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Mayo del 2013
Publicado el
31 de Mayo, 2013, 13:13
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Publicado el
29 de Mayo, 2013, 7:50
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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert a su trabajo Teoría de Números Algebraicos, conocido como Zahlbericht:
Hemos visto hasta ahora cómo la aritmética, la reina de las matemáticas, ha conquistado amplias áreas del álgebra y de la teoría de funciones y se ha transformado en su líder. La razón para que esto no sucediera antes y se hubiera desarrollado más extensivamente, me parece que recide en que la teoría de números solamente en años recientes ha alcanzado su madurez. Aún Gauss se quejaba del esfuerzo desproporcionado que le costó determinar el signo de una raíz cuadrada en teoría de números: "muchos otros temas me tomaron días y éste me tomó años", y entonces, "como un rayo de luz", él "solucionó el misterio". En nuestros días el progreso errático característico de las etapas tempranas de desarrollo de un tema ha sido reemplazado por un continuo y firme progreso gracias a la construcción sistemática de la teoría de campos de números algebraicos.
La conclusión, si no estoy equivocado, es que todos los modernos desarrollos de la matemática pura se realizan bajo los auspicios del número: las definiciones de Dedekind y Kronecker de los conceptos fundamentales de la aritmética y la construcción general de Cantor del concepto de número nos llevan a una aritmetización de la teoría de funciones y nos sirve para darnos cuenta del principio que aún en teoría de funciones un hecho lo podemos tomar como probado solamente cuando en último recurso es reducido a relaciones entre enteros racionales. La aritmetización de la geometría es acompañada por las modernas investigaciones en geometría no euclideana en las cuales es una cuestión de construcción estrictamente lógica del tema y la más directa posible y completamente satisfactoria introducción del número en la geometría.
Realmente, al tiempo de la escritura de este reporte (finales del siglo XIX), la teoría de números había alcanzado su mayoría de edad. Pero seguiría curiosos caminos para mantenerse viva y activa. Apenas he empezado con mi serie de posts elementales sobre el tema, espero llegar o tener una serie sobre los campos de números que menciona Hilbert.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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27 de Mayo, 2013, 6:00
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Sigo con la demostración del teorema de la base de Hilbert. Ya estuvimos viendo de obtener un ideal derivado de cualquier ideal I de R[x]. Algo de notación. Sea:
El conjunto de los Pi que encontramos en el anterior post:
...
Entonces, nuestro ideal derivado es:
Donde los Sj son polinomios cualesquiera de R[x]. Si este ideal I1 fuera igual a I, nuestro ideal inicial, quedaría demostrado el teorema. Pero bien puede que no sea el caso: pueden quedar polinomios de I que estén fuera de I1. Veamos que estos polinomios que "quedan fuera" de I están cerca de I1.
Sea Pm el polinomio de mayor grado de P, y sea n ese grado mayor. Todo polinomio F(x) de I se puede expresar entonces como:
Donde Q(x) es un polinomio con grado menor que n. ¿Cómo podemos demostrar esto? Viendo que a todo F(x) con grado l >= n se le puede anular su término de mayor grado con algún polinomio de I1. ¿Cómo es eso? Sea F(x):
Ese coeficiente c que tiene el término de mayor grado, es elemento del ideal formado por todos los coeficientes de mayor término de I. Entonces, debe ser expresado como:
Por haber tomados los ai como base generadora de ese ideal. Entonces existe F"(x) perteneciente a I1 con:>
Con lo que a F(x) se le puede quitar su término principal. Y así seguimos, hasta que F(x) no tenga más términos de grado >= n. Lo que queda del polinomio inicial será el Q(x) que estamos buscando. Y como Q(x) es la resta de un polinomio de I menos un polinomio de I1, es entonces un polinomio de I (recordemos que I1 está incluido en I).
Sea entonces Q el conjunto de todos esos Q(x):
Bien puede ser que Q sea infinito. No importa, genera un ideal:
Tal que como vimos es:
En el próximo post veremos de operar este ideal para obtener otro ideal I2. No se preocupen, ya estamos cuesta abajo, no vamos a seguir hasta I1234 ;-)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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26 de Mayo, 2013, 7:42
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Este post es el primer paso en un largo camino. Ya escribí sobre algunos temas aislados, pero ya es tiempo de escribir de una forma más ordenada. Ya que esto es teoría de números, veamos primero los números.
Para los griegos, los números eran múltiplos de una unidad. La unidad podía variar, pero al fin, todo eran números naturales. Esos son los primeros números que tratemos. Resolver ecuaciones como:
Nos basta con conocer el número natural 2. Pero para pasar a resolver ecuaciones como:
Tenemos que recurrir a números "no naturales": un simple pero negativo -3. No fue fácil la aceptación de los números negativos en matemáticas. Aún en el siglo XIX, matemáticos de primera línea ponían a las soluciones negativas como "soluciones a problemas mal planteados". Si pasamos a la ecuación general:
Con a, b enteros, ¿cuándo tendremos solución x entera? Pues ya conocen la respuesta: cuando a divida a b. Y aquí la "dificultad" de los enteros: si bien dado un entero a, siempre existe un entero que sea su inverso ante la suma (el entero –a), no siempre todo entero tiene inverso multiplicativo: la división –b/a que daría la solución de la ecuación de arriba, NO SIEMPRE ESTA DEFINIDA en el dominio de los enteros.
Tenemos que investigar la divisibilidad. Cuando b es múltiplo de a, es porque existe un entero m tal que:
Vamos a escribir "a divide a b" con la notación:
No siempre todo b es divisible por a. Tomemos el caso más fácil: hay números que son divisibles por 2, son los pares. Hay números que no son divisibles por 2, y son los impares. Desde los tiempos de Pitágoras se sabe que par sumado a par da par, par mas impar da impar, par multiplicado por par da par, par multiplicado por impar da par. Generalicemos algunos de estos resultados.
Sea
Entonces
Pues es fácil ver que lo primero es:
Sumando queda
Donde se ve que b mas c es múltiplo de a. Ahora bien, sea que sabemos que a divide b mas c. ¿Puede a dividir a b? Pues no siempre. Puede que sí como puede que no. 5 divide a 8 + 2 = 10, pero no divide a 8 ni a 2. Pero sí podemos decir que si
Entonces a divide a cualquier múltiplo de b:
Si tenemos
¿Podemos decir que
O
? No siempre. 10 divide a 5*4, pero no divide ni a 5 ni a 4. Veremos más adelante que si a es número primo, entonces sí, o divide a b o divide a c. Pero no nos adelantemos, todavía no vimos números primos.
Veamos un resultado importante. Sean a, b enteros cualesquiera, entonces siempre existen s, r tales que:
Es el teorema del resto. Para demostrarlo tomemos todos los números:
Variando s por todos los números enteros. Nos quedamos con los no negativos. Por propiedad de los naturales, hay un menor número en ellos:
Ahora el s está fijo. Tendríamos que demostrar que r es menor que |a|. Limitémonos al caso a positivo. Si r fuera mayor o igual a a, entonces:
Y r no hubiera sido el menor, como lo habíamos tomado. Este pequeño teorema va a ser muy importante en lo que vamos a explorar.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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24 de Mayo, 2013, 7:38
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En el post Fermat y el Método de Descenso Infinito mencioné este método de demostración usado por Fermat. Quiero escribir hoy un ejemplo sencillo. De hecho, no es el ejemplo más común de este método, porque para lo que vamos a demostrar en general se usa otro camino. Pero me servirá como introducción del tema en este primer post de la serie.
Sea demostrar que la raíz cuadrada de 3 no es un número racional. Supongamos que
Donde a, b son naturales. Podría haber más de una fracción así. Por ejemplo, ½, 2/4, son el mismo número.
Entonces, elevando al cuadrado:
Multiplicamos por b ambos lados:
Por ser 3 primo, resulta que a es múltiplo de 3. Sea
Se siguen entonces:
Por lo mismo, b es múltiplo de 3, y entonces:
El número d es menor que b. Y por la última relación, se sigue:
Llegamos a
Es decir, conseguimos OTRA FRACCION expresando el mismo supuesto racional, la raíz cuadrada de 3. Pero esta vez, el denominador d es menor que el de la anterior fracción, el denominador b. Podemos repetir SIEMPRE la operación que hicimos, y seguiremos obteniendo nuevas fracciones, cada una con el denominador menor que la anterior. No terminan nunca. Pero es claro que el denominador no puede decrecer para siempre: hemos considerado números naturales. Llegamos a contradicción.
Una forma más moderna hubiera sido partir con el conjunto de todos los a/b con a, b naturales, que sean la raíz cuadrada de tres, suponer que no es vacío, y tomar el par que tenga b menor (por propiedad de los naturales, todo conjunto de números naturales no vacío tiene un mínimo). Y con el procedimiento anterior, llegar a obtener otro par a, b con denominador menor al tomado, contradicción.
Si estuvieron atentos, ésta no es la forma más habitual de demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Lo más conocido es: tomar a/b con a, b sin factores comunes, y con el procedimiento anterior, ver que tienen un factor común, el 3, llegando a contradicción.
En próximos posts veremos aplicaciones no triviales del descenso infinito. Por ejemplo, en el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch, hay otra demostración de la irracionalidad de 3 usando descenso infinito. Ver también:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent
Nos leemos!
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22 de Mayo, 2013, 17:05
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Un tema que sigo desde hace casi tres décadas. Recuerdo haberlo encontrado varias veces en los artículos de los ochenta de Investigación y Ciencia, por ejemplo, un artículo ya clásico de Gerard t'Hooft. Si se interesan en este tema, pasearan por gran parte de la física matemática moderna y clásica.
Les agrego dos enlaces:
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027 preparation for gauge theory, muy bueno, tiene todo gauge, group, lagrangian, dirac, electromagnetism, etc. para intrépidos aficionados a la física matemática.
http://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/ muy buena intro, algo habia leido antes, ver si lo tengo impreso
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories de hooft, muy bueno
http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory la introducción más fácil
In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields — which are not themselves directly observable — result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.[1][2]
Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., the electromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally — charges, energies, velocities, etc. — do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.
For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.
With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time. Perturbative quantum field theory (usually employed for scattering theory) describes forces in terms of force mediating particles called gauge bosons. The nature of these particles is determined by the nature of the gauge transformations. The culmination of these efforts is the Standard Model, a quantum field theory explaining all of the fundamental interactions except gravity.
Ahora, la lista original que había preparado:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory
In physics, a gauge theory is a type of field theory in which the Lagrangian is invariant under a continuous group of local transformations.
The term gauge refers to redundant degrees of freedom in the Lagrangian. The transformations between possible gauges, called gauge transformations, form a Lie group which is referred to as thesymmetry group or the gauge group of the theory. Associated with any Lie group is the Lie algebra of group generators. For each group generator there necessarily arises a corresponding vector field called the gauge field. Gauge fields are included in the Lagrangian to ensure its invariance under the local group transformations (called gauge invariance). When such a theory is quantized, the quanta of the gauge fields are called gauge bosons. If the symmetry group is non-commutative, the gauge theory is referred to as non-abelian, the usual example being the Yang–Mills theory.
Many powerful theories in physics are described by Lagrangians which are invariant under some symmetry transformation groups. When they are invariant under a transformation identically performed at every point in the space in which the physical processes occur, they are said to have a global symmetry. The requirement of local symmetry, the cornerstone of gauge theories, is a stricter constraint. In fact, a global symmetry is just a local symmetry whose group's parameters are fixed in space-time.
Gauge theories are important as the successful field theories explaining the dynamics of elementary particles. Quantum electrodynamics is an abelian gauge theory with the symmetry group U(1)and has one gauge field, the electromagnetic four-potential, with the photon being the gauge boson. The Standard Model is a non-abelian gauge theory with the symmetry group U(1)×SU(2)×SU(3)and has a total of twelve gauge bosons: the photon, three weak bosons and eight gluons.
Gauge theories are also important in explaining gravitation in the theory of general relativity. Its case is somewhat unique in that the gauge field is a tensor, the Lanczos tensor. Theories ofquantum gravity, beginning with gauge gravitation theory, also postulate the existence of a gauge boson known as the graviton. Gauge symmetries can be viewed as analogues of the principle of general covariance of general relativity in which the coordinate system can be chosen freely under arbitrary diffeomorphisms of spacetime. Both gauge invariance and diffeomorphism invariance reflect a redundancy in the description of the system. An alternative theory of gravitation, gauge theory gravity, replaces the principle of general covariance with a true gauge principle with new gauge fields.
Historically, these ideas were first stated in the context of classical electromagnetism and later in general relativity. However, the modern importance of gauge symmetries appeared first in therelativistic quantum mechanics of electrons – quantum electrodynamics, elaborated on below. Today, gauge theories are useful in condensed matter, nuclear and high energy physics among other subfields.
Gauge symmetry (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_symmetry_(mathematics)
Lectures on Topology and Fields
http://www.youtube.com/watch?v=JcF8SdeTgYw&list=PL80A29806A2EA6B1A
The Stand-Up Physicist: Gauge Symmetries in the Lagrangian AND the Field Equations - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=VMVAwucqjPM
Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative
Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory
http://prd.aps.org/abstract/PRD/v24/i2/p471_1
Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/14/el-problema-del-salto-de-masa-en-las-teorias-de-yang-mills-puras-y-la-masa-de-los-gluones/
Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing
The Coulomb or Transverse Gauge
http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node32.html
Quantization of Gauge Theories
http://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/582-chapter9.pdf
Professor Eduardo Fradkin, argentino
[1003.5179] Gauge fields in graphene
http://arxiv.org/abs/1003.5179
Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/
Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative
Teleparallel Gravity as a Higher Gauge Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/04/teleparallel_gravity_and_highe.html
Emmy Noether and The Fabric of Reality - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=1_MpQG2xXVo&feature=related
Particle physics and representation theory - Wikipedia, the ...
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory
Group Theory and Elementary Particles
http://www.cmi.ac.in/~shreyas/grpth.pdf
(canonical) quantization of teleparallel gravity
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=354048
Teleparallelism - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Teleparallelism
Gauge theories
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node1.html
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node98.html
Lagrangian of Higgs field
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node106.html
Conference on Higher Gauge Theory, Quantum Gravity, and Topological Field Theory « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/12/18/conference-on-higher-gauge-theory-quantum-gravity-and-topological-field-theory/
Higher Gauge Theory, TQFT and Quantum Gravity in Lisbon | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/higher_gauge_theory_tqft_and_q.html
Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory
http://prd.aps.org/abstract/PRD/v24/i2/p471_1
Introduction to gauge theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory
An Invitation to Higher Gauge Theory (Again) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/an_invitation_to_higher_gauge_1.html
Division Algebras and Supersymmetry II | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/division_algebras_and_supersym.html
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Publicado el
22 de Mayo, 2013, 7:00
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Lo mío es un apostolado ;-) Sigo disfrutando de la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht.
La teoría de números comparte relaciones recíprocas, no es solamente con en el álgebra, sino también con la teoría de funciones. Recordemos las numeros y remarcables analogías que subsisten entre ciertos resultados de la teoría de campos de números y la teoría de campos de funciones algebraicas de una variable; pensemos también en las profundas investigaciones de Rienmann por las que la respuesta a la pregunta sobre la distribución de números primos se hace depender del conocimiento de los ceros de cierta función analítica. De nuevo, la transcendencia de los números e y pi es una propiedad aritmética de una función analítica, la función exponencial. Finalmente, el importante método, de largo alcance, creado por Lejeune Dirichlet para la determinación del número de clase de un campo de números se basa en fundamentos analíticos.
Y también al nivel más profundo, las funciones periódicas y ciertas funciones con autotransformaciones lineales tocan la esencia del número; entonces la función exponencial e ^ (2 pi iz) se entiende como invariante para los enteros racionales en el sentido de que es la solución fundamental de la ecuación funcional f(z + 1) = f(z). Aún más, Jacobi ya había notado la relación cercana entre la teoría de funciones elípticas y la teoría de las irracionales cuadráticas [quadratic irrationalities]; él había sugerido que en el trabajo de Gauss la idea mencionada antes de introducir enteros imaginarios en la forma a + bi no nace de principios puramente aritméticos sino que fue motivado por el trabajo contemporáneo de Gauss sobre las funciones de la lemniscata y sus multiplicaciones complejas. Las funciones elípticas para valores adecuados de sus periodos y las funciones elípticas modulares en todos los casos son invariantes de los enteros en algún campo de números fijo imaginario cuadrático. Estas funciones que nosotros hemos llamado invariantes tienen el poder de producir soluciones a ciertos profundos y difíciles problemas concernientes a los correspondientes campos de números; y, a su vez, la teoría de las funciones elípticas está en deuda con esas ideas aritméticas y aplicaciones que le dieron un nuevo estímulo.
Tantos temas a visitar (ya vendran posts ;-). Vean cómo Hilbert destaca la relación entre distintas ramas, que hoy, tal vez, estudiamos por separado. Un matemático se aprovecha de cualquier lazo que haya de una teoría a otra. Noten la importancia de no perder esas relaciones, que nacieron en la historia, cuando uno estudia un tema en matemáticas. Hilbert no pierde nunca de vista esas relaciones, analogías, ideas que pasan de un tópico a otro, y vuelven renovadas. Los campos de números es un gran tema, las funciones elípticas otro, las ideas de Rienmann hoy todavía se discuten, la invariancia es otro monumento a estudiar. Curioso lo que piensa Jacobi sobre el origen de la gran idea de Gauss de usar enteros complejos. Sirva todo esto para mostrar que la teoría de números permea temas antiguos y modernos en las matemáticas. Tengo que proseguir con la traducción en siguientes posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
21 de Mayo, 2013, 10:38
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20 de Mayo, 2013, 6:31
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Estamos preguntando cuáles números primos son suma de dos cuadrados. Antes de eso, preguntemos: ¿cuáles son los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados?
Lo interesante del problema es que mezcla temas de suma (sumar dos cuadrados) con temas multiplicativos (números multiplicados por sí mismos para dar cuadrados). Veamos la suma de dos cuadrados en sí:
Hay una relación que nos puede ayudar, se sabe que:
Esto es interesante. Aparece la multiplicación de dos términos, en el lado derecho. Hmmmm… esto hace que si pensamos en números complejos, podemos transformar el –y2 en +y2 así:
Siendo i la raíz cuadrada de -1, esto es:
Queda
Siendo x, y naturales, tenemos que la suma de dos cuadrados es la multiplicación de dos números complejos conjugados. ESTO NO ERA EVIDENTE. Y ahora viene el siguiente "truco". Sería interesante obtener algo más de los dos términos que se multiplican a la derecha. Pero no hay mucho para obtener por ese camino. Sin embargo, si trasladamos el tema al lado izquierdo, podemos encontrar algo interesante. Vean, si hay otra suma de cuadrados:
Ahora viene el gran truco. Multiplicamos las dos últimas igualdades:
Bien, parece que no avanzamos mucho. PERO HAY LA SEMILLA DE ALGO. Reagrupando los términos de la derecha, se ve que:
Es el conjugado de
Pues desarrollando ambas expresiones queda:
Y se ve que son conjugados uno del otro, es decir, tienen la misma expresión compleja pero con signos distintos en el factor de i. Esto es otra forma de la propiedad de los complejos: el conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual la multiplicación de sus conjugados. Esto se ve más claramente si se usa para visualizar el plano complejo, y se recuerda que:
- Dos números complejos son conjugados cuando son simétricos respecto del eje horizontal x
- La multiplicación de dos números complejos implica la suma de sus ángulos con respecto al eje x, y la multiplicación de sus módulos.
Volviendo al tema, queda que la multiplicación de las dos sumas de cuadrados es:
Sorpresa: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da la suma de dos cuadrados. Pongamos un ejemplo en concreto, para fijar ideas:
Todo esto es notable. Veamos, consideremos el conjunto de los naturales que sean expresables como la suma de dos cuadrados. Llamémosle N2. Entonces, lo que mostramos arriba significa: si a, b pertenecen a N2, TAMBIEN su multiplicación ab pertenece a N2. A los matemáticos les gusta decir que N2 es cerrado para la multiplicación.
Vayamos un poco más allá. Si encontramos todos los números primos que son suma de dos cuadrados, todos los números que resulten de su multiplicación TAMBIEN serán suma de dos cuadrados. De un golpe y plumazo hemos encontrado una gran cantidad de números que son la expresión de dos cuadrados. No sabemos si los encontramos todos, y tampoco si son infinitos. Pero si llegamos a demostrar el teorema de esta serie de posts, vamos a demostrar que una infinidad de números naturales se pueden expresar como suma de dos cuadrados.
Algo más: en el reordenamiento de las multiplicaciones para conseguir números conjugados, también podríamos haber puesto:
Que también son conjugados, habiendo obtenido otra expresión más del número final en la suma de dos cuadrados.
Fermat ya conocía estas relaciones. Con el tiempo, aprendí que se las llama la identidad de Fibonacci y Brahmagupta, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity
El problema general, determinar de cuántas maneras puede expresarse un número como suma de k cuadrados lo pueden ver en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Mayo, 2013, 7:30
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Más enlaces y novedades. Incluso hay nuevos resultados sobre una conjetura de Goldbach, y la distribución de los números primos de a pares. Hace unos meses, estuve leyendo sobre densidad, un tema muy interesante donde se junta combinatoria y teoría de números.
abc: the story so far | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/abc-the-story-so-far/
Primes really do stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-really-do-stick-together/
"The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers. … We are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals."
Posible avance en el estudio de los primos gemelos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-avance-en-el-estudio-de-los-primos-gemelos/
Integer sequence review: A051200 | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/integer-sequence-review-a051200/
Primes gotta stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-gotta-stick-together/
(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/parece-ser-que-demostrada-la-conjetura-debil-de-goldbach/
All odd integers greater than 7 are the sum of three odd primes! | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/all-odd-integers-greater-than-7-are-the-sum-of-three-odd-primes/
soft question - Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/389837/why-do-we-study-prime-ideals
First proof that infinitely many prime numbers come in pairs : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989
The Paradox of the Proof | Project Wordsworth
http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/
On August 31, 2012, Japanese mathematician Shinichi Mochizuki posted four papers on the Internet.
The titles were inscrutable. The volume was daunting: 512 pages in total. The claim was audacious: he said he had proved the ABC Conjecture, a famed, beguilingly simple number theory problem that had stumped mathematicians for decades.
A Most Perplexing Mystery | Gödel's Lost Letter and P=NP
http://rjlipton.wordpress.com/2013/05/06/a-most-perplexing-mystery/
"[We] recommend to all cryptographic users to stop using medium prime fields."
Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory
Abel Prize to Pierre Deligne | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5674
Pierre Deligne wins the 2013 Abel Prize | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/03/20/pierre-deligne-wins-the-2013-abel-prize/
The Aperiodical | The Abel Prize Laureate 2013: Pierre Deligne
http://aperiodical.com/2013/03/abel-prize-2013-pierre-deligne/
The work of Pierre Deligne
http://www.abelprize.no/c57681/binfil/download.php?tid=57753
by W.T.Gowers
The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
http://aperiodical.com/2013/03/abc-as-easy-as-pp1-40/
A Panoramic Overview of Inter-universal Teichm¨uller Theory
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
On Fermat's Last Theorem for n = 3 AND n = 4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf
Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html
(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular
La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/
Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem
Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem
15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems
The 15 theorem of John H. Conway and W. A. Schneeberger (Conway–Schneeberger Fifteen Theorem), proved in 1993, states that if an integral quadratic form with integer matrix represents all positive integers up to 15, then it represents all positive integers.
Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve
Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density
Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density
FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf
The asymptotic density of sequences
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf
Our purpose is to outline the recent work on the asymptotic or limit density of sets of positive integers...
The related concept of Schnirelmann density is touched upon...
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Angel "Java" Lopez
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18 de Mayo, 2013, 7:30
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Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos:
Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología
Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x
Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T)
El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado).
Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):
El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos.
Veamos un conjunto abierto A:
Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):
El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C.
Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas.
Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
17 de Mayo, 2013, 8:06
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Hace tiempo que no publico algo sobre el Café Filosófico. Hay cuatro sesiones los fines de semana, en Buenos Aires. Para conocer más detalles, ver
http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm
donde está detallado datos de contacto, costo, lugar, horarios.
El tema que para este fin de semana es:
COMO NOS VEMOS ANTE LOS OJOS DE LOS DEMAS:
LA INFLUENCIA DE LA MIRADA DEL OTRO EN LA
CONFORMACION DE LA PROPIA IDENTIDAD
Leo (el texto está sin acentos, lo envían así por correo electrónico):
Durante la primera hora de exposicion teorica hablaremos sobre como nos vemos ante los ojos de los demas a partir de la influencia de la mirada del otro en la conformacion de la propia identidad. Les recomendamos muy especialmente este encuentro, por el material valioso que ofreceremos. Existen pocos deseos mas fuertes que el de ser considerado alguien digno de respeto y valorado por demas. Y pocos miedos mayores que el de ser visto por los demas como alguien de poca valia, "fracasado" o "perdedor". Se puede decir que cualquier vida adulta se define por dos grandes historias de amor. La primera –la que narra nuestra busqueda del amor sexual- es bien conocida, incluso en detalle. La segunda –la historia de nuestra busqueda del amor del mundo- es un relato mas secreto y vergonzoso. Y, sin embargo, esta segunda historia de amor no es menos intensa que la primera. El deseo de aprobacion, la ansiedad por el estatus, la conformacion de la propia identidad a traves de la mirada del otro, son temas de los que no se habla mucho y que abordaremos a traves de dos autores que han desarrollado brillantemente el tema. Uno de ellos es Albert Ellis, uno de los creadores de la terapia racional-emotiva, y otro –en el que nos detendremos mas- es el filosofo suizo Alain de Botton. Las angustias y las inseguridades que nos provoca la imagen que los demas se hacen de nosotros. Con la ayuda de la psicologia, la politica y la economia, este filosofo se plantea diferentes motivos de esa angustia, se centra en una serie de formas de sobrellevarla que se han utilizado a lo largo de la historia como la filosofia, el arte, el cristianismo (desde una perspectiva filosofica, no religiosa) y la bohemia. En que medida deberia importarnos lo que los demas piensan de nosotros? Que papel juega en la conformacion de la propia imagen la mirada que los demas tienen sobre nosotros? Veremos ejemplos sorprendentes y anecdotas extraordinariamente divertidas en el contexto de un trabajo provocador y ameno a la vez que inteligente y practico. Como abordan la ansiedad por el reconocimiento los antiguos filosofos griegos, la tragedia griega, la comedia, la politica y, en terminos generales, la sociedad contemporanea. Las cinco causas fundamentales de la ansiedad por el reconocimiento de los demas. El esnobismo. El problema creado por las sociedades que generan expectativas ilimitadas en sus integrantes. Que rol tiene la suerte en la explicacion de los logros y los errores? Que factores producen ansiedad por el reconocimiento? La opinion publica, es o no la peor de las opiniones? El rol de la filosofia frente al deseo de ser valorado por los demas. El miedo a fracasar. La conexion entre el dinero y el bienestar. El sentido de comunidad. Cuales han sido las personas mas valoradas en distintas sociedades? (un contraste significativo y tambien muy gracioso sobre los distintos valores que rigen y han regido en diversas culturas).
Las contradicciones de la fama. El caracter volatil del talento. En la parte en la que desarrollaremos el pensamiento de Alberte Ellis sobre este tema, partiremos de una pregunta que formula este autor: Es la aprobacion de los demas un deseo o una necesidad? Formas posibles de aceptar la desaprobacion de los demas. Como tolerar las criticas negativas y utilizarlas en nuestro propio beneficio. Razones por las que buscar la aprobacion de los demas puede convertirse en una forma de sabotearse a uno mismo. El budismo, el taoismo y la necesidad de aprobacion de los demas.
Albert Ellis. Alain De Botton. William James. Bertrand Russell. Marco Aurelio. Chamfort
(Mas abajo incluimos un fragmento sobre el tema propuesto)
"Por que nos afecta la falta de amor? Tal vez por la incertidumbre respecto a nuestra propia valia. Pero tenemos pruebas de nuestra inteligencia y de nuestra estupidez. La falta de atencion suele acentuar la opinion negativa que tenemos sobre nosotros mismos, mientras que una sonrisa o un cumplido suscitan la sensacion opuesta.
Parece que para soportarnos dependemos de los afectos ajenos, nuestro ego seria como un globo con grietas, siempre necesitado del amor externo para mantenerse inflado y siempre vulnerable a los mas nimios pinchazos de la desatencion. Esto tiene algo de absurdo. Nuestro humor puede agriarse si un colega nos saludo distraidamente y si no nos devuelven las llamadas, pero podemos sentir que la vida vale la pena cuando alguien recuerda nuestro nombre y nos manda una caja de bombones. Por tanto, no deberia sorprendernos que desde la esfera emocional nos despierte ansiedad el lugar que ocupamos en el mundo.
Esa posicion a menudo, para bien o para mal, determinara la cantidad de amor que nos ofrezcan y nuestra propia autosatisfaccion".
"Montaigne dice que hay tres tipos de inadecuacion, la primera consiste en no sentirse comodo con el propio cuerpo, la segunda es la que consiste en sentirse desaprobado, y la tercera es la inadecuacion intelectual, la sensacion de que no somos todo lo inteligentes que deberiamos ser. El filosofo frances brindo soluciones posibles para cada una de ellas".
"El hecho de batirse a duelo simboliza una incapacidad radical para creer que nuestro estatus puede ser asunto nuestro, algo que decidimos y que no revisamos en funcion de los cambiantes juicios de nuestro publico. Para el duelista, el unico factor que determina su opinion sobre si mismo es lo que otras personas piensan de el. No puede seguir considerandose aceptable cuando quienes lo rodean lo encuentran malvado o deshonroso, o lo consideran un cobarde o un fracasado, un estupido o un afeminado. Tanto depende su propia imagen de las ideas ajenas, que el sujeto prefiere morir de un disparo antes que permitir que la concurrencia albergue ideas desfavorables sobre su persona".
(Los tres fragmentos son de Alain de Botton)
Habría tanto para comentar. Yo agregaría que importan también las consecuencias de lo que uno hace, independientemente del aprecio social o el alimento del ego que eso implique. Interesante los tipos que enumera Montaigne, no los conocía.
Post relacionados:
La Soledad en Café Filosófico (vean ahí un video de una sesión)
Leer entre líneas
El Arte de Elegir en Café Filosófico
Café Filosófico
Mentes Abiertas, en Café Filosófico
Café Filosófico, Las trampas del deseo, Dan Airely
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
15 de Mayo, 2013, 5:10
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Publicado el
9 de Mayo, 2013, 9:36
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Tengo varios enlaces a explorar del tema, además de libros. Por ahora, esta tercera entrega:
Additive Geometric Patterns of Resemblance
http://www.xamuel.com/geometric-patterns-of-resemblance/
Bill Thurston « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/
On sets defining few ordinary lines « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/24/on-sets-defining-few-ordinary-lines/
A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/
From Poisson To String Geometry | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/from_poisson_to_string_geometr.html
Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)
Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(principal_bundle)
Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_connection
Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection
How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=XDUn4BibPTc
PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm2/
Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates
One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form
University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/
The Geometry of Projective Space on Vimeo
http://vimeo.com/40243261
Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/
SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/
Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html
Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html
D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things
http://www.math.usma.edu/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf
El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/
Geometry History - Interesting Facts & Information
http://www.kidsmathgamesonline.com/facts/geometry/history.html
Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/geometry
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Publicado el
4 de Mayo, 2013, 11:18
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2 de Mayo, 2013, 16:42
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1 de Mayo, 2013, 16:32
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Sigamos con este tema de demostrar el teorema de Hilbert. Sea R un anillo noetheriano (todo ideal es finitamente generado), y sea R[X] el anillo de polinomios en la variable x.
Sea I[X] un ideal de R[X], es decir, un conjunto de polinomios (subconjunto de R[X]) cerrado por la suma y la resta, y cerrado por la multiplicación por cualquier polinomio de R[X].
Es decir, dos polinomios cualesquiera de Q(x), P(x) de I[X], y cualquier polinomio S(x) de R[X], cumplen
No voy a discutir en esta prueba anillos R que no sean conmutativos. Pero la prueba sería la misma, solamente tendría que hablar de "ideal a la izquierda" o "ideal a la derecha", en vez de simplemente "ideal".
Para fijar ideas, sea R el anillo de los enteros. Entonces, podría ser que tengamos en I[x] dos polinomios como:
Cuando intenté probar el teorema por primera vez, me detuve en polinomios del ideal como estos dos. Me pregunté: ¿qué puedo asegurar del ideal? Primero me detuve en los coeficientes "sin x", en este caso, 7 y 3, respectivamente. Se puede ver que los coeficientes libres de I[x] forman un anillo en R: porque sumados dos de esos coeficientes, que se encuentren en dos polinomios de I[X], su resultado estará presente como coeficiente libre en el polinomio suma, también en I[x]. Con los polinomios de arriba, es fácil ver que todos los enteros estarán presentes como coeficientes libres, pues el máximo común divisor de 7 y 3 es 1: el ideal generado por 7 y 3 coincide entonces con todos los enteros.
Pero no llegué muy lejos por ese camino. Es más interesante ver los coeficientes principales, es decir, los asociados al término del polinomio de mayor grado. En los dos polinomios de arriba, son 3 y 5, respectivamente. De nuevo, se puede ver que los coeficientes principales de los polinomios de I[x] forman un ideal. Pero, ¿cómo es eso? ¿Cómo conseguimos, por ejemplo, un polinomio que tenga como coeficiente principal a la suma de 3 y 5? No podemos simplemente sumar los polinomios de arriba: 3 y 5 pertenecen a términos de distinto grado. Pero podemos recordar que cualquiera de esos polinomios de I[x] lo podemos multiplicar por cualquiera de los R[x]. Entonces, multiplicamos
Por el polinomio apropiado de R[x], como uno de primer grado:
Quedando un polinomio de segundo grado, que sigue estando en I[x], por ser éste un ideal, cerrado a las multiplicaciones por R[x]:
Ahora sí podemos sumar este nuevo elemento de I[x] al primer polinomio quedando:
Por ser I[x] ideal cerrado a las sumas, este nuevo polinomio es de I[x]. Albricias! Hemos conseguido un polinomio con coeficiente principal 8 = 5 + 3. Entonces, hemos demostrado, informalmente, que los coeficientes principales de los polinomios elementos de I[x] son cerrados para la suma. De la misma forma podemos probar que son cerrados por la resta.
Como cualquier elemento de I[x] se puede multiplicar por cualquier elemento de R[x], y el resultado sigue estando en I[x], nos basta multiplicar cualquier polinomio P de I[x] por un número r de R, para ver por cada coeficiente principal a presente en I[x], la multiplicación r*a TAMBIEN está en algún polinomio de I[x]. Es decir, los coeficientes principales de los polinomios de I[x] SON CERRADOS ante la multiplicación por R.
Con estas propiedades, hemos demostrado:
- Los coeficientes principales de I[x] son un ideal en R
Como hemos supuesto que R es noetheriano, entonces:
- El ideal de los coeficientes principales es generado finitamente
Es decir, hay un conjunto finito de esos coeficientes que genera todos los demás.
Y acá está la primera punta para demostrar el teorema de Hilbert. Dado ese conjunto de m elementos de R:
podemos encontrar por CADA UNO, un polinomio de I[x] que lo tenga como coeficiente principal, y QUE SEA DEL MENOR GRADO que encontremos en I[x] para ese coeficiente:
...
Todos esos polinomios están en I[x]. Sus combinaciones con polinomios cualesquiera de R[x]:
generan un ideal, digamos, I1[x], que está evidentemente contenido en I[x], pues cada uno de los sumandos de la expresión de arriba está a su vez en I[x]. Si este nuevo ideal I1[x] es igual a I[x], el teorema queda demostrado.
Tenemos que tratar qué pasa cuando I1[x] es MENOR que I[x]. Cuando esto pasa, entonces algunos polinomios no lograron generarse con los m polinomios que encontramos en el primer paso. Veremos cómo tratarlos en el próximo post.
Nos leemos!
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