Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Marzo, 2013, 11:19

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Veamos hoy el tema de funciones invariantes agregando algo de generalidad. Será una incursión a lo abstracto.

Primero, sea una función de dos variables

Las dos variables las podemos ver como componentes de un espacio vectorial de dos dimensiones, dada una base en concreto:

Entonces la función se puede escribir como una función que toma un vector y nos da un número (en general, del cuerpo conmutativo que es parte del espacio vectorial que consideramos):

Ahora bien, podemos ver las transformaciones que dejan a f invariante, como transformaciones de vectores: funciones que toman un vector de nuestro espacio vectorial y dan como respuesta otro vector:

Entonces, las transformaciones invariantes son las que hacen para todo vector v de nuestro espacio vectorial:

Vean que de esta forma nos olvidamos de las n variables iniciales. Y hasta de la base inicial que habíamos tomado. De esta manera trabaja la física: buscando funciones f que sean invariantes por transformaciones que destacan la independencia de la elección de sistemas de coordenadas en nuestros laboratorios. Una ley física, explicada con una función f, debería ser independiente de las rotaciones del espacio, inversión en el tiempo, traslaciones y reflexiones en el espacio. Luego la relatividad agregó otras transformaciones (de Lorentz) que deberían dejar invariante cualquier f que trate de expresar matemáticamente algo sobre la realidad física.

Pero pensando abstractamente perdemos la "forma" de f: expresarla en n variables concretas. Puede que haya expresiones de f en términos de vectores.

En el próximo post volveré a las n variables, y a algunas funciones invariantes que han sido importantes en el desarrollo de las matemáticas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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