Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 29 de Abril, 2013, 7:30

Siguiente Post

Veamos en esta nueva serie de posts de demostrar un teorema clásico, enunciado primeramente por Fermat. La historia del teorema es muy interesante, pero eso será tema para un post aparte. ¿Qué vió Fermat? Estaba interesado en cómo expresar números naturales, por multiplicaciones o por sumas. Fue el gran refundador de la teoría de números. Al investigar divisibilidad, se interesó por los números primos (ver mi serie sobre Números primos), los números cuyos únicos divisores naturales son el 1 y ellos mismos. Forman una serie infinita que comienza con:

Ya desde la antigüedad se sabía que había infinitos primos. Excepto el 2, todos son impares. A Fermat le interesaban cuáles números naturales eran suman de dos cuadrados:

Fermat observó que algunos primos eran expresables como la suma de dos cuadrados:





No parecía que los primos expresables como suma de dos cuadrados formaran una serie que terminara: siempre había alguno así. Esto era inesperado: ¿por qué esta relación entre primos (definidos por un tema de divisibilidad) y sumas, y encima, de sumas de cuadrados?

Pero no termina aquí el asombro. Revisen los primos que son sumas de dos cuadrados. ¿Notan alguna característica compartida por todos? Pues bien, Fermat descubrió (y se supone que demostró, aunque no dejó prueba escrita; en realidad, en toda su vida, de todos sus teoremas y conjeturas sólo dejó una por escrito) que todos los primos que son suma de dos cuadrados toman la forma:

Es decir, que superan en 1 a un múltiplo de cuatro. No sólo eso: demostró que TODOS los primos 4m+1 son expresables como suma de dos cuadrados.

Hace dos años conseguí demostrar el teorema (ver Cinco al hilo ). Quiero en esta serie de post pasar en limpio la prueba. La primera vez que encontré este teorema/problema es el excelente libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dorrie, ed. Dover. A muchos problemas que encontré en ese libro, sólo los leí, investigando la parte histórica, pero dejé de lado ver la demostración, para entretenerme algún día. Bueno, pasaron por lo menos dos décadas, y al fin pude encontrar una demostración de este teorema.

Veamos ahora que es fácil ver que "los otros primos", los que no son suma de dos cuadrados, son de la forma:

¿Por qué no pueden ser expresados como suma de dos cuadrados? Veamos de investigar los restos de los cuadrados módulo 4:




Es decir, un cuadrado deberá ser o múltiplo de 4 o exceder en 1 a un múltiplo de 4. Sólo puede dar 0 o 1 como resto al dividir por cuatro. La suma de dos cuadrados será la suma de dos resto 0, dos 1, o 0 + 1:



La primera y última dan números pares, no primos. Nuestra única esperanza es la segunda opción. Pero eso deja afuera a los primos de la forma:

Es por eso que no hay suma de cuadrados que resulten en ese tipo de primos.

Bien, pero eso no demuestra que TODOS los 4m+1 PUEDAN expresarse como suma de dos cuadrados. La demostración de esto nos va a llevar a temas interesantes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez