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Ayer mencionaba el curso del gran David Hilbert sobre invariantes algebraicos. Inicio hoy una serie de posts para ir exponiendo y estudiando el contenido de ese curso. Leo en la introducción:

In the summer semester 1897 David Hilbert gave an introductory course in invariant theory at the University of Gottingen. The present text is an English translation of the handwritten course notes taken by Hilbert's student Sophus Marxsen.

When Hilbert gave this course in 1897, his research in invariant theory had been completed. In particular, Hilbert's famous Finiteness Theorem had been proved and published in two striking papers (Hilbert 1890, 1893).* These papers changed the course of invariant theory dramatically, and they laid the foundation for modern commutative algebra. Thus 1897 was a perfect time for Hilbert to give an introduction to invariant theory, taking into account both the old approach of his predecessors and his new ideas. It is this bridge from nineteenth-century mathematics into twentieth-century mathematics which makes these course notes so special and distinguishes them from other treatments of invariant theory.

Justamente, el Finiteness Theorem de Hilbert está basado en un resultado nuevo (y más simple) el teorema de la base que estoy tratando en otra serie de posts.

Hilbert's course is at a level accessible to graduate students in mathematics. Prerequisites include familiarity with linear algebra and the basics of ring theory and group theory. The text provides a self-contained introduction to classical invariant theory, and it will be of interest to anyone who wishes to study this subject. But we believe that this translation will also be valuable as a historical source for experts in contemporary invariant theory...

Manos a la obra, entonces. Sea una suma de productos de constantes y variables. Lo llamamos polinomio. Es decir, si cikl son constantes, y sean x, y, z variables, entonces

Es un polinomio de tres variables. La forma general de un polinomio es:

Cada uno de esos productos se llama un término del polinomio. Su número característico

Esto es, la suma de los exponentes de las variables, se llama el orden del término. Ejemplo, el polinomio en tres variables:

Tiene tres términos, el primero de orden 4, el segundo de orden 2, y el último de orden 3. El orden del término con mayor orden se llama el orden del polinomio. El de arriba es entonces de orden 4.

Podemos pensar siempre en un polinomio donde los términos estén ordenados por orden. Podríamos escribir el polinomio de varias variables de orden n como:

Donde cada [i] es un polinomio de orden i. El último término no puede ser el polinomio nulo, porque sino el polinomio no sería de orden n. Pero los otros términos podrían ser nulos. Un polinomio no tiene por qué tener todos los órdenes en sus términos.

Pero, acá viene una definición nueva: si todos los demás [i] APARTE DE [n] son nulos, es decir, si todos los términos del polinomio son del mismo grado, llamamos a F una función homogénea o de una forma.

De ahora en más, sólo trataremos de formas. El orden de una forma es n, y las variables pueden ser m variables. Pareciera que si consideramos sólo formas, estamos dejando de lado a los polinomios más generales. Pero en realidad, no tanto. Si tenemos un polinomio general:

Lo podemos transformar en una forma, agregando una variable adicional:

G es una función homogénea, de la que podemos obtener de nuevo F simplemente haciendo xm = 1

Hasta podemos escribir:

Entonces, podemos decir que la teoría de las formas de m variables es esencialmente la misma que la de polinomios generales de m-1 variables. Sabiendo esto, veamos un resultado simple pero importante. Vamos a tomar un camino muy común en matemáticas. Cuando tenemos un concepto X, le vamos aplicando transformaciones, a ver que nos resulta. La primera transformación a explorar será: escalar todas las variables, por un factor u: una transformación que tiene cierto sentido, veamos por qué.

Sea una forma G:

Si ahora reemplazamos cada xi, por uxi, siendo u arbitrario, tenemos

Como el exponente de u es n, queda entonces

(tengo entendido que ésta era la definición de función homogénea para Euler, independientemente de si era un polinomio o no). La clave del resultado es que al escalar cada variable por u, y contienendo cada término la misma cantidad de variables (repetidas o no), cada término es escalado DE LA MISMA MANERA.

Si un polinomio F tiene esta propiedad, entonces se ve que es una forma. Se puede ver esto, si tomamos las partes homogéneas de F: no todas pueden tener "escalar" de la misma forma, al escalar uniformemente todas las variables al multiplicarlas por u. Así que podemos definir forma como un polinomio que cumple con la relación de escala de arriba.

Veamos algo no evidente. Diferenciamos G respecto de u, como si fuera una nueva variables, y tomemos la derivada total por u, como la suma de las derivadas parciales de las uxi:

Y entonces, si ponemos u = 1

Esta es entonces otra propiedad fundamental de las formas de orden n y m variables.

En próximos posts aparecerá el concepto de invariante de estas formas, transformaciones lineales y la clasificación de formas. En algún momento, cambiaremos los coeficientes arbitrarios (en lo de arriba podrían ser del cuerpo de los reales o complejos) por enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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