo seis, se demuestra la equivalencia de las tres condiciones que siguen. Sea A un anillo, entonces son equivalentes - Cada conjunto no vacío de ideales de A tiene un elemento maximal Para lo que voy a exponer, me basta la tercera condición. Vamos a llamar noetherianos a los que cumplen con cualquiera de estas condiciones equivalentes, pero voy a usar en especial la tercera. Recordemos hoy qué es anillo: Un anillo que traté es el K[x] El anillo K[x] Es claro que R "está incluido" en R[x]: basta tomar los polinomios compuestos sólo de elementos de R, sin x. También traté el tema de lo que es un ideal, en Ideales en Anillos Pares e Impares Si R es noetheriano entonces R[x] es noetheriano Podría considerar a R no conmutativo, entonces habría que considerar si R es noetheriano a izquierda o a derecha. Hay anillos conmutativos noetherianos que lo son a la izquierda pero no a la derecha. La condición que voy a tomar como propiedad de los anillos noetherianos es la que puse como tercera: todo ideal de R (noetheriano) es de generación finita. Es decir, todos sus elementos, aunque sean infinitos, pueden expresarse como la suma De n elementos generadores bi, y coeficientes arbitrarios ai en R. Entonces, lo que dice el teorema, es que si todo ideal de R es de generación finita, todo ideal de polinomios en R también es de generación finita. Si dado un ideal en R[x] puedo demostrar que un conjunto generador finito, se habrá demostrado el teorema Vean que si el teorema es verdadero, tiene un corolario inmediato: R[x1,x2,…,xn], el anillo de polinomios en n indeterminadas, es noetheriano. Pues R[x1,x2…xn-1] es un anillo R" y R[x1,x2,…,xn] es igual (isomorfo) a R"[xn]. Bien, suficiente por hoy. En el próximo post comenzaré con la prueba. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |