Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Mayo, 2013, 6:31

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Estamos preguntando cuáles números primos son suma de dos cuadrados. Antes de eso, preguntemos: ¿cuáles son los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados?

Lo interesante del problema es que mezcla temas de suma (sumar dos cuadrados) con temas multiplicativos (números multiplicados por sí mismos para dar cuadrados). Veamos la suma de dos cuadrados en sí:

Hay una relación que nos puede ayudar, se sabe que:

Esto es interesante. Aparece la multiplicación de dos términos, en el lado derecho. Hmmmm… esto hace que si pensamos en números complejos, podemos transformar el –y2 en +y2 así:

Siendo i la raíz cuadrada de -1, esto es:

Queda

Siendo x, y naturales, tenemos que la suma de dos cuadrados es la multiplicación de dos números complejos conjugados. ESTO NO ERA EVIDENTE. Y ahora viene el siguiente "truco". Sería interesante obtener algo más de los dos términos que se multiplican a la derecha. Pero no hay mucho para obtener por ese camino. Sin embargo, si trasladamos el tema al lado izquierdo, podemos encontrar algo interesante. Vean, si hay otra suma de cuadrados:

Ahora viene el gran truco. Multiplicamos las dos últimas igualdades:

Bien, parece que no avanzamos mucho. PERO HAY LA SEMILLA DE ALGO.  Reagrupando los términos de la derecha, se ve que:

Es el conjugado de

Pues desarrollando ambas expresiones queda:


Y se ve que son conjugados uno del otro, es decir, tienen la misma expresión compleja pero con signos distintos en el factor de i. Esto es otra forma de la propiedad de los complejos: el conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual la multiplicación de sus conjugados. Esto se ve más claramente si se usa para visualizar el plano complejo, y se recuerda que:

- Dos números complejos son conjugados cuando son simétricos respecto del eje horizontal x
- La multiplicación de dos números complejos implica la suma de sus ángulos con respecto al eje x, y la multiplicación de sus módulos.

Volviendo al tema, queda que la multiplicación de las dos sumas de cuadrados es:



Sorpresa: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da la suma de dos cuadrados.  Pongamos un ejemplo en concreto, para fijar ideas:


Todo esto es notable. Veamos, consideremos el conjunto de los naturales que sean expresables como la suma de dos cuadrados. Llamémosle N2. Entonces, lo que mostramos arriba significa: si a, b pertenecen a N2, TAMBIEN su multiplicación ab pertenece a N2. A los matemáticos les gusta decir que N2 es cerrado para la multiplicación.

Vayamos un poco más allá. Si encontramos todos los números primos que son suma de dos cuadrados, todos los números que resulten de su multiplicación TAMBIEN serán suma de dos cuadrados. De un golpe y plumazo hemos encontrado una gran cantidad de números que son la expresión de dos cuadrados. No sabemos si los encontramos todos, y tampoco si son infinitos. Pero si llegamos a demostrar el teorema de esta serie de posts, vamos a demostrar que una infinidad de números naturales se pueden expresar como suma de dos cuadrados.

Algo más: en el reordenamiento de las multiplicaciones para conseguir números conjugados, también podríamos haber puesto:


Que también son conjugados, habiendo obtenido otra expresión más del número final en la suma de dos cuadrados.

Fermat ya conocía estas relaciones. Con el tiempo, aprendí que se las llama la identidad de Fibonacci y Brahmagupta, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity

El problema general, determinar de cuántas maneras puede expresarse un número como suma de k cuadrados lo pueden ver en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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