Publicado el 31 de Mayo, 2013, 13:13
Publicado el 29 de Mayo, 2013, 7:50
|
Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert a su trabajo Teoría de Números Algebraicos, conocido como Zahlbericht:
Realmente, al tiempo de la escritura de este reporte (finales del siglo XIX), la teoría de números había alcanzado su mayoría de edad. Pero seguiría curiosos caminos para mantenerse viva y activa. Apenas he empezado con mi serie de posts elementales sobre el tema, espero llegar o tener una serie sobre los campos de números que menciona Hilbert. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Mayo, 2013, 6:00
|
Sigo con la demostración del teorema de la base de Hilbert. Ya estuvimos viendo de obtener un ideal derivado de cualquier ideal I de R[x]. Algo de notación. Sea:
El conjunto de los Pi que encontramos en el anterior post:
Entonces, nuestro ideal derivado es:
Donde los Sj son polinomios cualesquiera de R[x]. Si este ideal I1 fuera igual a I, nuestro ideal inicial, quedaría demostrado el teorema. Pero bien puede que no sea el caso: pueden quedar polinomios de I que estén fuera de I1. Veamos que estos polinomios que "quedan fuera" de I están cerca de I1. Sea Pm el polinomio de mayor grado de P, y sea n ese grado mayor. Todo polinomio F(x) de I se puede expresar entonces como:
Donde Q(x) es un polinomio con grado menor que n. ¿Cómo podemos demostrar esto? Viendo que a todo F(x) con grado l >= n se le puede anular su término de mayor grado con algún polinomio de I1. ¿Cómo es eso? Sea F(x):
Ese coeficiente c que tiene el término de mayor grado, es elemento del ideal formado por todos los coeficientes de mayor término de I. Entonces, debe ser expresado como:
Por haber tomados los ai como base generadora de ese ideal. Entonces existe F"(x) perteneciente a I1 con:>
Con lo que a F(x) se le puede quitar su término principal. Y así seguimos, hasta que F(x) no tenga más términos de grado >= n. Lo que queda del polinomio inicial será el Q(x) que estamos buscando. Y como Q(x) es la resta de un polinomio de I menos un polinomio de I1, es entonces un polinomio de I (recordemos que I1 está incluido en I). Sea entonces Q el conjunto de todos esos Q(x):
Bien puede ser que Q sea infinito. No importa, genera un ideal:
Tal que como vimos es:
En el próximo post veremos de operar este ideal para obtener otro ideal I2. No se preocupen, ya estamos cuesta abajo, no vamos a seguir hasta I1234 ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Mayo, 2013, 7:42
|
Este post es el primer paso en un largo camino. Ya escribí sobre algunos temas aislados, pero ya es tiempo de escribir de una forma más ordenada. Ya que esto es teoría de números, veamos primero los números. Para los griegos, los números eran múltiplos de una unidad. La unidad podía variar, pero al fin, todo eran números naturales. Esos son los primeros números que tratemos. Resolver ecuaciones como:
Nos basta con conocer el número natural 2. Pero para pasar a resolver ecuaciones como:
Tenemos que recurrir a números "no naturales": un simple pero negativo -3. No fue fácil la aceptación de los números negativos en matemáticas. Aún en el siglo XIX, matemáticos de primera línea ponían a las soluciones negativas como "soluciones a problemas mal planteados". Si pasamos a la ecuación general:
Con a, b enteros, ¿cuándo tendremos solución x entera? Pues ya conocen la respuesta: cuando a divida a b. Y aquí la "dificultad" de los enteros: si bien dado un entero a, siempre existe un entero que sea su inverso ante la suma (el entero –a), no siempre todo entero tiene inverso multiplicativo: la división –b/a que daría la solución de la ecuación de arriba, NO SIEMPRE ESTA DEFINIDA en el dominio de los enteros. Tenemos que investigar la divisibilidad. Cuando b es múltiplo de a, es porque existe un entero m tal que:
Vamos a escribir "a divide a b" con la notación:
No siempre todo b es divisible por a. Tomemos el caso más fácil: hay números que son divisibles por 2, son los pares. Hay números que no son divisibles por 2, y son los impares. Desde los tiempos de Pitágoras se sabe que par sumado a par da par, par mas impar da impar, par multiplicado por par da par, par multiplicado por impar da par. Generalicemos algunos de estos resultados. Sea
Entonces
Pues es fácil ver que lo primero es:
Sumando queda
Donde se ve que b mas c es múltiplo de a. Ahora bien, sea que sabemos que a divide b mas c. ¿Puede a dividir a b? Pues no siempre. Puede que sí como puede que no. 5 divide a 8 + 2 = 10, pero no divide a 8 ni a 2. Pero sí podemos decir que si
Entonces a divide a cualquier múltiplo de b:
Si tenemos
¿Podemos decir que
O
? No siempre. 10 divide a 5*4, pero no divide ni a 5 ni a 4. Veremos más adelante que si a es número primo, entonces sí, o divide a b o divide a c. Pero no nos adelantemos, todavía no vimos números primos. Veamos un resultado importante. Sean a, b enteros cualesquiera, entonces siempre existen s, r tales que:
Es el teorema del resto. Para demostrarlo tomemos todos los números:
Variando s por todos los números enteros. Nos quedamos con los no negativos. Por propiedad de los naturales, hay un menor número en ellos:
Ahora el s está fijo. Tendríamos que demostrar que r es menor que |a|. Limitémonos al caso a positivo. Si r fuera mayor o igual a a, entonces:
Y r no hubiera sido el menor, como lo habíamos tomado. Este pequeño teorema va a ser muy importante en lo que vamos a explorar. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Mayo, 2013, 7:38
|
En el post Fermat y el Método de Descenso Infinito mencioné este método de demostración usado por Fermat. Quiero escribir hoy un ejemplo sencillo. De hecho, no es el ejemplo más común de este método, porque para lo que vamos a demostrar en general se usa otro camino. Pero me servirá como introducción del tema en este primer post de la serie. Sea demostrar que la raíz cuadrada de 3 no es un número racional. Supongamos que
Donde a, b son naturales. Podría haber más de una fracción así. Por ejemplo, ½, 2/4, son el mismo número. Entonces, elevando al cuadrado:
Multiplicamos por b ambos lados:
Por ser 3 primo, resulta que a es múltiplo de 3. Sea
Se siguen entonces:
Por lo mismo, b es múltiplo de 3, y entonces:
El número d es menor que b. Y por la última relación, se sigue:
Llegamos a
Es decir, conseguimos OTRA FRACCION expresando el mismo supuesto racional, la raíz cuadrada de 3. Pero esta vez, el denominador d es menor que el de la anterior fracción, el denominador b. Podemos repetir SIEMPRE la operación que hicimos, y seguiremos obteniendo nuevas fracciones, cada una con el denominador menor que la anterior. No terminan nunca. Pero es claro que el denominador no puede decrecer para siempre: hemos considerado números naturales. Llegamos a contradicción. Si estuvieron atentos, ésta no es la forma más habitual de demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Lo más conocido es: tomar a/b con a, b sin factores comunes, y con el procedimiento anterior, ver que tienen un factor común, el 3, llegando a contradicción. En próximos posts veremos aplicaciones no triviales del descenso infinito. Por ejemplo, en el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch, hay otra demostración de la irracionalidad de 3 usando descenso infinito. Ver también: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Mayo, 2013, 17:05
|
Un tema que sigo desde hace casi tres décadas. Recuerdo haberlo encontrado varias veces en los artículos de los ochenta de Investigación y Ciencia, por ejemplo, un artículo ya clásico de Gerard t'Hooft. Si se interesan en este tema, pasearan por gran parte de la física matemática moderna y clásica. Les agrego dos enlaces: http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027 preparation for gauge theory, muy bueno, tiene todo gauge, group, lagrangian, dirac, electromagnetism, etc. para intrépidos aficionados a la física matemática. http://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/ muy buena intro, algo habia leido antes, ver si lo tengo impreso http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories de hooft, muy bueno http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory la introducción más fácil
Ahora, la lista original que había preparado: http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory
Gauge symmetry (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia Lectures on Topology and Fields The Stand-Up Physicist: Gauge Symmetries in the Lagrangian AND the Field Equations - YouTube Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras « Francis (th)E mule Science's News Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia The Coulomb or Transverse Gauge Quantization of Gauge Theories [1003.5179] Gauge fields in graphene Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia Teleparallel Gravity as a Higher Gauge Theory | The n-Category Café Emmy Noether and The Fabric of Reality - YouTube Particle physics and representation theory - Wikipedia, the ... Group Theory and Elementary Particles (canonical) quantization of teleparallel gravity Teleparallelism - Wikipedia, the free encyclopedia Gauge theories Lagrangian of Higgs field Conference on Higher Gauge Theory, Quantum Gravity, and Topological Field Theory « Secret Blogging Seminar Higher Gauge Theory, TQFT and Quantum Gravity in Lisbon | The n-Category Café Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory Introduction to gauge theory - Wikipedia, the free encyclopedia An Invitation to Higher Gauge Theory (Again) | The n-Category Café Division Algebras and Supersymmetry II | The n-Category Café Mis enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Mayo, 2013, 7:00
|
Lo mío es un apostolado ;-) Sigo disfrutando de la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht.
Tantos temas a visitar (ya vendran posts ;-). Vean cómo Hilbert destaca la relación entre distintas ramas, que hoy, tal vez, estudiamos por separado. Un matemático se aprovecha de cualquier lazo que haya de una teoría a otra. Noten la importancia de no perder esas relaciones, que nacieron en la historia, cuando uno estudia un tema en matemáticas. Hilbert no pierde nunca de vista esas relaciones, analogías, ideas que pasan de un tópico a otro, y vuelven renovadas. Los campos de números es un gran tema, las funciones elípticas otro, las ideas de Rienmann hoy todavía se discuten, la invariancia es otro monumento a estudiar. Curioso lo que piensa Jacobi sobre el origen de la gran idea de Gauss de usar enteros complejos. Sirva todo esto para mostrar que la teoría de números permea temas antiguos y modernos en las matemáticas. Tengo que proseguir con la traducción en siguientes posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Mayo, 2013, 10:38
Publicado el 20 de Mayo, 2013, 6:31
|
Estamos preguntando cuáles números primos son suma de dos cuadrados. Antes de eso, preguntemos: ¿cuáles son los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados? Lo interesante del problema es que mezcla temas de suma (sumar dos cuadrados) con temas multiplicativos (números multiplicados por sí mismos para dar cuadrados). Veamos la suma de dos cuadrados en sí:
Hay una relación que nos puede ayudar, se sabe que:
Esto es interesante. Aparece la multiplicación de dos términos, en el lado derecho. Hmmmm… esto hace que si pensamos en números complejos, podemos transformar el –y2 en +y2 así:
Siendo i la raíz cuadrada de -1, esto es:
Queda
Siendo x, y naturales, tenemos que la suma de dos cuadrados es la multiplicación de dos números complejos conjugados. ESTO NO ERA EVIDENTE. Y ahora viene el siguiente "truco". Sería interesante obtener algo más de los dos términos que se multiplican a la derecha. Pero no hay mucho para obtener por ese camino. Sin embargo, si trasladamos el tema al lado izquierdo, podemos encontrar algo interesante. Vean, si hay otra suma de cuadrados:
Ahora viene el gran truco. Multiplicamos las dos últimas igualdades:
Bien, parece que no avanzamos mucho. PERO HAY LA SEMILLA DE ALGO. Reagrupando los términos de la derecha, se ve que:
Es el conjugado de
Pues desarrollando ambas expresiones queda:
Y se ve que son conjugados uno del otro, es decir, tienen la misma expresión compleja pero con signos distintos en el factor de i. Esto es otra forma de la propiedad de los complejos: el conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual la multiplicación de sus conjugados. Esto se ve más claramente si se usa para visualizar el plano complejo, y se recuerda que: - Dos números complejos son conjugados cuando son simétricos respecto del eje horizontal x Volviendo al tema, queda que la multiplicación de las dos sumas de cuadrados es:
Sorpresa: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da la suma de dos cuadrados. Pongamos un ejemplo en concreto, para fijar ideas:
Todo esto es notable. Veamos, consideremos el conjunto de los naturales que sean expresables como la suma de dos cuadrados. Llamémosle N2. Entonces, lo que mostramos arriba significa: si a, b pertenecen a N2, TAMBIEN su multiplicación ab pertenece a N2. A los matemáticos les gusta decir que N2 es cerrado para la multiplicación. Vayamos un poco más allá. Si encontramos todos los números primos que son suma de dos cuadrados, todos los números que resulten de su multiplicación TAMBIEN serán suma de dos cuadrados. De un golpe y plumazo hemos encontrado una gran cantidad de números que son la expresión de dos cuadrados. No sabemos si los encontramos todos, y tampoco si son infinitos. Pero si llegamos a demostrar el teorema de esta serie de posts, vamos a demostrar que una infinidad de números naturales se pueden expresar como suma de dos cuadrados. Algo más: en el reordenamiento de las multiplicaciones para conseguir números conjugados, también podríamos haber puesto:
Que también son conjugados, habiendo obtenido otra expresión más del número final en la suma de dos cuadrados. Fermat ya conocía estas relaciones. Con el tiempo, aprendí que se las llama la identidad de Fibonacci y Brahmagupta, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity El problema general, determinar de cuántas maneras puede expresarse un número como suma de k cuadrados lo pueden ver en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Mayo, 2013, 7:30
