Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Mayo, 2013, 7:00

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Lo mío es un apostolado ;-) Sigo disfrutando de la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht.

La teoría de números comparte relaciones recíprocas, no es solamente con en el álgebra, sino también con la teoría de funciones. Recordemos las numeros y remarcables analogías que subsisten entre ciertos resultados de la teoría de campos de números y la teoría de campos de funciones algebraicas de una variable; pensemos también en las profundas investigaciones de Rienmann por las que la respuesta a la pregunta sobre la distribución de números primos se hace depender del conocimiento de los ceros de cierta función analítica. De nuevo, la transcendencia de los números e y pi es una propiedad aritmética de una función analítica, la función exponencial. Finalmente, el importante método, de largo alcance, creado por Lejeune Dirichlet para la determinación del número de clase de un campo de números se basa en fundamentos analíticos.

Y también al nivel más profundo, las funciones periódicas y ciertas funciones con autotransformaciones lineales tocan la esencia del número; entonces la función exponencial e ^ (2 pi iz) se entiende como invariante para los enteros racionales en el sentido de que es la solución fundamental de la ecuación funcional f(z + 1) = f(z). Aún más, Jacobi ya había notado la relación cercana entre la teoría de funciones elípticas y la teoría de las irracionales cuadráticas [quadratic irrationalities]; él había sugerido que en el trabajo de Gauss la idea mencionada antes de introducir enteros imaginarios en la forma a + bi no nace de principios puramente aritméticos sino que fue motivado por el trabajo contemporáneo de Gauss sobre las funciones de la lemniscata y sus multiplicaciones complejas. Las funciones elípticas para valores adecuados de sus periodos y las funciones elípticas modulares en todos los casos son invariantes de los enteros en algún campo de números fijo imaginario cuadrático. Estas funciones que nosotros hemos llamado invariantes tienen el poder de producir soluciones a ciertos profundos y difíciles problemas concernientes a los correspondientes campos de números; y, a su vez, la teoría de las funciones elípticas está en deuda con esas ideas aritméticas y aplicaciones que le dieron un nuevo estímulo.

Tantos temas a visitar (ya vendran posts ;-). Vean cómo Hilbert destaca la relación entre distintas ramas, que hoy, tal vez, estudiamos por separado. Un matemático se aprovecha de cualquier lazo que haya de una teoría a otra. Noten la importancia de no perder esas relaciones, que nacieron en la historia, cuando uno estudia un tema en matemáticas. Hilbert no pierde nunca de vista esas relaciones, analogías, ideas que pasan de un tópico a otro, y vuelven renovadas. Los campos de números es un gran tema, las funciones elípticas otro, las ideas de Rienmann hoy todavía se discuten, la invariancia es otro monumento a estudiar. Curioso lo que piensa Jacobi sobre el origen de la gran idea de Gauss de usar enteros complejos. Sirva todo esto para mostrar que la teoría de números permea temas antiguos y modernos en las matemáticas. Tengo que proseguir con la traducción en siguientes posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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