Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Mayo, 2013, 7:30

Anterior Post
Siguiente Post

Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos:

Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología

Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga  A UN conjunto abierto que contenga a x

Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T)

El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado).

Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):

El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos.

Veamos un conjunto abierto A:

Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):

El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C.

Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas.

Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez