Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 9 de Abril, 2013, 10:20

En estos días pasados, volví a leer bastante de matemáticas y física. Un libro que no comenté todavía en este blog (debo haberlo mencionado apenas de pasada) es el clásico The theory of groups and quantum mechanics, de Hermann Weyl (lo puse en la lista de Estudiando Física Cuántica). En el prefacio de la primera edición, escrito en agosto de 1928, encuentro este texto al final:

There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics a physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry.

Interesante que mencione el tema del número, como alejado de lo que habían fundado los antiguos griegos (comencé hace poco mi Historia de las Matemáticas en Grecia). En realidad, los griegos tuvieron en Pitágoras y sus seguidores a los promotores de los números como fundamento de las matemáticas. Hubo que esperar al siglo XIX para que se volviera ponerlos en plenamente en la base. Recordar a Kronecker, para quien Dios había creado los enteros y todo lo demás era obra del hombre. Y antes, a Gauss, que llevó a la mayoría de edad el tratamiento de los complejos como números. Nota para repaso: leer el capítulo 8 de Historia de las matemáticas, de Bell, donde trata el "resurgimiento de lo pitagórico".

Con respecto al número como anterior al concepto de la geometría, hay en este último siglo, una vuelta a las visiones geométricas, tanto en matemática abstracta como en matemática y física. La aparición de las geometrías no euclideanas en el siglo XIX, fue el antecedente de su uso en la física del siglo XX en relatividad y aledaños. Nota para repaso: leer Penrose, cómo pone énfasis en los conceptos geométricos aplicados a la física moderna.

The result of this has been that we have applied this systematically developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities.

Weyl destaca que cada rama de las matemáticas comienza a hacer "su propio juego". Ya los reales y complejos no eran "el juego" sino uno más de entre los posibles campos de números. No había "una geometría" sino varias, que podían incluso inventarse. Todo esto lleva también a la abstracción, que fue creciendo a lo largo del siglo XX.

The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projective geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Lo interesante es que menciona la aparición del álgebra abstracta, y de la teoría de grupos "per se", que va a ser la base de este libro. Y de la relación de las matemáticas con la física, poniendo el caso de la aparición de la no conmutatividad en algo físico, como la "nueva" mecánica cuántica de fines de los 20. Hay mucho para comentar de este corto y abigarrado párrafo de Weyl. Espero poder escribir algunos posts sobre temas particulares del libro, que muestra tan bien la relación entre las explicaciones físicas y la teoría de grupos, lo que nos llevaría a simetrías, leyes de conservación, y la forma matemática que tiene en su núcleo las teorías físicas.

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Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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