Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Mayo, 2013, 16:32

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Sigamos con este tema de demostrar el teorema de Hilbert. Sea R un anillo noetheriano (todo ideal es finitamente generado), y sea R[X] el anillo de polinomios en la variable x.

Sea I[X] un ideal de R[X], es decir, un conjunto de polinomios (subconjunto de R[X]) cerrado por la suma y la resta, y cerrado por la multiplicación por cualquier polinomio de R[X].

Es decir, dos polinomios cualesquiera de Q(x), P(x) de I[X],  y cualquier polinomio S(x) de R[X], cumplen




No voy a discutir en esta prueba anillos R que no sean conmutativos. Pero la prueba sería la misma, solamente tendría que hablar de "ideal a la izquierda" o "ideal a la derecha", en vez de simplemente "ideal".

Para fijar ideas, sea R el anillo de los enteros. Entonces, podría ser  que tengamos en I[x] dos polinomios como:

Cuando intenté probar el teorema por primera vez, me detuve en polinomios del ideal como estos dos. Me pregunté: ¿qué puedo asegurar del ideal? Primero me detuve en los coeficientes "sin x", en este caso, 7 y 3, respectivamente. Se puede ver que los coeficientes libres de I[x] forman un anillo en R: porque sumados dos de esos coeficientes, que se encuentren en dos polinomios de I[X], su resultado estará presente como coeficiente libre en el polinomio suma, también en I[x]. Con los polinomios de arriba, es fácil ver que todos los enteros estarán presentes como coeficientes libres, pues el máximo común divisor de 7 y 3 es 1: el ideal generado por 7 y 3 coincide entonces con todos los enteros.

Pero no llegué muy lejos por ese camino. Es más interesante ver los coeficientes principales, es decir, los asociados al término del polinomio de mayor grado. En los dos polinomios de arriba, son 3 y 5, respectivamente. De nuevo, se puede ver que los coeficientes principales de los polinomios de I[x] forman un ideal. Pero, ¿cómo es eso? ¿Cómo conseguimos, por ejemplo, un polinomio que tenga como coeficiente principal a la suma de 3 y 5? No podemos simplemente sumar los polinomios de arriba: 3 y 5 pertenecen a términos de distinto grado. Pero podemos recordar que cualquiera de esos polinomios de I[x] lo podemos multiplicar por cualquiera de los R[x]. Entonces, multiplicamos

Por el polinomio apropiado de R[x], como uno de primer grado:

Quedando un polinomio de segundo grado, que sigue estando en I[x], por ser éste un ideal, cerrado a las multiplicaciones por R[x]:

Ahora sí podemos sumar este nuevo elemento de I[x] al primer polinomio quedando:

Por ser I[x] ideal cerrado a las sumas, este nuevo polinomio es de I[x]. Albricias! Hemos conseguido un polinomio con coeficiente principal 8 = 5 + 3. Entonces, hemos demostrado, informalmente, que los coeficientes principales de los polinomios elementos de I[x] son cerrados para la suma. De la misma forma podemos probar que son cerrados por la resta.

Como cualquier elemento de I[x] se puede multiplicar por cualquier elemento de R[x], y el resultado sigue estando en I[x], nos basta multiplicar cualquier polinomio P de I[x] por un número r de R, para ver por cada coeficiente principal a presente en I[x], la multiplicación r*a TAMBIEN está en algún polinomio de I[x]. Es decir, los coeficientes principales de los polinomios de I[x] SON CERRADOS ante la multiplicación por R.

Con estas propiedades, hemos demostrado:

- Los coeficientes principales de I[x] son un ideal en R

Como hemos supuesto que R es noetheriano, entonces:

- El ideal de los coeficientes principales es generado finitamente

Es decir, hay un conjunto finito de esos coeficientes que genera todos los demás.

Y acá está la primera punta para demostrar el teorema de Hilbert. Dado ese conjunto de m elementos de R:

podemos encontrar por CADA UNO, un polinomio de I[x] que lo tenga como coeficiente principal, y QUE SEA DEL MENOR GRADO que encontremos en I[x] para ese coeficiente:



...

Todos esos polinomios están en I[x]. Sus combinaciones con polinomios cualesquiera de R[x]:

generan un ideal, digamos, I1[x], que está evidentemente contenido en I[x], pues cada uno de los sumandos de la expresión de arriba está a su vez en I[x]. Si este nuevo ideal  I1[x] es igual a I[x], el teorema queda demostrado.

Tenemos que tratar qué pasa cuando I1[x] es MENOR que I[x]. Cuando esto pasa, entonces algunos polinomios no lograron generarse con los m polinomios que encontramos en el primer paso. Veremos cómo tratarlos en el próximo post.

Nos leemos!

Angel  "Java" Lopez
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