Publicado el 29 de Abril, 2013, 7:30
Veamos en esta nueva serie de posts de demostrar un teorema clásico, enunciado primeramente por Fermat. La historia del teorema es muy interesante, pero eso será tema para un post aparte. ¿Qué vió Fermat? Estaba interesado en cómo expresar números naturales, por multiplicaciones o por sumas. Fue el gran refundador de la teoría de números. Al investigar divisibilidad, se interesó por los números primos (ver mi serie sobre Números primos), los números cuyos únicos divisores naturales son el 1 y ellos mismos. Forman una serie infinita que comienza con: Ya desde la antigüedad se sabía que había infinitos primos. Excepto el 2, todos son impares. A Fermat le interesaban cuáles números naturales eran suman de dos cuadrados: Fermat observó que algunos primos eran expresables como la suma de dos cuadrados:
No parecía que los primos expresables como suma de dos cuadrados formaran una serie que terminara: siempre había alguno así. Esto era inesperado: ¿por qué esta relación entre primos (definidos por un tema de divisibilidad) y sumas, y encima, de sumas de cuadrados? Pero no termina aquí el asombro. Revisen los primos que son sumas de dos cuadrados. ¿Notan alguna característica compartida por todos? Pues bien, Fermat descubrió (y se supone que demostró, aunque no dejó prueba escrita; en realidad, en toda su vida, de todos sus teoremas y conjeturas sólo dejó una por escrito) que todos los primos que son suma de dos cuadrados toman la forma: Es decir, que superan en 1 a un múltiplo de cuatro. No sólo eso: demostró que TODOS los primos 4m+1 son expresables como suma de dos cuadrados. Hace dos años conseguí demostrar el teorema (ver Cinco al hilo ). Quiero en esta serie de post pasar en limpio la prueba. La primera vez que encontré este teorema/problema es el excelente libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dorrie, ed. Dover. A muchos problemas que encontré en ese libro, sólo los leí, investigando la parte histórica, pero dejé de lado ver la demostración, para entretenerme algún día. Bueno, pasaron por lo menos dos décadas, y al fin pude encontrar una demostración de este teorema. Veamos ahora que es fácil ver que "los otros primos", los que no son suma de dos cuadrados, son de la forma: ¿Por qué no pueden ser expresados como suma de dos cuadrados? Veamos de investigar los restos de los cuadrados módulo 4:
Es decir, un cuadrado deberá ser o múltiplo de 4 o exceder en 1 a un múltiplo de 4. Sólo puede dar 0 o 1 como resto al dividir por cuatro. La suma de dos cuadrados será la suma de dos resto 0, dos 1, o 0 + 1:
La primera y última dan números pares, no primos. Nuestra única esperanza es la segunda opción. Pero eso deja afuera a los primos de la forma: Es por eso que no hay suma de cuadrados que resulten en ese tipo de primos. Bien, pero eso no demuestra que TODOS los 4m+1 PUEDAN expresarse como suma de dos cuadrados. La demostración de esto nos va a llevar a temas interesantes. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Abril, 2013, 7:20
Ya hemos definido un espacio topológico. Es un par: Donde los conjuntos abiertos del espacio topológico cumplen las condiciones que le impusimos: - La intersección de dos conjuntos abiertos cualquiera también es un conjunto abierto Se acostumbra a decir <X, T> es un espacio topológico, y T (el conjunto de todos los abiertos) es la topología. Para un mismo X podemos tener más de una T. Luego, desde los conjuntos abiertos pudimos formalizar los entornos de un punto: ¿qué es lo que vamos a considerar como "puntos cercanos al punto x"?: Definimos entorno del punto x a todo conjunto que contenga a un conjunto abierto que contenga a x. Vean lo curioso: la motivación es tener una forma de manejar formalmente, con seguridad, lo que vamos a considerar "la mancha de puntos" que rodean a x. Pero se vió, históricamente, que para tener una buena y manejable definición de entorno, hubo que formalizar lo que es un conjunto abierto (y lo que no es un conjunto abierto). La figura de arriba nos recuerda que en el anterior post vimos cómo usamos el concepto de entorno de un punto para definir los puntos de acumulación de un conjunto cualquiera (Nota: cuando hablo de "un conjunto cualquiera" es una forma de decir corta de "un subconjunto (propio o no) del espacio topológico X que estamos considerando") Ahora bien, dada un X, el conjunto T de lo que consideramos abiertos, siempre que cumplan las condiciones de topología, nos define COMPLETAMENTE un espacio topológico <X,T>. Veamos que los matemáticos también hablan de conjuntos cerrados. Sea la definición: Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X-C es abierto (es elemento de T) O sea, un conjunto C es cerrado si su complemento (siempre hablando en el contexto de un espacio topológico en concreto <X,T>) es abierto. Por las leyes de de Morgan se ve entonces que: - La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado También podemos ver que, dado X, tanto podemos definir una topología T dando sus elementos abiertos como sus elementos cerrados. Es decir, podemos reescribir todos los libros de topología, hablando de cerrados, sin mencionar abiertos. Tendríamos que reformurlar algunos teoremas, pero es posible. Eso pasa varias veces en matemáticas. No siempre una definición es más fundamental que otras, sino que son, digamos, alternativas del mismo nivel. Pero el concepto de conjunto abierto permite definir más claramente lo que es un entorno, y como ésto es el objetivo de la topología general, se ha dado preferencia a la definición de topología en base a sus elementos abiertos. Bien, respiremos hondo: tenemos punto, espacio, abiertos, cerrados, entornos, y puntos de acumulación. ¿Qué vamos a hacer con todo esto? Bueno, algo fue apareciendo en el último post: además de puntos cercanos de un punto, algo interesante a explorar es: ¿dónde "termina" un conjunto? ¿qué lo separa de otros? Comenzará a aparecer el concepto de frontera, y su relación con ser un conjunto cerrado o no, y su relación con los puntos de acumulación. Temas que no eran evidentes cuandos formulamos estos conceptos, pero ya estamos llegando a usarlos. Por ejemplo, todavía no hemos empleado a los puntos de acumulación. Veremos su importancia, nacida en el análisis y en el tratamiento de límite de series. Pero por ahora, sigamos con topología general ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Abril, 2013, 14:10
Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert de su Zalhbericht:
En eso cambiaría Gauss cuando comience a investigar la reciprocidad cuadrática. Ver más abajo. Recomiendo a todos una lectura de esa obra de Gauss, con énfasis en el capítulo 5 sobre formas cuadráticas, y el 7, sobre ciclotomía.
Ver Cyclotomy and Cyclotomic Polynomials, The Story of how Gauss Narrowly Missed Becoming a Philologist. Para hacia donde llegó el tema en tiempos modernos New Generalized Cyclotomy and Its Applications
Kummer introdujo los números ideales, cuando le hicieron ver que tenía un error en su intento de demostrar el último teorema de Fermat. En los textos de hoy, apenas se menciona al pasar sus ideas, sin exponerlas en detalle (espero aprender más en este libro de Hilbert). Dedekind, con una idea genial, reemplaza números por clases de números, y plantea el moderno concepto de ideal. Kronecker propone una solución parecida, los sistemas modulares (tengo que confirmar). Todas estas ideas fueron promovidas por encontrar un símil del teorema fundamental de la aritmética de enteros (la factorización única en primos) para campos de números más generales. Próximos posts: más traducción del prefacio, notas históricas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Abril, 2013, 7:00
El título se refiere al libro "La Teoría de Números Algebraicos" de David Hilbert, de 1897, conocido como el Zalhbericht (el "reporte de números", pues era un trabajo por encargo para que expusiera un resumen del estado de la teoría en esos tiempos). Leo en el artículo de Wikipedia:
Tengo bastante para comentar de este "informe" que tanta influencia tuvo en el desarrollo de los números algebraicos. Hoy comienzo esta serie traduciendo el prefacio de Hilbert:
En próximos post completo la traducción del prefacio, y agrego algunas notas históricas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Abril, 2013, 8:22
Ayer mencionaba el curso del gran David Hilbert sobre invariantes algebraicos. Inicio hoy una serie de posts para ir exponiendo y estudiando el contenido de ese curso. Leo en la introducción:
Justamente, el Finiteness Theorem de Hilbert está basado en un resultado nuevo (y más simple) el teorema de la base que estoy tratando en otra serie de posts.
Manos a la obra, entonces. Sea una suma de productos de constantes y variables. Lo llamamos polinomio. Es decir, si cikl son constantes, y sean x, y, z variables, entonces Es un polinomio de tres variables. La forma general de un polinomio es: Cada uno de esos productos se llama un término del polinomio. Su número característico Esto es, la suma de los exponentes de las variables, se llama el orden del término. Ejemplo, el polinomio en tres variables: Tiene tres términos, el primero de orden 4, el segundo de orden 2, y el último de orden 3. El orden del término con mayor orden se llama el orden del polinomio. El de arriba es entonces de orden 4. Podemos pensar siempre en un polinomio donde los términos estén ordenados por orden. Podríamos escribir el polinomio de varias variables de orden n como: Donde cada [i] es un polinomio de orden i. El último término no puede ser el polinomio nulo, porque sino el polinomio no sería de orden n. Pero los otros términos podrían ser nulos. Un polinomio no tiene por qué tener todos los órdenes en sus términos. Pero, acá viene una definición nueva: si todos los demás [i] APARTE DE [n] son nulos, es decir, si todos los términos del polinomio son del mismo grado, llamamos a F una función homogénea o de una forma. De ahora en más, sólo trataremos de formas. El orden de una forma es n, y las variables pueden ser m variables. Pareciera que si consideramos sólo formas, estamos dejando de lado a los polinomios más generales. Pero en realidad, no tanto. Si tenemos un polinomio general: Lo podemos transformar en una forma, agregando una variable adicional: G es una función homogénea, de la que podemos obtener de nuevo F simplemente haciendo xm = 1 Hasta podemos escribir: Entonces, podemos decir que la teoría de las formas de m variables es esencialmente la misma que la de polinomios generales de m-1 variables. Sabiendo esto, veamos un resultado simple pero importante. Vamos a tomar un camino muy común en matemáticas. Cuando tenemos un concepto X, le vamos aplicando transformaciones, a ver que nos resulta. La primera transformación a explorar será: escalar todas las variables, por un factor u: una transformación que tiene cierto sentido, veamos por qué. Sea una forma G: Si ahora reemplazamos cada xi, por uxi, siendo u arbitrario, tenemos Como el exponente de u es n, queda entonces (tengo entendido que ésta era la definición de función homogénea para Euler, independientemente de si era un polinomio o no). La clave del resultado es que al escalar cada variable por u, y contienendo cada término la misma cantidad de variables (repetidas o no), cada término es escalado DE LA MISMA MANERA. Si un polinomio F tiene esta propiedad, entonces se ve que es una forma. Se puede ver esto, si tomamos las partes homogéneas de F: no todas pueden tener "escalar" de la misma forma, al escalar uniformemente todas las variables al multiplicarlas por u. Así que podemos definir forma como un polinomio que cumple con la relación de escala de arriba. Veamos algo no evidente. Diferenciamos G respecto de u, como si fuera una nueva variables, y tomemos la derivada total por u, como la suma de las derivadas parciales de las uxi: Y entonces, si ponemos u = 1 Esta es entonces otra propiedad fundamental de las formas de orden n y m variables. En próximos posts aparecerá el concepto de invariante de estas formas, transformaciones lineales y la clasificación de formas. En algún momento, cambiaremos los coeficientes arbitrarios (en lo de arriba podrían ser del cuerpo de los reales o complejos) por enteros. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Abril, 2013, 17:11
Hoy escribo sobre un tema al que llego repetidamente en estos últimos años, y de diversas formas. Es tiempo de pasar a publicar (a hacer público y accesible por Google) mis notas, para no perder esas referencias. El tema es los invariantes en matemáticas. Es un tema amplio, y en verdad, son varios temas. Una cosa son los invariantes topológicos, y otras los invariantes algebraicos. Y otro son las funciones invariantes (ver mi serie de posts). De hecho, he encontrado poco sobre funciones invariantes, pero pueden ver: A Function Invariant under a Group of Transformations Pero vayamos a la definición más general: http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)
Y siempre termino topándome con invariantes en física: http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(physics)
Agregaría que el tema covariancia y contravariancia también aparece en "gauge theory". Pero volvamos a los invariantes. Mis primeras notas serán sobre los invariantes algebraicos http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInvariant.html
Como bien dice ese corto artículo de Mathworld, uno de los primeros en desarrollar el tema de invariantes algebraicos fue Cayley, en el siglo XIX. Quisiera terminar esta primer nota, mencionando mis principales fuentes: - Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Morris Kline (hay edición en español, de Alianza. Ver principalmente el tercer volumen) - The Development of Mathematics, de Eric Temple Bell ya citado varias veces en este blog (ver Gauss y la congruencia, por E.T.Bell, Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell, Dos visiones de matemáticas, Contra los místicos del tiempo) hay edición en español de Fondo de Cultura Económica. Sobre el tema de invariantes, lo principal a leer es el capítulo XX - The Theory of Algebraic Invariants, notas de un curso de David Hilbert - The Classical Groups, their Invariants and Representations, de Hermann Weyl, alumno de Hilbert. Lo de Weyl debe estar expuesto también en el más moderno: Classical Invariant Theory, a primer (pdf) de Hanspeter Kraft y Claudio Procesi (ver la conferencia de Kraft para el cumpleaños de Procesi) Basta por hoy, por lo menos con este post ya tengo anotado, y con poco riesgo de perder, lo principal a leer y desarrollar sobre el tema. Ya vendrán nuevos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Abril, 2013, 17:41
Publicado el 11 de Abril, 2013, 14:32
Ya mencioné a Herman Weyl y su libro The Theory of Groups and Quantum Mechanics en Hermann Weyl, fisica y matematicas. Hacia el final de la introducción, encuentro:
Es interesante ver cómo algo como la teoría de grupos tuvo una larga historia, aunque hay que reconocer que como teoría matemática aparece realmente en el siglo XIX. Igual, es de destacar que tenemos otro ejemplo de matemáticas desarrolladas ANTES de tener una aplicación física.
Y ahora menciona dos grupos que van a tener un rol en su libro:
Y otro tema que aparece, cuando los grupos se relacionan con la física: sus representaciones por transformaciones lineales:
Nunca traté todavía el tema de representaciones de grupos por transformaciones lineales. Pero es interesante encontrar esta temprana referencia en Weyl, que luego llegaría a aplicarse más allá de la teoría cuántica que menciona. Ver Group Representation Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 9 de Abril, 2013, 10:20
En estos días pasados, volví a leer bastante de matemáticas y física. Un libro que no comenté todavía en este blog (debo haberlo mencionado apenas de pasada) es el clásico The theory of groups and quantum mechanics, de Hermann Weyl (lo puse en la lista de Estudiando Física Cuántica). En el prefacio de la primera edición, escrito en agosto de 1928, encuentro este texto al final:
Interesante que mencione el tema del número, como alejado de lo que habían fundado los antiguos griegos (comencé hace poco mi Historia de las Matemáticas en Grecia). En realidad, los griegos tuvieron en Pitágoras y sus seguidores a los promotores de los números como fundamento de las matemáticas. Hubo que esperar al siglo XIX para que se volviera ponerlos en plenamente en la base. Recordar a Kronecker, para quien Dios había creado los enteros y todo lo demás era obra del hombre. Y antes, a Gauss, que llevó a la mayoría de edad el tratamiento de los complejos como números. Nota para repaso: leer el capítulo 8 de Historia de las matemáticas, de Bell, donde trata el "resurgimiento de lo pitagórico". Con respecto al número como anterior al concepto de la geometría, hay en este último siglo, una vuelta a las visiones geométricas, tanto en matemática abstracta como en matemática y física. La aparición de las geometrías no euclideanas en el siglo XIX, fue el antecedente de su uso en la física del siglo XX en relatividad y aledaños. Nota para repaso: leer Penrose, cómo pone énfasis en los conceptos geométricos aplicados a la física moderna.
Weyl destaca que cada rama de las matemáticas comienza a hacer "su propio juego". Ya los reales y complejos no eran "el juego" sino uno más de entre los posibles campos de números. No había "una geometría" sino varias, que podían incluso inventarse. Todo esto lleva también a la abstracción, que fue creciendo a lo largo del siglo XX.
Lo interesante es que menciona la aparición del álgebra abstracta, y de la teoría de grupos "per se", que va a ser la base de este libro. Y de la relación de las matemáticas con la física, poniendo el caso de la aparición de la no conmutatividad en algo físico, como la "nueva" mecánica cuántica de fines de los 20. Hay mucho para comentar de este corto y abigarrado párrafo de Weyl. Espero poder escribir algunos posts sobre temas particulares del libro, que muestra tan bien la relación entre las explicaciones físicas y la teoría de grupos, lo que nos llevaría a simetrías, leyes de conservación, y la forma matemática que tiene en su núcleo las teorías físicas. Posts relacionados: Grupos y Física, por Dirac Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 6 de Abril, 2013, 14:11
Publicado el 5 de Abril, 2013, 13:16
En estos días, he vuelto a leer y consultar libros sobre la historia de las matemáticas. Y parece tiempo de comenzar una serie sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia. Me parece un tema interesante, por lo histórico, por lo matemático, y hasta por lo filosófico. La historia de las matemáticas es fascinante, y larguísima. Tantos temas, tantos hombres, tanta evolución de ideas, que es mejor concentrarse al principio en una época. La "antigua Grecia" abarca siglos, pero me servirá de entrenamiento. Primero, un repaso de lo que sería interesante tratar en esta nueva serie: - Los antecedentes inmediatos: la influencia de Babilonia, Egipto en los matemáticos griegos. - La aritmética. Primeros elementos de teoría de números - El concepto de número vs magnitudes - El problema de la incomensurabilidad - El camino que pasa por Tales, Pitágoras, Parménides, Zenón, Demócrito, Sócrates, Platón, Aristóteles, Eudoxo, Euclides, Arquímedes, Apolonio, etc.... - Atomismo en matemáticas - Los pasos iniciales hacia el cálculo - El método de exhaución de Eudoxo - Los trabajos de Arquímedes - Aritmética vs Geometría - Matemáticas y realidad para los griegos - El estudio de los cuerpos sólidos - Movimiento y matemáticas - Geometría sintética y analítica - El estancamiento de la aritmética - Filosofía y matemáticas Tengo varias fuentes disponibles para consultar. Como algunos de esos libros son de mis preferidos, voy a dejar su enumeración para otro post(s). Es notable la cantidad de escritos que hay sobre el tema, y el esfuerzo puesto sobre los resultados de los antiguos griegos. También asombra lo poco que nos llegó original de ellos: las fuentes más antiguas son copias y comentarios, no la producción original. Hasta podría afirmar que tenemos más material original (producidos en la época de sus autores) de Egipto y Babilonia, que de los antiguos griegos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Abril, 2013, 12:40
Un nuevo mes comienza. Repaso de las resoluciones del mes pasado: - Escribir nuevo post de funciones invariantes [completo] ver post Además publiqué enlaces sobre Gauss, Fermat y Euler; Matemáticas, Teoría de Categorías 1 y 2, Topología; Teoría de Números Para este mes de abril, sigo con: - Escribir nuevo post de funciones invariantes Tengo bastante trabajo con mis resoluciones técnicas, así que es bastante el compromiso de arriba (algunos post requieren mucho tiempo de preparación). Nos leemos! Angel "Java" Lopez |