Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Abril, 2013, 14:10

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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert de su Zalhbericht:

El amor de Lejeune Dirichlet por la aritmética es bien conocida. También conocemos cómo Kummer dedicó su actividad académica sobre todo a la teoría de números; y Kronecker dió expresión a la esencia de su percepción matemática con las palabras: "Dios hizo los números naturales; todo lo demás de los humanos".

Con este simple prerrequisito la teoría de números es seguramente el campo del conocimiento matemático cuyos resultados son los más fáciles de entender. Pero para entender completamente los conceptos y métodos de prueba en aritmética require un alto grado de facilidad en el uso del pensamiento abstractio, y este hecho es, algunas veces, puesto como reproche contra el tema. Sin embargo, en mi opinión, todas las demás ramas de las matemáticas demandan al menos un gran capacidad para manejar la abstracción - esto es, asumiendo que exponemos los fundamentos de ellas con el rigor y la completitud que son realmente necesarias.

Sobre la posición de la teoría de números en el conjunto de las matemáticas, Gauss, en su prefacio de sus Disquisitiones arithmeticas, todavía la entiende como la teoría de los números naturales, con todos los números imaginarios estrictamente excluidos

En eso cambiaría Gauss cuando comience a investigar la reciprocidad cuadrática. Ver más abajo. Recomiendo a todos una lectura de esa obra de Gauss, con énfasis en el capítulo 5 sobre formas cuadráticas, y el 7, sobre ciclotomía.

De esa manera, él no clasifica a la ciclotomía como teoría de números propiamente dicha; pero él añadió que "sus princicipos son derivados pura y simplemente de las aritmética superior". En la misma línea que Gauss, tanto Jacobi como Lejeune Dirichlet repetida y enfáticamente expresan su sorpresa sobre la conexión cercana entre problemas de teoría de números y problemas algebraicos, en particular el problema de ciclotomía.

Ver Cyclotomy and Cyclotomic Polynomials, The Story of how Gauss Narrowly Missed Becoming a Philologist. Para hacia donde llegó el tema en tiempos modernos New Generalized Cyclotomy and Its Applications

La razón central para esta conexión ahora es completamente clara. A saber, la teoría de campos algebraicos, y la teoría de campos de números ha devenido en ser la parte más esencial de la moderna teoría de números.

El mérito por haber sembrado las primeras semillas de la teoría de campos de números también recae en Gauss. Gauss reconoció que la real fuente de las leyes de los residuos bicuadráticos yacen en una "extensión del campo de la aritmética", a saber, según lo expuso, la introducción de números imaginarios enteros de la forma a + bi; él conoció y resolvió el problema de pasar a estos enteros imaginarios todos los teoremas de la teoría de números normal, especialmente las propiedades concernientes a la divisibilidad y las relaciones de congruencia. Mediante el desarrollo sistemático de esta noción y bajo la luz de nuevas ideas de largo alcance de Kummer, Dedekind y Kronecker, hemos llegado a la teoría de los campos de números algebraicos de nuestros días.

Kummer introdujo los números ideales, cuando le hicieron ver que tenía un error en su intento de demostrar el último teorema de Fermat. En los textos de hoy, apenas se menciona al pasar sus ideas, sin exponerlas en detalle (espero aprender más en este libro de Hilbert). Dedekind, con una idea genial, reemplaza números por clases de números, y plantea el moderno concepto de ideal. Kronecker propone una solución parecida, los sistemas modulares (tengo que confirmar). Todas estas ideas fueron promovidas por encontrar un símil del teorema fundamental de la aritmética de enteros (la factorización única en primos) para campos de números más generales.

Próximos posts: más traducción del prefacio, notas históricas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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