|
Más enlaces y novedades. Incluso hay nuevos resultados sobre una conjetura de Goldbach, y la distribución de los números primos de a pares. Hace unos meses, estuve leyendo sobre densidad, un tema muy interesante donde se junta combinatoria y teoría de números. abc: the story so far | The Aperiodical Primes really do stick together | The Aperiodical Posible avance en el estudio de los primos gemelos - Gaussianos | Gaussianos Integer sequence review: A051200 | The Aperiodical Primes gotta stick together | The Aperiodical (Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos All odd integers greater than 7 are the sum of three odd primes! | The Aperiodical soft question - Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange First proof that infinitely many prime numbers come in pairs : Nature News & Comment The Paradox of the Proof | Project Wordsworth A Most Perplexing Mystery | Gödel's Lost Letter and P=NP Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia Abel Prize to Pierre Deligne | Not Even Wrong Pierre Deligne wins the 2013 Abel Prize | Gowers's Weblog The Aperiodical | The Abel Prize Laureate 2013: Pierre Deligne The work of Pierre Deligne The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40 A Panoramic Overview of Inter-universal Teichm¨uller Theory On Fermat's Last Theorem for n = 3 AND n = 4 Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3 (Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia 15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS The asymptotic density of sequences Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Mayo, 2013, 7:30
|
Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos: Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T) El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado). Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):
El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos. Veamos un conjunto abierto A:
Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):
El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C. Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas. Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Mayo, 2013, 8:06
|
Hace tiempo que no publico algo sobre el Café Filosófico. Hay cuatro sesiones los fines de semana, en Buenos Aires. Para conocer más detalles, ver http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm donde está detallado datos de contacto, costo, lugar, horarios. El tema que para este fin de semana es:
Leo (el texto está sin acentos, lo envían así por correo electrónico):
Habría tanto para comentar. Yo agregaría que importan también las consecuencias de lo que uno hace, independientemente del aprecio social o el alimento del ego que eso implique. Interesante los tipos que enumera Montaigne, no los conocía. Post relacionados: La Soledad en Café Filosófico (vean ahí un video de una sesión) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Mayo, 2013, 5:10
Publicado el 9 de Mayo, 2013, 9:36
|
Tengo varios enlaces a explorar del tema, además de libros. Por ahora, esta tercera entrega: Additive Geometric Patterns of Resemblance Bill Thurston « What"s new On sets defining few ordinary lines « What"s new A trivial remark about schemes « What"s new From Poisson To String Geometry | The n-Category Café Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011 Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia One-form - Wikipedia, the free encyclopedia University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course The Geometry of Projective Space on Vimeo Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation Monge biography Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo - Gaussianos | Gaussianos Geometry History - Interesting Facts & Information Mis Enlaces |
Publicado el 4 de Mayo, 2013, 11:18
Publicado el 2 de Mayo, 2013, 16:42
|
Tiempo de revisar el mes pasado y planear el nuevo mes. Resultado de Abril: - Escribir nuevo post de funciones invariantes [pendiente] Para compensar el post pendiente de mi serie de funciones invariantes, estuve publicando: Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (1) Y apareció una nueva serie: Historia de las Matemáticas en Grecia (1) Sobre teoría de números en la historia de las matemáticas, escribí: David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1) Para Mayo: - Escribir post sobre descenso infinito Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Mayo, 2013, 16:32
|
Sigamos con este tema de demostrar el teorema de Hilbert. Sea R un anillo noetheriano (todo ideal es finitamente generado), y sea R[X] el anillo de polinomios en la variable x. Sea I[X] un ideal de R[X], es decir, un conjunto de polinomios (subconjunto de R[X]) cerrado por la suma y la resta, y cerrado por la multiplicación por cualquier polinomio de R[X]. Es decir, dos polinomios cualesquiera de Q(x), P(x) de I[X], y cualquier polinomio S(x) de R[X], cumplen
No voy a discutir en esta prueba anillos R que no sean conmutativos. Pero la prueba sería la misma, solamente tendría que hablar de "ideal a la izquierda" o "ideal a la derecha", en vez de simplemente "ideal". Para fijar ideas, sea R el anillo de los enteros. Entonces, podría ser que tengamos en I[x] dos polinomios como:
Cuando intenté probar el teorema por primera vez, me detuve en polinomios del ideal como estos dos. Me pregunté: ¿qué puedo asegurar del ideal? Primero me detuve en los coeficientes "sin x", en este caso, 7 y 3, respectivamente. Se puede ver que los coeficientes libres de I[x] forman un anillo en R: porque sumados dos de esos coeficientes, que se encuentren en dos polinomios de I[X], su resultado estará presente como coeficiente libre en el polinomio suma, también en I[x]. Con los polinomios de arriba, es fácil ver que todos los enteros estarán presentes como coeficientes libres, pues el máximo común divisor de 7 y 3 es 1: el ideal generado por 7 y 3 coincide entonces con todos los enteros. Pero no llegué muy lejos por ese camino. Es más interesante ver los coeficientes principales, es decir, los asociados al término del polinomio de mayor grado. En los dos polinomios de arriba, son 3 y 5, respectivamente. De nuevo, se puede ver que los coeficientes principales de los polinomios de I[x] forman un ideal. Pero, ¿cómo es eso? ¿Cómo conseguimos, por ejemplo, un polinomio que tenga como coeficiente principal a la suma de 3 y 5? No podemos simplemente sumar los polinomios de arriba: 3 y 5 pertenecen a términos de distinto grado. Pero podemos recordar que cualquiera de esos polinomios de I[x] lo podemos multiplicar por cualquiera de los R[x]. Entonces, multiplicamos
Por el polinomio apropiado de R[x], como uno de primer grado:
Quedando un polinomio de segundo grado, que sigue estando en I[x], por ser éste un ideal, cerrado a las multiplicaciones por R[x]:
Ahora sí podemos sumar este nuevo elemento de I[x] al primer polinomio quedando:
Por ser I[x] ideal cerrado a las sumas, este nuevo polinomio es de I[x]. Albricias! Hemos conseguido un polinomio con coeficiente principal 8 = 5 + 3. Entonces, hemos demostrado, informalmente, que los coeficientes principales de los polinomios elementos de I[x] son cerrados para la suma. De la misma forma podemos probar que son cerrados por la resta. Como cualquier elemento de I[x] se puede multiplicar por cualquier elemento de R[x], y el resultado sigue estando en I[x], nos basta multiplicar cualquier polinomio P de I[x] por un número r de R, para ver por cada coeficiente principal a presente en I[x], la multiplicación r*a TAMBIEN está en algún polinomio de I[x]. Es decir, los coeficientes principales de los polinomios de I[x] SON CERRADOS ante la multiplicación por R. Con estas propiedades, hemos demostrado: - Los coeficientes principales de I[x] son un ideal en R Como hemos supuesto que R es noetheriano, entonces: - El ideal de los coeficientes principales es generado finitamente Es decir, hay un conjunto finito de esos coeficientes que genera todos los demás. Y acá está la primera punta para demostrar el teorema de Hilbert. Dado ese conjunto de m elementos de R:
podemos encontrar por CADA UNO, un polinomio de I[x] que lo tenga como coeficiente principal, y QUE SEA DEL MENOR GRADO que encontremos en I[x] para ese coeficiente:
Todos esos polinomios están en I[x]. Sus combinaciones con polinomios cualesquiera de R[x]:
generan un ideal, digamos, I1[x], que está evidentemente contenido en I[x], pues cada uno de los sumandos de la expresión de arriba está a su vez en I[x]. Si este nuevo ideal I1[x] es igual a I[x], el teorema queda demostrado. Tenemos que tratar qué pasa cuando I1[x] es MENOR que I[x]. Cuando esto pasa, entonces algunos polinomios no lograron generarse con los m polinomios que encontramos en el primer paso. Veremos cómo tratarlos en el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
