Angel "Java" Lopez en Blog

Hoy escribo sobre un tema al que llego repetidamente en estos últimos años, y de diversas formas. Es tiempo de pasar a publicar (a hacer público y accesible por Google) mis notas, para no perder esas referencias. El tema es los invariantes en matemáticas.

Es un tema amplio, y en verdad, son varios temas. Una cosa son los invariantes topológicos, y otras los invariantes algebraicos. Y otro son las funciones invariantes (ver mi serie de posts). De hecho, he encontrado poco sobre funciones invariantes, pero pueden ver:

A Function Invariant under a Group of Transformations
Algo más restringido Invariant Functions sobre O(n), SO(n)

Pero vayamos a la definición más general:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)

In mathematics, an invariant is a property of a class of mathematical objects that remains unchanged when transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class.

Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry, topology and algebra. Some important classes of transformations are defined by an invariant they leave unchanged, for example conformal maps are defined as transformations of the plane that preserve angles. The discovery of invariants is an important step in the process of classifying mathematical objects.

Y siempre termino topándome con invariantes en física:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(physics)

Invariants are important in modern theoretical physics, and many theories are expressed in terms of their symmetries and invariants.

Covariance and contravariance generalize the mathematical properties of invariance in tensor mathematics, and are frequently used inelectromagnetism, special relativity, and general relativity.

Agregaría que el tema covariancia y contravariancia también aparece en "gauge theory". Pero volvamos a los invariantes.

Mis primeras notas serán sobre los invariantes algebraicos

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInvariant.html

A quantity such as a polynomial discriminant which remains unchanged under a given class of algebraic transformations. Such invariants were originally called hyperdeterminants by Cayley.

Como bien dice ese corto artículo de Mathworld, uno de los primeros en desarrollar el tema de invariantes algebraicos fue Cayley, en el siglo XIX.

Quisiera terminar esta primer nota, mencionando mis principales fuentes:

- Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Morris Kline (hay edición en español, de Alianza. Ver principalmente el tercer volumen)

- The Development of Mathematics, de Eric Temple Bell ya citado varias veces en este blog (ver Gauss y la congruencia, por E.T.Bell, Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell, Dos visiones de matemáticas, Contra los místicos del tiempo) hay edición en español de Fondo de Cultura Económica. Sobre el tema de invariantes, lo principal a leer es el capítulo XX

- The Theory of Algebraic Invariants, notas de un curso de David Hilbert

- The Classical Groups, their Invariants and Representations, de Hermann Weyl, alumno de Hilbert.

Lo de Weyl debe estar expuesto también en el más moderno:

Classical Invariant Theory, a primer (pdf) de Hanspeter Kraft y Claudio Procesi (ver la conferencia de Kraft para el cumpleaños de Procesi)

Basta por hoy, por lo menos con este post ya tengo anotado, y con poco riesgo de perder, lo principal a leer y desarrollar sobre el tema. Ya vendrán nuevos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez