Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 23 de Abril, 2013, 7:20

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Ya hemos definido un espacio topológico. Es un par:

Donde los conjuntos abiertos del espacio topológico cumplen las condiciones que le impusimos:

- La intersección de dos conjuntos abiertos cualquiera también es un conjunto abierto
- La unión de una familia de conjuntos abiertos (arbitraria) es también un conjunto abierto

Se acostumbra a decir <X, T> es un espacio topológico, y T (el conjunto de todos los abiertos) es la topología. Para un mismo X podemos tener más de una T.

Luego, desde los conjuntos abiertos pudimos formalizar los entornos de un punto: ¿qué es lo que vamos a considerar como "puntos cercanos al punto x"?:

Definimos entorno del punto x a todo conjunto que contenga a un conjunto abierto que contenga a x. Vean lo curioso: la motivación es tener una forma de manejar formalmente, con seguridad, lo que vamos a considerar "la mancha de puntos" que rodean a x. Pero se vió, históricamente, que para tener una buena y manejable definición de entorno, hubo que formalizar lo que es un conjunto abierto (y lo que no es un conjunto abierto).

La figura de arriba nos recuerda que en el anterior post vimos cómo usamos el concepto de entorno de un punto para definir los puntos de acumulación de un conjunto cualquiera (Nota: cuando hablo de "un conjunto cualquiera" es una forma de decir corta de "un subconjunto (propio o no) del espacio topológico X que estamos considerando")

Ahora bien, dada un X, el conjunto T de lo que consideramos abiertos, siempre que cumplan las condiciones de topología, nos define COMPLETAMENTE un espacio topológico <X,T>. Veamos que los matemáticos también hablan de conjuntos cerrados. Sea la definición:

Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X-C es abierto (es elemento de T)

O sea, un conjunto C es cerrado si su complemento (siempre hablando en el contexto de un espacio topológico en concreto <X,T>) es abierto. Por las leyes de de Morgan se ve entonces que:

- La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
- La intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado

También podemos ver que, dado X, tanto podemos definir una topología T dando sus elementos abiertos como sus elementos cerrados. Es decir, podemos reescribir todos los libros de topología, hablando de cerrados, sin mencionar abiertos. Tendríamos que reformurlar algunos teoremas, pero es posible. Eso pasa varias veces en matemáticas. No siempre una definición es más fundamental que otras, sino que son, digamos, alternativas del mismo nivel. Pero el concepto de conjunto abierto permite definir más claramente lo que es un entorno, y como ésto es el objetivo de la topología general, se ha dado preferencia a la definición de topología en base a sus elementos abiertos.

Bien, respiremos hondo: tenemos punto, espacio, abiertos, cerrados, entornos, y puntos de acumulación. ¿Qué vamos a hacer con todo esto? Bueno, algo fue apareciendo en el último post: además de puntos cercanos de un punto, algo interesante a explorar es: ¿dónde "termina" un conjunto? ¿qué lo separa de otros? Comenzará a aparecer el concepto de frontera, y su relación con ser un conjunto cerrado o no, y su relación con los puntos de acumulación. Temas que no eran evidentes cuandos formulamos estos conceptos, pero ya estamos llegando a usarlos. Por ejemplo, todavía no hemos empleado a los puntos de acumulación. Veremos su importancia, nacida en el análisis y en el tratamiento de límite de series. Pero por ahora, sigamos con topología general ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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